課 題全等三角形及三角形全等的條件教學(xué)目的1、掌握全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理計(jì)算。2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能準(zhǔn)確找到判定定理的條件，并熟練運(yùn)用。教學(xué)內(nèi)容1、 課前檢測(cè)1如圖（1），ABC中，AB=AC，AD平分BAC，則_2斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形全等的根據(jù)是_，底邊和腰相等的兩個(gè)等腰三角形全等的根據(jù)是_3已知ABCDEF，DEF的周長(zhǎng)為32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm則AB=_，BC=_，AC=_ 圖（1） 圖（2） 圖（3）4 如圖（2），AC=BD，要使ABCDCB還需知道的一個(gè)條件是_5 如圖（3），若1=2，C=D，則ADB_，理由_6 不能確定兩個(gè)三角形全等的條件是（ ）A三邊對(duì)應(yīng)相等B兩邊及其夾角相等C兩角和任一邊對(duì)應(yīng)相等D三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等7ABC和DEF中，AB=DE，A=D，若ABCDEF還需要 （ ）AB=EBC=F CAC=DFD前三種情況都可以8 在ABC和ABC中AB=AB BC=BCAC=ACA=AB=BC=C，則下列哪組條件不能保證ABCABC （ ）A具備B具備C具備D具備參考答案：1ADBADC2ASA（或AAS）SSS39 cm12 cm11 cm4ACB=DBC或AB=CD5 ACBAAS 6D 7D 8A2、 知識(shí)梳理知識(shí)要點(diǎn)：要點(diǎn)1：全等三角形的概念及其性質(zhì)（1）全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形 。（2）全等三角形性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等、周長(zhǎng)相等、面積相等要點(diǎn)2：全等三角形的判定（1）兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等SAS； （2）兩角及夾邊對(duì)應(yīng)相等ASA；（3）兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等AAS； （4）三邊對(duì)就應(yīng)相等SSS。要點(diǎn)3：找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的方法 （1）若給出對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)即可找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。（2）若給出一些對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，則按照對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，反之，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊就可找出其他幾組對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。（3）按照兩對(duì)對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角，兩對(duì)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊來(lái)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊。（4）一般情況下，在兩個(gè)全等三角形中，公共邊、公共角、對(duì)頂角等往往是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角。要點(diǎn)4：尋找兩個(gè)三角形全等的途徑（1）三角形全等的判定是這個(gè)單元的重點(diǎn)，也是平面幾何的重點(diǎn) 有兩組對(duì)應(yīng)角相等時(shí)；找 有兩組對(duì)應(yīng)邊相等時(shí)；找 有一邊，一鄰角相等時(shí)；找 有一邊，一對(duì)角相等時(shí)；找任一組角相等（AAS）（2）利用兩個(gè)三角形的公共邊或公共角尋找對(duì)應(yīng)關(guān)系，推得新的等量元素如圖（一）中的AD，圖（二）中的BC都是相應(yīng)三角形的公共元素。圖（三）中如有BF=CE，利用公有的線段FC就可推出BC=EF。圖（四）中若有DAB=EAC，就能推出DAC=BAE。三、例題講解： 例1. 如圖，四點(diǎn)共線，。求證：。. 思路分析：從結(jié)論入手，全等條件只有；由兩邊同時(shí)減去得到，又得到一個(gè)全等條件。還缺少一個(gè)全等條件，可以是，也可以是。由條件，可得，再加上，可以證明，從而得到。解答過(guò)程：，在與中(HL)，即在與中(SAS)解題后的思考：本題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問(wèn)題或結(jié)論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論。再對(duì)比“所需條件”和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€(gè)題目，得出解題思路例2. 如圖，在中，是ABC的平分線，垂足為。求證：。思路分析：直接證明比較困難，我們可以間接證明，即找到，證明且。也可以看成將“轉(zhuǎn)移”到。那么在哪里呢？角的對(duì)稱性提示我們將延長(zhǎng)交于，則構(gòu)造了FBD，可以通過(guò)證明三角形全等來(lái)證明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。解答過(guò)程：延長(zhǎng)交于在與中(ASA 又 。解題后的思考：由于角是軸對(duì)稱圖形，所以我們可以利用翻折來(lái)構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3. 如圖，在中，。為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，連接和。求證：。思路分析：可以利用全等三角形來(lái)證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角形。以線段為邊的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，而線段正好是的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯?。解答過(guò)程：，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)在與中(SAS)。解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時(shí)不容易找到需證明的三角形。這時(shí)我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來(lái)尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4. 如圖，是的邊上的點(diǎn)，且，是的中線。求證：。思路分析：要證明“”，不妨構(gòu)造出一條等于的線段，然后證其等于。因此，延長(zhǎng)至，使。解答過(guò)程：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接在與中(SAS)，又，在與中(SAS)又。解題后的思考：三角形中倍長(zhǎng)中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。4、 課堂練習(xí)一、選擇題：1. 能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是( )A. 兩直角邊對(duì)應(yīng)相等B. 一銳角對(duì)應(yīng)相等C. 兩銳角對(duì)應(yīng)相等D. 斜邊相等2. 根據(jù)下列條件，能畫(huà)出唯一的是( )A. ，B. ，C. ，D. ，3. 如圖，已知，增加下列條件：；。其中能使的條件有( )A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè) （第3題） （第4題） （第5題） （第6題）4. 如圖，已知，則等于( )A. B. C. D. 無(wú)法確定二、填空題：5. 如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)，且，則點(diǎn)到的距離等于_；6. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為_(kāi)；三、解答題：7. 如圖，為等邊三角形，點(diǎn)分別在上，且，與交于點(diǎn)。求的度數(shù)。8. 如圖，為上一點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)。求證：。9. 如圖，已知AEAD，AFAB，AF=AB，AE=AD=BC，AD/BC.求證：（1）AC=EF，（2）ACEF10. 已知：如圖，在RtABC中，AB=AC，BAC=90，1=2，CEBD的延長(zhǎng)線于E.求證：BD=2CE.參考答案一、選擇題：1. A2. C3. B4. C二、填空題：5. 46. 三、解答題：7. 解：為等邊三角形，在與中(SAS)。8. 證明：，在與中(AAS)。9. 證明：（1）AD/BC，BDAB=180又DAB4EAF3=360，3=4=90DABEAF=180B=EAF在ABC和FAE中 ABCFAE（SAS） AC=EF（2）ABCFAE1=F 又13=2F2=3 又3=90 2=90 AGEF，即ACEF10. 證明：延長(zhǎng)BA、CE交于點(diǎn)F. 3=90，5F=90又BECE，4=90，7=90 1F=90，6=18090=901=5在ABD和ACF中 ABDACF（ASA）BD=FC在BEF和BEC中 BEFBEC（ASA）EF=EC FC=2EC BD=2EC5、 課堂小結(jié)(1) 全等三角形的概念及其性質(zhì)(2) 全等三角形的判定(3) 找全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的方法(4) 尋找兩個(gè)三角形全等的途徑六、課后作業(yè) 一、填空題1如圖（1），C=E，1=2，AC=AE，則ABD按邊分是_ 三角形2如圖（2），AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，交BD于P，則PD_PE（填“<”或“>”或“=”）3如圖（3），ABC中，AB=AC，現(xiàn)想利用證三角形全等證明B=C，若證三角形全等所用的公理是SSS公理，則圖中所添加的輔助線應(yīng)是_圖（1） 圖（2）圖（3） 圖（4）4 一個(gè)三角形的三邊為2、5、x，另一個(gè)三角形的三邊為y、2、6，若這兩個(gè)三角形全等，則x+y=_5 如圖（4），AD=AE，若AECADB，則需增加的條件是_（至少三個(gè)）2、 選擇題6如圖（8），圖中有兩個(gè)三角形全等，且A=D，AB與DF是對(duì)應(yīng)邊，則下列書(shū)寫(xiě)最規(guī)范的是（ ）AABCDEFBABCDFECBACDEFDACBDEF7如圖（9），AC=AB，AD平分CAB，E在AD上，則圖中能全等的三角形有_對(duì)A1B2C3D4圖（8） 圖（9）圖（10）圖（11）8如圖（10），ABC中，D、E是BC邊上兩點(diǎn)，AD=AE，BE=CD，1=2=110，BAE=60，則CAD等于 （ ）A70 B60 C50D1109如圖（11），ABCD，且AB=CD，則ABECDE的根據(jù)是 （ ）A只能用ASAB只能用SASC只能用AASD用ASA或AAS10如圖（12），ABCAEF，AB和AE，AC和AF是對(duì)應(yīng)邊，那么EAC等于（ ）AACBBBAFCFDCAF11如圖（13），ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E且AB=6 cm，則DEB的周長(zhǎng)為 （ ）A40 cmB6 cmC8 cmD10 cm 圖（12）圖（13）圖（14）12如圖（14），1=2，C=D，AC，BD相交于點(diǎn)E，下面結(jié)論不正確的是（ ）ADAE=CBEBDEA與CEB不全等CCE=CDDAEB是等腰三角形三、解答題13已知EF是AB上的兩點(diǎn)，AE=BF，ACBD，且AC=DB，求證：CF=DE 圖（15）14一塊三角形玻璃損壞后，只剩下如圖（16）所示的殘片，你對(duì)圖中作哪些數(shù)據(jù)測(cè)量后就可到建材部門割取符合規(guī)格的三角形玻璃并說(shuō)明理由圖（16）15如圖（17），在ABC中，AM是中線，AD是高線圖（17）（1）若AB比AC長(zhǎng)5 cm，則ABM的周長(zhǎng)比ACM的周長(zhǎng)多_ cm（2）若AMC的面積為10 cm2，則ABC的面積為_(kāi)cm 2A10 B20 C30D40（3）若AD又是AMC的角平分線，AMB=130，求ACB的度數(shù)16已知如圖（18），B是CE的中點(diǎn)，AD=BC，AB=DCDE交AB于F點(diǎn)求證：（1）ADBC （2）AF=BF圖（18）參考答案一、1等腰2=3AD為ABC的中線4115AEC=ADB或C=B或AC=AB或BE=CD（多寫(xiě)一個(gè)加一分）二、6B7C8B9D 10B11B12B三、13證明：ACFBDE（SAS）CF=DE14測(cè)量A，B的度數(shù)和線段AB的長(zhǎng)度，做A=A，AB=ABB=B，則ABC和原三角形全等，據(jù)ASA定理15（1）5（2）B（3）解：ADMADC，AMD=ACM，AMB=130，AMC=ACB=5016（1）證明：ADBCBD（SSS），ADB=CBD，ADBC（2）證：AFDBFE（AAS），AF=FB17（1）證明：ABDCAE（HL），DAB=ACE又ACE+CAE=90，DAB+CAE=90BAC=90，AB與AC垂直