教學(xué)目標(biāo)1. 了解一個數(shù)的平方根和算術(shù)平方根的意義，理解和掌握平方根的性質(zhì)；2. 會求一個非負(fù)數(shù)的平方根、算術(shù)平方根；3. 掌握立方根的意義，會求一個數(shù)的立方根；4. 理解開立方與立方的關(guān)系。重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：算術(shù)平方根、平方根以及立方根的概念和性質(zhì)。難點(diǎn)：算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系?？键c(diǎn)及考試要求以考查對平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念的理解程度和估算為主教 學(xué) 內(nèi) 容第一課時 平方根與立方根知識梳理課前檢測1、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根： 2、求下列各式的值： （1） （2） （3） （4）3、算術(shù)平方根等于本身的數(shù)有 。4、求下列各數(shù)的算術(shù)平方根. ， ， ， ，5、已知求的值.知識梳理一. 平方根：1. 算術(shù)平方根的概念及表示方法如果一個正數(shù)的平方等于，即，那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根。當(dāng)時，的算術(shù)平方根記為，讀作“根號”，叫做被開方數(shù)。2. 平方根的概念及其性質(zhì)（1）平方根的定義如果一個數(shù)的平方等于，即，那么這個數(shù)叫做的平方根或二次方根。即如果，那么叫做的平方根。（2）一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。當(dāng)時，的平方根表示為。（3）求一個數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫做開平方，其中叫做被開方數(shù)。3. 用計(jì)算器求一個正數(shù)的算術(shù)平方根用計(jì)算器可以求出任何一個正數(shù)的算術(shù)平方根（或其近似值）。二. 立方根：1. 立方根的概念及表示方法如果一個數(shù)的立方等于，那么這個數(shù)叫做的立方根或三次方根。即如果，那么叫做的立方根，記作。正數(shù)的立方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是一個負(fù)數(shù)，0的立方根是0。2. 開立方的概念求一個數(shù)的立方根的運(yùn)算，叫做開立方。正如開平方與平方互為逆運(yùn)算一樣，開立方與立方也互為逆運(yùn)算。3. 用計(jì)算器求立方根很多有理數(shù)的立方根是無限不循環(huán)小數(shù)，我們可用計(jì)算器求出它們的近似值。第二課時 平方根與立方根典型例題典型例題知識點(diǎn)一：算術(shù)平方根例1. 下列各數(shù)有算術(shù)平方根嗎？如果有，求出它的算術(shù)平方根；如果沒有，請說明理由。（1）81；（2）；（3）0；（4）；（5）；（6）。思路分析：根據(jù)“正數(shù)和0都有算術(shù)平方根，負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根”知，（1）、（3）、（4）、（5）有算術(shù)平方根，（2）、（6）沒有算術(shù)平方根。解答過程：（1）因?yàn)?1是正數(shù)，所以它有算術(shù)平方根。又因?yàn)?，所?1的算術(shù)平方根是9；（2）因?yàn)槭秦?fù)數(shù)，所以它沒有算術(shù)平方根；（3）0有算術(shù)平方根，就是0；（4）因?yàn)槭钦龜?shù)，所以它有算術(shù)平方根。又因?yàn)椋缘乃阈g(shù)平方根是；（5）因?yàn)槭钦龜?shù)，所以它有算術(shù)平方根。又因?yàn)?，所以的算術(shù)平方根是2；（6），是負(fù)數(shù)，所以沒有算術(shù)平方根。解題后的思考：要判斷一個數(shù)有沒有算術(shù)平方根，要根據(jù)算術(shù)平方根的概念確定這個數(shù)是不是非負(fù)數(shù)，只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根。以上結(jié)論不要死記硬背，同學(xué)們要理解為什么負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根？例2. 已知，求的值。思路分析：考慮、都是非負(fù)數(shù)，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，不難解決此題。解答過程：又解得。解題后的思考：一個數(shù)的平方、絕對值、非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根都是非負(fù)數(shù)，如果幾個非負(fù)數(shù)的和為零，那么這幾個非負(fù)數(shù)都為零。這是解決這類問題的出發(fā)點(diǎn)。小結(jié)：1. 只有非負(fù)數(shù)才有算術(shù)平方根，并且只有一個；2. 一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根是一個非負(fù)數(shù)。知識點(diǎn)二：平方根的概念及其性質(zhì)例3. 求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根：（1）3600；（2）；（3）0.0001；（4）。思路分析：因?yàn)榍笠粋€非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算與平方運(yùn)算是互逆運(yùn)算，所以可借助平方運(yùn)算來求這些數(shù)的平方根和算術(shù)平方根。解答過程：（1）因?yàn)?，所?600的平方根是，即。3600的算術(shù)平方根是60，即。（2）因?yàn)?，所以的平方根是，即。的算術(shù)平方根是，即。（3）因?yàn)椋?.0001的平方根為，即。0.0001的算術(shù)平方根為0.01，即。（4）因?yàn)?，所以的平方根為，即。的算術(shù)平方根為7，即。解題后的思考：運(yùn)用平方運(yùn)算求一個非負(fù)數(shù)的平方根和算術(shù)平方根是常用的方法。如果被開方數(shù)是小數(shù)，要注意小數(shù)點(diǎn)的位置，也可以先將小數(shù)化為分?jǐn)?shù)，再求它的平方根和算術(shù)平方根；如果被開方數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求它的平方根和算術(shù)平方根。例4. 求下列各式中的。（1）；（2）；（3）；（4）。思路分析：把上面各式化成的形式，求出的平方根，就可以求出的值。解答過程：（1）因?yàn)椋?；?）因?yàn)椋?，所以或；?）因?yàn)?，所以，所以；?）因?yàn)?，所以，所以。解題后的思考：雖然目前我們并沒有學(xué)習(xí)過一元二次方程的解法，但是我們可以利用平方根的定義求解一些簡單的一元二次方程。例5. 若一個正數(shù)的兩個平方根分別為和，求的值。思路分析：由平方根的性質(zhì)知：一個正數(shù)有兩個平方根，且它們互為相反數(shù)，因而可構(gòu)造方程，求出的值，而或，據(jù)此可求出的值。解答過程：因?yàn)橐粋€正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù)所以，解得。從而（或所以。解題后的思考：本題利用平方根的性質(zhì)，構(gòu)造一元一次方程，先求出其平方根，再進(jìn)一步求出。這里用到了方程思想，它是初中階段一種重要的數(shù)學(xué)思想。例6. 若適合關(guān)系式，試求的值。思路分析：從已知關(guān)系式看似乎無從下手，但關(guān)系式要成立先要有意義，此題從被開方數(shù)必須非負(fù)入手就能迎刃而解。解答過程：由已知，得由（3）（4）式可知，所以，原式即為因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，解得。解題后的思考：的非負(fù)性包括兩層含義：一是被開方數(shù)必須非負(fù)，即；二是的算術(shù)平方根必須非負(fù)，即。小結(jié)：負(fù)數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的平方根；0的平方根是0知識點(diǎn)三：平方根的估算例7. 已知為的整數(shù)部分，是9的平方根，且，求的值。思路分析：此題涉及的估值問題，由，即可解。還涉及的取值的取舍問題，求出的值要滿足題目中的所有條件，既不能漏解，也不能多解。解答過程：因?yàn)?，所以，即因?yàn)槭?的平方根，所以，即或又因?yàn)椋运?，故。解題后的思考：若的整數(shù)部分為，則其小數(shù)部分為。小結(jié)：若一個非負(fù)數(shù)介于另外兩個非負(fù)數(shù)之間，即時，它的算術(shù)平方根也介于之間，即。利用這個結(jié)論我們可以來估算一個非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的大致范圍。對一個數(shù)和式子進(jìn)行估算是以后我們會經(jīng)常遇到的問題。比如解不等式組、求函數(shù)定義域和值域、求集合的交集和并集等。知識點(diǎn)四：立方根的概念及其性質(zhì)例8. 已知是8的立方根，求。思路分析：此題主要考查立方根的概念，但是用字母表示具體的數(shù)，涉及到代數(shù)。解答過程：是8的立方根，解題后的思考：利用立方根的概念解決抽象的代數(shù)問題。小結(jié)：立方根與平方根的區(qū)別：只有非負(fù)數(shù)才有平方根，0的平方根為0，正數(shù)的平方根有兩個且互為相反數(shù)；任何數(shù)均有立方根，并且有唯一的與其符號相同的立方根。知識點(diǎn)五：平方根與立方根的綜合運(yùn)用例9. （1）已知，則_；（2）已知，則。思路分析：一個正數(shù)擴(kuò)大（或縮?。?00倍，則它的算術(shù)平方根擴(kuò)大（或縮?。?0倍。從小數(shù)點(diǎn)的位置看，一個數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動2位，則它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動1位。一個正數(shù)擴(kuò)大（或縮?。?000倍，則它的立方根擴(kuò)大（或縮?。?0倍。從小數(shù)點(diǎn)的位置看，一個數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動3位，則它的立方根的小數(shù)點(diǎn)向右（或向左）移動1位。解答過程：（1）因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗越忸}后的思考：同學(xué)們可以將以前所學(xué)知識和這個知識點(diǎn)結(jié)合起來理解和記憶：一個正數(shù)擴(kuò)大10倍，則它的平方擴(kuò)大100倍，立方擴(kuò)大1000倍；反之，一個正數(shù)縮小100倍，它的算術(shù)平方根縮小10倍；一個正數(shù)縮小1000倍，它的立方根縮小10倍。例10. 已知是的算術(shù)平方根，是的立方根，試求的值。思路分析：由是的算術(shù)平方根可知，由是的立方根可知，由此可得方程組，解得的值，從而求得的值，最后求出的值。解答過程：由題意可知解方程組得所以，所以，。解題后的思考：明確算術(shù)平方根和立方根的意義及表示方法。例11. 若與互為相反數(shù)，求代數(shù)式的值。思路分析：由立方根的定義和性質(zhì)可知，若與互為相反數(shù)，則有被開方數(shù)互為相反數(shù)。由此求出的關(guān)系式，然后代入求值。解答過程：由題意得所以，則。解題后的思考：熟悉掌握立方根的性質(zhì)是解決這類問題的關(guān)鍵。師生小結(jié) 被開方數(shù)名稱正數(shù)0負(fù)數(shù)1算術(shù)平方根1個（正數(shù)）0無1無平方根2個（一正一負(fù)）0無無立方根1個（正數(shù)）01個（負(fù)數(shù)）1第三課時 平方根與立方根課堂檢測課堂檢測一、選擇題：1. 的絕對值是（ ）A. 3B. C. D. 2. 下列說法中正確的是（ ）A. 一個數(shù)的立方根有兩個，它們互為相反數(shù)B. 負(fù)數(shù)沒有立方根C. 如果一個數(shù)有立方根，那么它一定有平方根D. 一個非零數(shù)的立方根與這個數(shù)同號3. 與最接近的數(shù)是（ ）A. 0B. 2C. 4D. 54. 若某數(shù)的立方根等于這個數(shù)的算術(shù)平方根，那么這個數(shù)是（ ）A. 1B. C. 0或1D. 或05. 計(jì)算（ ）A. B. C. D. 0二、填空題：6. （1）_；（2）_；（3）_；（4）_；（5）_；7. 的平方根是_；8. 的小數(shù)部分為_；9. 下列說法中正確的是_（將序號填寫在橫線上）4的平方根是2；4的算術(shù)平方根是2；是4的平方根；的平方根是；0.3是0.09的平方根；0.4的算術(shù)平方根是0.2。10. 如果，那么_。三、解答題：11. 求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根（1）（2）0.0081（3）()2（4）1412. 求下列各數(shù)的立方根（1）0.001（2）216（3）3（4）313. 求下列各式中的x（1）9x22560 （2）4(2x1)22514. 已知：(12a)20，求ab的值15. 若3x16的立方根是4，求2x4的算術(shù)平方根16. 已知，求的值。 17.已知：（1）2+0，求+2的立方根18.已知：2的平方根是2,2+7的立方根是3，求2+2的平方根19. 若2（3）2，3（2）3，求+的所有可能值19. 將半徑為3 cm的鐵球熔化，重新鑄成8個半徑相同的小鐵球。（1）原鐵球的體積是多少？（2）每個小鐵球的體積是多少？半徑是多少？（球的體積公式：） 20. 計(jì)劃用100塊地板磚來鋪設(shè)面積為16m2的客廳，求所需的正方形地板磚的邊長是多少米？ 21. 已知第一個正方體紙盒的棱長是6cm，第二個正方體紙盒的體積要比第一個紙盒的體積大127cm3，求第二個正方體紙盒的棱長