1了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法2了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)3能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題,第5課時(shí)數(shù)列的綜合應(yīng)用,【命題預(yù)測(cè)】,有關(guān)等差、等比數(shù)列的考查在高考中主要是探索題、綜合題和應(yīng)用題考生應(yīng)具有針對(duì)性地進(jìn)行訓(xùn)練，并從“注重?cái)?shù)學(xué)思想方法、強(qiáng)化運(yùn)算能力、重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)練”的角度做好充分準(zhǔn)備同時(shí)，對(duì)于數(shù)列與解析幾何的綜合題型要予以充分重視,【應(yīng)試對(duì)策】,1在解決有關(guān)數(shù)列的具體應(yīng)用問(wèn)題時(shí)：(1)要讀懂題意，理解實(shí)際背景，領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，舍棄與解題無(wú)關(guān)的非本質(zhì)性東西；(2)準(zhǔn)確地歸納其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型；(3)根據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型的知識(shí)系統(tǒng)，解出數(shù)學(xué)模型的結(jié)果；(4)最后再回到實(shí)際問(wèn)題中去，從而得到答案,2在求數(shù)列的相關(guān)和時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面的問(wèn)題：(1)直接用公式求和時(shí)，注意公式的應(yīng)用范圍和公式的推導(dǎo)過(guò)程(2)注意觀察數(shù)列的特點(diǎn)和規(guī)律，在分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和，或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和(3)求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，無(wú)一般方法可循，要注意掌握某些特殊數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，觸類旁通,3在用觀察法歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式(尤其是在處理客觀題目時(shí))時(shí)，要注意適當(dāng)?shù)馗鶕?jù)具體問(wèn)題多計(jì)算相應(yīng)的數(shù)列的前幾項(xiàng)，否則會(huì)因?yàn)樗?jì)算的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)過(guò)少，而歸納出錯(cuò)誤的通項(xiàng)公式，從而得到錯(cuò)誤的結(jié)論,【知識(shí)拓展】,1求由遞推公式所確定的數(shù)列的通項(xiàng)，通常可通過(guò)對(duì)遞推關(guān)系的一系列變換，構(gòu)造出一個(gè)新數(shù)列，轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列或與之類似的問(wèn)題來(lái)求解(1)遞推式為an1panqn(其中p，q是常數(shù))通常可以兩邊同時(shí)除以qn1(q0)，得到數(shù)列，令bn，得到數(shù)列bn1，從而問(wèn)題可解,(2)遞推式為an2pan1qan(其中p，q是常數(shù))，通常設(shè)，則可由p，q，求得，從而構(gòu)造出數(shù)列得以求解(3)遞推式為Sn與an間的關(guān)系式時(shí)，通常要考慮利用an將已知關(guān)系轉(zhuǎn)化為an或Sn的項(xiàng)間的關(guān)系，從而求解,1數(shù)列的概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)2數(shù)列中排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或首項(xiàng))，排在第二位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)3數(shù)列的一般形式可以寫(xiě)成a1，a2，a3，an，簡(jiǎn)記為an4數(shù)列的分類：有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列，遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列與擺動(dòng)數(shù)列5數(shù)列的通項(xiàng)公式：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式,6數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式,8數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中有著廣泛的應(yīng)用，如人口增長(zhǎng)問(wèn)題、存款利率問(wèn)題、分期付款問(wèn)題利用等差數(shù)列和等比數(shù)列還可以解決一些簡(jiǎn)單的已知數(shù)列的遞推關(guān)系求其通項(xiàng)公式等問(wèn)題,7數(shù)列的表示方法：列表法、圖象法、通項(xiàng)公式法、遞推公式法,1某種細(xì)胞開(kāi)始有2個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去一個(gè)，按此規(guī)律進(jìn)行下去，6小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是_解析：設(shè)開(kāi)始的細(xì)胞數(shù)和n小時(shí)后的細(xì)胞數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為an則即2.則an1構(gòu)成等比數(shù)列an112n1，an2n11，a765.答案：65,2已知等差數(shù)列an的公差為2，且a1a4a7a9750，則a3a6a9a99_.解析：a3a6a9a99(a1a4a7a97)33(4)50(132)82.答案：82,3數(shù)列an中，若a1，an(n2，nN)，則a2007的值為_(kāi)解析：a1，a22，a31，a4，可推測(cè)數(shù)列an以3為周期，20073669，a2007a31.也可直接推出an3an.答案：1,4在數(shù)列an中，已知a11，a25，an2an1an(nN*)，則a2007等于_解析：an3an，an6an3an.即an是周期為6的數(shù)列a2007a63343a3a2a14.答案：4,5北京市為成功舉辦2008年奧運(yùn)會(huì)，決定從2003年到2007年5年間更新市內(nèi)現(xiàn)有全部出租車(chē)，若每年更新的車(chē)輛數(shù)比前一年遞增10%，則2003年底更新的車(chē)輛數(shù)約為現(xiàn)有總車(chē)輛數(shù)的_(參考數(shù)據(jù)1.141.46,1.151.61)解析：設(shè)市內(nèi)全部出租車(chē)輛為b,2003年底更新的車(chē)輛為a，則2004年更新的車(chē)輛為a(110%)，2005年更新的車(chē)輛為a(110%)2,2006年更新的車(chē)輛為a(110%)3,2007年更新的車(chē)輛為a(110%)4，由題意可知：aa(110%)a(110%)2a(110%)3a(110%)4b，a(11.11.121.131.14)bab，16.4%.故2003年底更新的車(chē)輛數(shù)約為現(xiàn)有總車(chē)輛數(shù)的16.4%.答案：16.4%,1等差數(shù)列與等比數(shù)列相結(jié)合的綜合問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)，特別是等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式以及等差中項(xiàng)，等比中項(xiàng)問(wèn)題是歷年命題的熱點(diǎn)2利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)注意公比q的取值同時(shí)對(duì)兩種數(shù)列的性質(zhì)，要熟悉它們的推導(dǎo)過(guò)程，利用好性質(zhì)，可降低題目的難度，解題時(shí)有時(shí)還需利用條件聯(lián)立方程求解,【例1】設(shè)an是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S37，且a13,3a2，a34構(gòu)成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)令bnlna3n1，n1,2，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.思路點(diǎn)撥：(1)由已知列出方程組求出公比q與首項(xiàng)a1；(2)結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，判斷數(shù)列bn是等差數(shù)列，再求和,解：(1)由已知得：解得a22.設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a22，可得a1，a32q，又S37，可知22q7，即2q25q20.解得q12，q2.由題意得q>1，q2.a11.故數(shù)列an的通項(xiàng)為an2n1.(2)由于bnlna3n1，n1,2，由(1)得a3n123n.bnln23n3nln2，又bn1bn3ln2，bn是等差數(shù)列Tnb1b2bnln2.故Tnln2.,【例2】已知f(x)logax(a0且a1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，f(an)(nN*)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列(1)設(shè)a為常數(shù)，求證：an成等比數(shù)列；(2)若bnanf(an)，bn的前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)a時(shí)，求Sn.思路點(diǎn)撥：利用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)得出an的表達(dá)式，再利用表達(dá)式解決其他問(wèn)題,解：(1)證明：f(an)4(n1)22n2，即logaan2n2，可得ana2n2.a2(n2)，為定值an為等比數(shù)列(2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2.當(dāng)a時(shí)，bn(2n2)()2n2(n1)2n2.Sn223324425(n1)2n22Sn224325426n2n2(n1)2n3得Sn22324252n2(n1)2n316(n1)2n3162n324n2n32n3n2n3.Snn2n3.,變式1：已知實(shí)數(shù)列an是等比數(shù)列，其中a71，且a4，a51，a6成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn，證明Sn128(n1,2,3，),解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(qR)，由a7a1q61，得a1q6，從而a4a1q3q3，a5a1q4q2，a6a1q5q1.因?yàn)閍4，a51，a6成等差數(shù)列，所以a4a62(a51)，即q3q12(q21)，q1(q21)2(q21)所以q.故ana1qn1q6qn164n1.(2)證明：Sn128.,2已知數(shù)列an滿足a12，且點(diǎn)(an，an1)在函數(shù)f(x)x22x的圖象上，其中n1,2,3，.(1)證明：數(shù)列l(wèi)g(1an)是等比數(shù)列；(2)設(shè)Tn(1a1)(1a2)(1an)，求Tn及數(shù)列an的通項(xiàng),解：(1)證明：由已知an12an，an11(an1)2.a12，an11，lg(an11)2lg(an1)數(shù)列l(wèi)g(an1)是公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知Tn，an,解決數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題必須準(zhǔn)確探索問(wèn)題所涉及的數(shù)列類型：(1)如果問(wèn)題所涉及的數(shù)列是特殊數(shù)列(如等差數(shù)列、等比數(shù)列，或與等差、等比有關(guān)的數(shù)列等)，應(yīng)首先找出數(shù)列的通項(xiàng)公式(2)如果問(wèn)題所涉及的數(shù)列不是某種特殊數(shù)列，一般應(yīng)考慮先建立數(shù)列的遞推關(guān)系(即an與an1的關(guān)系)(3)解決數(shù)列的應(yīng)用問(wèn)題必須準(zhǔn)確計(jì)算項(xiàng)數(shù)，例如與“年數(shù)”有關(guān)的問(wèn)題，必須確定起算的年份，而且應(yīng)準(zhǔn)確定義an是表示“第n年”還是“n年后”,【例3】從社會(huì)效益和經(jīng)濟(jì)效益出發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè)根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將會(huì)比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì)比上年增加.,(1)設(shè)n年內(nèi)(本年度為第一年)總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元，寫(xiě)出an，bn的表達(dá)式；(2)至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？思路點(diǎn)撥：(1)寫(xiě)出a1，b1，a2，b2，由此得出an，bn的表達(dá)式(2)解不等式bnan>0，求n的最小值,解：(1)第1年投入800萬(wàn)元，第2年投入為800萬(wàn)元，第n年投入為800n1萬(wàn)元，所以，n年內(nèi)的總投入an800800800n14000.第1年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第2年旅游業(yè)收入為400萬(wàn)元，第n年旅游業(yè)收入為400n1萬(wàn)元所以，n年內(nèi)的旅游業(yè)總收入bn400400400n11600.,(2)設(shè)至少經(jīng)過(guò)n年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入，由此bnan0，即160040000，化簡(jiǎn)得，5n2n70，設(shè)xn，代入上式得5x27x20，解此不等式，得x，x1(舍去)，即n，由此得n5.至少經(jīng)過(guò)5年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入,變式3：如下圖所示，在一直線插有13面小旗，相鄰兩面間距離為10m，在第一面小旗處有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路最短，應(yīng)集中到哪一面小旗的位置上？最短路程是多少？,解：設(shè)將旗集中到第x面小旗處，則從第一面旗到第x面處，共走路程為10(x1)，然后回到第二面處再到第x面處是20(x2)，從第x面處到第(x1)面處的路程為20，從第x面處到第(x2)面取旗再到第x面處，路程為202，總的路程為S10(x1)20(x2)20(x3)2022012020220(13x),10(x1)202010(x1)(x2)(x1)(13x)(14x)10(2x229x183)20xN*，x7時(shí)，S有最小值S780(m)將旗集中到第7面小旗處，所走路程最短.,1深刻理解等差(比)數(shù)列的性質(zhì)，熟悉它們的推導(dǎo)過(guò)程是解題的關(guān)鍵兩類數(shù)列性質(zhì)有類似的部分，又有區(qū)別，要在應(yīng)用中加強(qiáng)記憶同時(shí)，用好性質(zhì)也會(huì)降低解題的運(yùn)算量，從而減少差錯(cuò)2等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式要分兩種情況，公比等于1和公比不等于1，最容易忽視公比等于1的情況，要注意這方面的練習(xí)3在等差數(shù)列與等比數(shù)列中，經(jīng)常要根據(jù)條件列方程(組)求解，在解方程組時(shí)，仔細(xì)體會(huì)兩種情形中解方程組的方法的不同之處,【規(guī)律方法總結(jié)】,4數(shù)列的滲透力很強(qiáng)，它和函數(shù)、方程、三角、不等式等知識(shí)相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無(wú)形中加大了綜合的力度解決此類題目，必須對(duì)蘊(yùn)藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重大作用，常用的數(shù)學(xué)思想方法有：“函數(shù)與方程”“數(shù)形結(jié)合”“分類討論”“等價(jià)轉(zhuǎn)換”等5在現(xiàn)實(shí)生活中，人口的增長(zhǎng)，產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的算、分期付款問(wèn)題等，都可以利用數(shù)列解決，因此要會(huì)在實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型，并用它解決問(wèn)題.,【高考真題】,【例4】(2009全國(guó)卷)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知a11，Sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式分析：本題第(1)問(wèn)將an2Sn2Sn1代入可以得到an的遞推式，再用bnan12an代入即證；第(2)問(wèn)將bn的通項(xiàng)公式代入bnan12an，可得an的遞推式，再依照題型模式求解即可,規(guī)范解答：(1)由已知得a1a24a12，解得a23a125，故b1a22a13.又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此數(shù)列bn是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列,(2)由(1)知等比數(shù)列bn中b13，公比q2，所以an12an32n1，于是因此數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以an(3n1)2n2.,【命題探究】,【全解密】,求解等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考的?？碱}型但是，作為以“能力立意”為命題思路的高考試題，往往會(huì)在試題的命制上對(duì)考生的思維能力提出更高的要求本題的命題構(gòu)思非常簡(jiǎn)捷，給出數(shù)列an的初始值a11和一個(gè)遞推關(guān)系式Sn14an2，由此可以探究數(shù)列an的通項(xiàng)公式，但思維的跨度較大，且考查形式單一于是，命題人設(shè)計(jì)了一個(gè)過(guò)渡關(guān)系式bnan12an，由此可以考查等比數(shù)列,【誤點(diǎn)警示】,本題的求解過(guò)程有兩個(gè)常見(jiàn)的思維錯(cuò)誤：(1)由于在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，我們常常接觸到an與Sn的遞推式anSnSn1(n2，nN*)，于是沒(méi)有注意到本題的題目形式特點(diǎn)，將anSnSn1直接代入，從而出現(xiàn)下標(biāo)的混亂其實(shí)只要將an1Sn1Sn(nN*)代入就不會(huì)使下標(biāo)不一致了所以注意下標(biāo)的特點(diǎn)是求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵,(2)得到遞推式an12an32n1后，不會(huì)轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列求解，只是看到等式右邊是一個(gè)等比數(shù)列的形式，可以求和，于是結(jié)合平時(shí)的做題經(jīng)驗(yàn)，企圖利用疊加法求和，使計(jì)算繁瑣且不能成功所以我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)要注意積累并理解常見(jiàn)題型的特點(diǎn)、求解的基本思路和方法，高考時(shí)才不會(huì)出現(xiàn)思維混亂，顧此失彼.,1設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，前n項(xiàng)和Sn0(n1,2，)(1)求q的取值范圍；(2)設(shè)bnan2an1，記bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n，試比較Sn與Tn的大小分析：對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，應(yīng)依據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式將和表示出來(lái)，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式；對(duì)于第二個(gè)問(wèn)題，要注意兩個(gè)數(shù)列間的關(guān)系，表示出bn，從而找到兩個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和間的關(guān)系，從而比較其大小,解：(1)由于數(shù)列an是等比數(shù)列，且Sn0，a1S1>0，q0，當(dāng)q1時(shí)，Snna10；當(dāng)q1時(shí)，Sn0，即0(n1,2,3，)，上式等價(jià)于，(n1,2,3，)，或，(n1,2,3，)，解，得q1；解，由于n可為偶數(shù)，得1q1.綜上所述，q的取值范圍是(1,0)(0，),(2)由bnan2an1，得bnan，TnSn于是TnSnSn(q2)Sn，又Sn0，且1q0或q0，當(dāng)1q或q2時(shí)，TnSn0即TnSn；當(dāng)q2且q0時(shí)，TnSn0，即TnSn；當(dāng)q或q2時(shí)，TnSn0，即TnSn.,2已知an，bn為兩個(gè)數(shù)列，點(diǎn)M(1,2)，An(2，an)，Bn為平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)(1)對(duì)nN*，若點(diǎn)M，An，Bn在同一直線上，求數(shù)列an的通項(xiàng)an；(2)在(1)的條件下若數(shù)列an滿足2n3(nN*)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.分析：三點(diǎn)共線可以利用斜率相等列出等式，求出數(shù)列an的通項(xiàng)an.,解：(1)由題設(shè)知kMAnkMBn，由斜率公式得，解得an2n(nN*)(2)由題設(shè)知a1a2ann(n1)，條件中的等式可化為a1b1a2b2anbnn(n1)(2n3)，有a1b1a2b2an1bn1(n1)n(2n5)得bn3n4(n2)當(dāng)n1時(shí)，a1b112(1)，得b11.bn3n4(nN*)bn1bn3(nN*)則數(shù)列bn是公差為3的等差數(shù)列Sn,