數(shù)學(xué)建模講義,主講人:穆學(xué)文,西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)系Email:mxw1334,第三講微分方程模型,動(dòng)態(tài)模型,描述對(duì)象特征隨時(shí)間(空間)的演變過程,分析對(duì)象特征的變化規(guī)律,預(yù)報(bào)對(duì)象特征的未來(lái)性態(tài),研究控制對(duì)象特征的手段,根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù),微分方程建模,根據(jù)建模目的和問題分析作出簡(jiǎn)化假設(shè),按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程,主要內(nèi)容,生物單種群增長(zhǎng)模型3.1人口增長(zhǎng)模型3.2傳染病模型生物多種群增長(zhǎng)模型3.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)3.4捕食系統(tǒng)的Volterra方程,為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長(zhǎng)。本節(jié)將建立幾個(gè)簡(jiǎn)單的單種群增長(zhǎng)模型，以簡(jiǎn)略分析一下這方面的問題。一般生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過一些簡(jiǎn)單模型的復(fù)合來(lái)研究，大家若有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。,美麗的大自然,種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量，甚至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是十分微小的。,離散化為連續(xù)，方便研究,3.1如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)-Malthus模型與Logistic模型,背景,世界人口增長(zhǎng)概況,中國(guó)人口增長(zhǎng)概況,研究人口變化規(guī)律,控制人口過快增長(zhǎng),指數(shù)增長(zhǎng)模型馬爾薩斯提出(1798),常用的計(jì)算公式,x(t):時(shí)刻t的人口,基本假設(shè):人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r是常數(shù),不考慮移民,今年人口x0,年增長(zhǎng)率r,k年后人口,隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng),Malthus模型實(shí)際上只有在群體總數(shù)不太大時(shí)才合理，到總數(shù)增大時(shí)，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競(jìng)爭(zhēng)等現(xiàn)象。,所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長(zhǎng)率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。,指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性,與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合,適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代,可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè),不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律,不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過程,19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù),阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：,資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用,且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大,假設(shè),r固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí)),xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）,x(t)S形曲線,x增加先快后慢,阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),參數(shù)估計(jì),用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm,利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合,例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位百萬(wàn)）,專家估計(jì),阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),繼續(xù),最小二乘法,設(shè)經(jīng)實(shí)際測(cè)量已得到n組數(shù)據(jù)（xi,yi），i=1,n。將數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標(biāo)系中，見圖。如果建模者判斷這n個(gè)點(diǎn)很象是分布在某條直線附近，令該直線方程為y=ax+b，進(jìn)而利用數(shù)據(jù)來(lái)求參數(shù)a和b。由于該直線只是數(shù)據(jù)近似滿足的關(guān)系式，故yi-(axi+b)=0一般不成立，但我們希望,最小,此式對(duì)a和b的偏導(dǎo)數(shù)均為0，解相應(yīng)方程組，求得：,用MATLAB作線性最小二乘擬合,1.作多項(xiàng)式f(x)=a1xm+amx+am+1擬合,可利用已有程序:,a=polyfit(x,y,m),1.lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=（xdata1，xdata2，xdatan），ydata=（ydata1，ydata2，ydatan）,用MATLAB作非線性最小二乘擬合,Matlab的提供了兩個(gè)求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個(gè)命令都要先建立M-文件fun.m，在其中定義函數(shù)f(x)，但兩者定義f(x)的方式是不同的,可參考例題.,lsqcurvefit用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)F(x,xdata)=（F（x，xdata1），F(xiàn)（x，xdatan）T中的參變量x(向量),使得,輸入格式為:(1)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,options,grad);(4)x,options=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,);(5)x,options,funval=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,);(6)x,options,funval,Jacob=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,);,說明：x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata,options);,lsqnonlin用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)f(x)=(f1(x),f2(x),fn(x)T中的參量x，使得最小。其中fi（x）=f（x，xdatai，ydatai）=F(x,xdatai)-ydatai,2.lsqnonlin,已知數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=（xdata1，xdata2，xdatan）ydata=（ydata1，ydata2，ydatan）,輸入格式為：1）x=lsqnonlin（fun，x0）；2）x=lsqnonlin（fun，x0，options）；3）x=lsqnonlin（fun，x0，options，grad）；4）x，options=lsqnonlin（fun，x0，）；5）x，options，funval=lsqnonlin（fun，x0，）；,說明：x=lsqnonlin（fun，x0，options）；,例用下面一組數(shù)據(jù)擬合中的參數(shù)a，b，k,該問題即解最優(yōu)化問題：,1）編寫M-文件curvefun1.mfunctionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;,2）輸入命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59;x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqcurvefit(curvefun1,x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata),F(x，tdata)=，x=(a，b，k),解法1.用命令lsqcurvefit,3）運(yùn)算結(jié)果為：f=0.00430.00510.00560.00590.00610.00620.00620.00630.00630.0063x=0.0063-0.00340.2542,4）結(jié)論：a=0.0063,b=-0.0034,k=0.2542,返回,模型檢驗(yàn),用模型計(jì)算2000年美國(guó)人口，與實(shí)際數(shù)據(jù)比較,實(shí)際為281.4(百萬(wàn)),模型應(yīng)用預(yù)報(bào)美國(guó)2010年的人口,加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計(jì)模型參數(shù),Logistic模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用(如耐用消費(fèi)品的售量),阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型),大量實(shí)驗(yàn)資料表明用Logistic模型來(lái)描述種群的增長(zhǎng)，效果還是相當(dāng)不錯(cuò)的。例如，高斯把5只草履蟲放進(jìn)一個(gè)盛有0.5cm3營(yíng)養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時(shí)草履蟲以每天230.9%的速率增長(zhǎng)，此后增長(zhǎng)速度不斷減慢，到第五天達(dá)到最大量375個(gè)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線：幾乎完全吻合，見圖3.6。,圖3-6,Malthus模型和Logistic模型的總結(jié),Malthus模型和Logistic模型均為對(duì)微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長(zhǎng)率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長(zhǎng)率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)。,用模擬近似法建立微分方程來(lái)研究實(shí)際問題時(shí)必須對(duì)求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看其是否與實(shí)際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對(duì)模型進(jìn)行修改。,Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長(zhǎng)情況而建立的，但它們也可用來(lái)研究其他實(shí)際問題，只要這些實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可，下面我們來(lái)看兩個(gè)較為有趣的實(shí)例。,年齡分布對(duì)于人口預(yù)測(cè)的重要性,只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移,人口發(fā)展方程,人口發(fā)展方程,一階偏微分方程,例2:傳染病模型,問題,描述傳染病的傳播過程,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律,預(yù)報(bào)傳染病高潮到來(lái)的時(shí)刻,預(yù)防傳染病蔓延的手段,按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型,已感染人數(shù)(病人)i(t),每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為,模型1,假設(shè),若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加,建模,?,模型2,區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假設(shè),1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為,2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病,建模,日接觸率,SI模型,模型2,tm傳染病高潮到來(lái)時(shí)刻,(日接觸率)tm,病人可以治愈！,?,t=tm,di/dt最大,模型3,傳染病無(wú)免疫性病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染,增加假設(shè),SIS模型,3）病人每天治愈的比例為,日治愈率,建模,日接觸率,1/感染期,一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。,接觸數(shù)=1閾值,如果感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù),患者就會(huì)全部治愈。,模型4,傳染病有免疫性病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者,SIR模型,假設(shè),1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為,2）病人的日接觸率,日治愈率,接觸數(shù)=/,建模,需建立的兩個(gè)方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相軌線的定義域,在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析,SIR模型,相軌線及其分析,s(t)單調(diào)減相軌線的方向,P1:s0>1/i(t)先升后降至0,P2:s0<1/i(t)單調(diào)降至0,1/閾值,模型4,SIR模型,預(yù)防傳染病蔓延的手段,(日接觸率)衛(wèi)生水平,(日治愈率)醫(yī)療水平,傳染病不蔓延的條件s00，積分曲線在N軸上的投影曲線（稱為軌線）將趨于K。這說明，平衡點(diǎn)N=0和N=K有著極大的區(qū)別。,圖3-17,定義1自治系統(tǒng)的相空間是指以（x1,xn）為坐標(biāo)的空間Rn。,特別，當(dāng)n=2時(shí)，稱相空間為相平面。,空間Rn的點(diǎn)集(x1,xn)|xi=xi(t)滿足(3.28)，i=1,n稱為系統(tǒng)的軌線，所有軌線在相空間的分布圖稱為相圖。,定義2設(shè)x0是（3.28）的平衡點(diǎn)，稱：,（1）x0是穩(wěn)定的，如果對(duì)于任意的>0，存在一個(gè)>0，只要|x(0)-x0|<，就有|x(t)-x0|xo時(shí)，又有f(x)0時(shí)（3.30）有周期解，零點(diǎn)是穩(wěn)定的中心（非漸近穩(wěn)定）；在其他情況下，零點(diǎn)均為不穩(wěn)定的。,非線性方程組（3.29）平衡點(diǎn)穩(wěn)定性討論可以證明有下面定理成立:,定理2若（3.30）的零點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn)也是漸近穩(wěn)定的；若（3.30）的零點(diǎn)是不穩(wěn)定的，則（3.29）的平衡點(diǎn)也是不穩(wěn)定的。,捕食系統(tǒng)的Volterra方程,問題背景：,意大利生物學(xué)家DAncona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，在研究過程中他無(wú)意中發(fā)現(xiàn)了一些第一次世界大戰(zhàn)期間地中海沿岸港口捕獲的幾種魚類占捕獲總量百分比的資料，從這些資料中他發(fā)現(xiàn)各種軟骨掠肉魚，如鯊魚、鰩魚等我們稱之為捕食者（或食肉魚）的一些不是很理想的魚類占總漁獲量的百分比。在19141923年期間，意大利阜姆港收購(gòu)的魚中食肉魚所占的比例有明顯的增加：,他知道，捕獲的各種魚的比例近似地反映了地中海里各種魚類的比例。戰(zhàn)爭(zhēng)期間捕魚量大幅下降，但捕獲量的下降為什么會(huì)導(dǎo)致鯊魚、鰩魚等食肉魚比例的上升，即對(duì)捕食者有利而不是對(duì)食餌有利呢？他百思不得其解，無(wú)法解釋這一現(xiàn)象，就去求教當(dāng)時(shí)著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望他能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型研究這一問題。,Volterra將魚劃分為兩類。一類為食用魚（食餌），數(shù)量記為x1(t)，另一類為食肉魚（捕食者），數(shù)量記為x2(t)，并建立雙房室系統(tǒng)模型。,1、模型建立,大海中有食用魚生存的足夠資源，可假設(shè)食用魚獨(dú)立生存將按增長(zhǎng)率為r1的指數(shù)律增長(zhǎng)（Malthus模型），既設(shè)：,由于捕食者的存在，食用魚數(shù)量因而減少，設(shè)減少的速率與兩者數(shù)量的乘積成正比（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)的統(tǒng)計(jì)籌算律），即：,對(duì)于食餌（Prey）系統(tǒng)：,對(duì)于捕食者（Predator）系統(tǒng)：,捕食者設(shè)其離開食餌獨(dú)立存在時(shí)的死亡率為r2，即：,但食餌提供了食物，使生命得以延續(xù)。這一結(jié)果也要通過競(jìng)爭(zhēng)來(lái)實(shí)現(xiàn)，再次利用統(tǒng)計(jì)籌算律，得到：,方程組（3.31）反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的相互制約關(guān)系。下面我們來(lái)分析該方程組。,2、模型分析,方程組（3.31）是非線性的，不易直接求解。容易看出，該方程組共有兩個(gè)平衡點(diǎn)，即：,方程組還有兩組平凡解：,和,和,當(dāng)x1(0)、x2(0)均不為零時(shí)，應(yīng)有x1(t)>0且x2(t)>0，相應(yīng)的相軌線應(yīng)保持在第一象限中。,求（3.31）的相軌線,將兩方程相除消去時(shí)間t，得：,令,用微積分知識(shí)容易證明：,有：,與的圖形見圖3-20,易知僅當(dāng)時(shí)（3.32）才有解,當(dāng)時(shí)，軌線退化為平衡點(diǎn)。,當(dāng)時(shí)，軌線為一封閉曲線（圖3-21），即周期解。,證明具有周期解。,只需證明：存在兩點(diǎn)及，時(shí)，方程無(wú)解。,由的性質(zhì)，而，使得：,。同樣根據(jù)的性質(zhì)知，當(dāng)<x1<時(shí),。此時(shí)：,由的性質(zhì)，使成立。,當(dāng)x1=或時(shí)，,僅當(dāng)時(shí)才能成立。,而當(dāng)x1時(shí)，由于，,故無(wú)解。,得證。,確定閉曲線的走向,在每一子區(qū)域，與不變號(hào)，據(jù)此確定軌線的走向（圖3-22）,將Volterra方程中的第二個(gè)改寫成：,將其在一個(gè)周期長(zhǎng)度為T的區(qū)間上積分，得,等式左端為零，故可得：,同理：,解釋DAncona發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象,引入捕撈能力系數(shù)，（0<<1），表示單位時(shí)間內(nèi)捕撈起來(lái)的魚占總量的百分比。故Volterra方程應(yīng)為：,平衡點(diǎn)P的位置移動(dòng)到了：,由于捕撈能力系數(shù)的引入，食用魚的平均量有了增加，而食肉魚的平均量卻有所下降，越大，平衡點(diǎn)的移動(dòng)也越大。,食用魚的數(shù)量反而因捕撈它而增加，真的是這樣？！,P-P模型導(dǎo)出的結(jié)果雖非絕對(duì)直理，但在一定程度上是附合客觀實(shí)際的，有著廣泛的應(yīng)用前景。例如，當(dāng)農(nóng)作物發(fā)生病蟲害時(shí)，不要隨隨便便地使用殺蟲劑，因?yàn)闅⑾x劑在殺死害蟲的同時(shí)也可能殺死這些害蟲的天敵，（害蟲與其天敵構(gòu)成一個(gè)雙種群捕食系統(tǒng)），這樣一來(lái)，使用殺蟲劑的結(jié)果會(huì)適得其反，害蟲更加猖獗了。,（3）捕魚對(duì)食用魚有利而對(duì)食肉魚不利，多捕魚（當(dāng)然要在一定限度內(nèi)，如<r1）能使食用魚的平均數(shù)量增加而使食肉魚的平均數(shù)量減少。,根據(jù)P-P模型，我們可以導(dǎo)出以下結(jié)論：,（1）食用魚的平均量取決于參數(shù)r1與1,（2）食用魚繁殖率r1的減小將導(dǎo)致食肉魚平均量的減小，食肉魚捕食能力1的增大也會(huì)使自己的平均量減??；反之，食肉魚死亡率r2的降低或食餌對(duì)食肉魚供養(yǎng)效率2的提高都將導(dǎo)致食用魚平均量的減少。,