能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系/能根據(jù)給定兩個圓的方程，判斷兩圓的位置關(guān)系/利用直線和圓的方程解決一些簡單問題/初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想【命題預(yù)測】這部分知識是歷年高考的一個熱點，主要考查直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、軌跡問題及與圓有關(guān)的最值問題,第4課時直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系,【應(yīng)試對策】1代數(shù)法和幾何法是判斷直線和圓的位置關(guān)系的兩種方法，在使用這兩種方法時要正確進行選擇如果是直線和圓相切的問題，通常可以利用圓心到直線的距離和半徑的關(guān)系進行判斷；但是直線和圓相交的問題通常使用代數(shù)法進行解決，在求出弦長之后再結(jié)合實際圖形來解決，特別是利用相關(guān)的直角三角形可以降低運算量研究直線與圓的位置關(guān)系時，要緊緊抓住圓心到直線的距離與圓半徑的大小關(guān)系這一知識點，這個過程充分體現(xiàn)并運用了數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，這是解析幾何中重要的數(shù)學(xué)思想方法運用數(shù)形結(jié)合的思想解題時要注意作圖的準確性，分類討論時要做到不重、不漏在對含有參數(shù)的直線和圓的方程進行判斷時，還可以通過分析直線與圓是否過定點進行判斷，從而達到簡化運算的目的.,2判定兩圓位置關(guān)系的難點在于求圓心距及兩圓半徑，一般把圓的方程化為標準方程，找出兩圓圓心，代入兩點之間的距離公式即可得出圓心距，然后比較與兩圓半徑的和與差的大小即可有時候也可以根據(jù)兩圓的實際圖形及圓的弦所具有的性質(zhì)進行判定，但是無論如何最好先把圓的方程化成標準形式，再進行下一步的分析對于求兩圓的切線問題通常是根據(jù)實際圖形，利用代數(shù)與幾何知識相結(jié)合的方法進行求解判斷兩圓的位置關(guān)系時，應(yīng)先求圓的半徑和圓心坐標，再求兩圓的圓心距，最后比較圓心距和兩圓半徑和、差的絕對值的大小關(guān)系兩圓相交弦所在直線的方程是由兩個圓的方程聯(lián)立組成的方程組確定的，消去二次項后所得的二元一次方程就是兩圓公共弦所在的直線方程,3過圓外一點的切線必有兩條，無論用幾何法還是代數(shù)法，當求得的值只有一個時，則另一條的切線斜率一定不存在，可由數(shù)形結(jié)合法求出確定兩圓的公切線的條數(shù)，首先應(yīng)判斷兩圓的位置關(guān)系，從而防止漏解一般地，當兩圓內(nèi)切時有一條公切線，外切時有三條公切線，相交時有兩條公切線，外離時有四條公切線，內(nèi)含時無公切線切點與圓心的連線與切線垂直這一幾何性質(zhì)在解題中有著廣泛的運用掌握圓心距和兩圓半徑的關(guān)系以及圓的平面幾何性質(zhì)對于解決圓的問題起到很重要的作用涉及與圓的弦有關(guān)的問題時，為簡化運算，常利用半弦長、弦心距及半徑構(gòu)成的直角三角形進行解題,與圓有關(guān)的最值問題解直線與圓的最值問題主要有以下兩種思路：(1)代數(shù)法：利用平面幾何中的有關(guān)公式，構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，然后根據(jù)函數(shù)最值的求法進行求解在轉(zhuǎn)化過程中常用到向量的數(shù)量積、二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、換元等知識和方法(2)幾何法：找到所求式的幾何意義，在坐標系中與圓建立聯(lián)系，分析其與圓的位置變化情況，找到最大、最小取值點,【知識拓展】,例如：已知實數(shù)x、y滿足方程x2y22，求的最大值此題條件方程“x2y22”的幾何意義是點P(x，y)為圓x2y22上的點，則就表示過點P(x，y)和點M(2，2)的直線的斜率顯然當直線MP與圓x2y22相切時，kMP取最值如果要求xy的最值，令xyb，則yxb，那么b表示斜率為1的直線與圓x2y22相交或相切時直線的縱截距，只要作出圖象即可求出最值,1直線與圓的位置關(guān)系,0,2,2.圓與圓的位置關(guān)系,1(2010栟茶高級中學(xué)學(xué)情分析)不論k為何實數(shù)，直線ykx1與曲線x2y22axa22a40恒有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是_答案：1a3,2若直線5x12yc0與圓(x1)2(y1)29相切，則c的值為_解析：由題意可得3，c22或c56.答案：22或56,3經(jīng)過兩圓x2y22x2y70和x2y24x4y80的兩個交點的直線的方程是_解析：兩圓的方程相減得6x6y10，即6x6y10.此方程表示的曲線過兩個圓的交點因此，6x6y10為所求直線方程答案：6x6y10,4若兩圓x2y24與x2y22axa210相內(nèi)切，則a_.解析：圓x2y22axa210可寫成(xa)2y21.兩圓的半徑分別為2,1，兩圓的圓心距為|a|.兩圓內(nèi)切，|a|21，a1.答案：1,5直線xy20截圓x2y24所得劣弧對應(yīng)的圓心角度數(shù)為_解析：圓心到直線xy20的距離為|OH|，由|OA|2，得cosAOH.AOH30，AOB60.答案：60,直線l：AxByC0(A、B不同時為零)與圓(xa)2(yb)2r2(r>0)的位置關(guān)系的判斷方法有：(1)幾何方法：圓心(a，b)到直線AxByC0的距離d，dr直線與圓相離(2)代數(shù)方法：由消元，得到的一元二次方程的判別式為，則>0直線與圓相交；0直線與圓相切；0)有公共點，則nm的值為_答案：10,1求圓的切線一般有兩種方法，第一種方法是利用圓心到直線的距離等于半徑來求切線，這種方法較常用，第二種方法是利用判別式法2處理圓的弦長的問題常用弦心距、半弦長、半徑之間的關(guān)系來求，也可以利用公式：弦長|x1x2|(其中k為弦所在直線的斜率，x1，x2為弦的端點的橫坐標)來求,【例3】求與圓C：x2y22x0外切，與直線xy0相切于點(3，)的圓的方程思路點撥：采用待定系數(shù)法求圓的標準方程解：圓C可化為(x1)2y21，設(shè)所求圓的圓心為A(a，b)，半徑為r(r0)，則點A滿足在過點(3，)且與xy0垂直的直線上，即y=(x3)，,化簡得r2|a3|，當a3時，r2(a3)，代入解得a4，則b0，r2，所求圓的方程為(x4)2y24，當a3時，r2(3a)，代入解得a0，則b4，r6，所求圓的方程為x2(y4)236，所以，所求圓的方程為(x4)2y24或x2(y4)236.,變式3：已知兩圓x2y22x6y10和x2y210 x12ym0.(1)m取何值時兩圓外切？(2)m取何值時兩圓內(nèi)切？(3)求m45時兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長解：兩圓的標準方程分別為(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為和.,(2)當兩圓內(nèi)切時，因定圓的半徑小于兩圓圓心間距離5，故只有5，解得m2510.(3)兩圓的公共弦所在直線方程為(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，即4x3y230，公共弦長為2.,1根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求弦長，一般不用判別式，而是用圓心到直線的距離與半徑大小關(guān)系求解2要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的性質(zhì)，如“垂直于弦的直徑必平分弦”“圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑”“兩圓相切時，切點與兩圓圓心三點共線”等等，尋找解題途徑，減少運算量,【規(guī)律方法總結(jié)】,3圓與直線l相切的情形圓心到l的距離等于半徑，圓心與切點的連線垂直于l.4圓與直線l相交的情形圓心到l的距離小于半徑，過圓心而垂直于l的直線平分l被圓截得的弦；連接圓心與弦的中點的直線垂直于弦；過圓內(nèi)一點的所有弦中，最短的是垂直于過此點的直徑的那條弦，最長的是過這點的直徑在解有關(guān)圓的解析幾何題時，主動地、充分地利用這些性質(zhì)可以得到新奇的思路，避免冗長的計算,【高考真題】【例4】(2009天津卷)若圓x2y24與圓x2y22ay60(a>0)的公共弦的長為2，則a_.分析：求出兩圓的公共弦所在的直線方程，根據(jù)直線被圓所截得的弦長公式列方程求解,規(guī)范解答：兩個圓的方程相減得公共弦所在的直線方程為y，則圓心(0,0)到直線的距離d，根據(jù)圓的半徑、弦心距、弦長之間的關(guān)系，可得22，又a>0，解得a1.故填1.答案：1,本題給出兩個圓的公共弦長，說明第二個圓也是定圓，通過這樣的設(shè)計考查圓與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系的基本知識，考查考生分析問題、解決問題的能力，是一道知識考查與能力考查并重的試題這類題目也是對教材題目的適當改造，本題設(shè)置了參數(shù)，問題實質(zhì)沒有變化解決這類問題的一個基本方法就是求出兩個圓的公共弦所在的直線方程，根據(jù)直線被圓所截得的弦長公式解決,【課本探源】,【全解密】,兩個圓的位置關(guān)系兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，圓心距|O1O2|d，則兩圓外離d>r1r2；兩圓外切dr1r2；兩圓相交|r1r2|<d<r1r2；兩圓內(nèi)切d|r1r2|；兩圓內(nèi)含0d0)的圓心到公共弦的距離為d2，則d2，兩個圓的圓心距等于a，而兩圓的圓心距要么等于d1d2，要么等于|d1d2|，顯然本題中兩個圓的圓心距等于d2d1，即1a，解得a1.本題容易忽視限制條件得到a1，或是出現(xiàn)計算上的錯誤等.,【發(fā)散思維】,1判斷圓C1：x2y22x6y260與圓C2：x2y24x2y40的公切線條數(shù)分析：兩圓的公切線條數(shù)是由兩圓的位置關(guān)系決定的，所以，解決此類題目的關(guān)鍵是判斷兩圓的位置關(guān)系,解：將圓C1化為標準方程：(x1)2(y3)236，得圓心坐標C1(1,3)，半徑r16.將圓C2化為標準方程：(x2)2(y1)21，得圓心坐標C2(2，1)，半徑r21.|C1C2|5，又|C1C2|r1r2|5，即兩圓內(nèi)切圓C1與圓C2有一條公切線,2某河上有一座圓拱橋，其跨度為30m，圓拱高為5m，一船寬為10m，上載有貨物，水面到船頂高為4m，問：該船能否順利通過此橋？分析：該船能否順利通過此橋，就是看點A(5,4)在圓上，還是在圓內(nèi)，因此，需要建立適當?shù)淖鴺讼?，根?jù)題中的條件，求出圓的方程,解：建立如圖所示的直角坐標系，則圓心在y軸上，設(shè)圓心坐標為(0，a)，半徑為r，則圓的方程為x2(ya)2r2，代入點(0,5)，(15,0)，得該圓的方程為x2(y20)2625.船寬10m，高4m，所以，判斷該船能否通過此橋，即判斷點A(5,4)與圓的位置關(guān)系52(420)2601<625，點(5,4)在圓內(nèi)，即該船能順利通過此橋,