第6章有限元程序設(shè)計(jì)方法,6.1程序基本框圖1、輸入基本數(shù)據(jù)（結(jié)構(gòu)描述）：（1）控制數(shù)據(jù)：如結(jié)點(diǎn)總數(shù)、單元總數(shù)、約束條件總數(shù)等；（2）結(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)：如結(jié)點(diǎn)編號(hào)、結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)、約束條件等；（3）單元數(shù)據(jù)：如單元編號(hào)、單元結(jié)點(diǎn)序號(hào)、單元的材料特性、幾何特性等；（4）載荷數(shù)據(jù)：包括集中載荷、分布載荷等。,2、單元分析,（1）各單元的bi,ci(i,j,m)，面積A；（2）應(yīng)變矩陣B，應(yīng)力矩陣S；（3）單元?jiǎng)偠染仃噆；（4）單元等價(jià)載荷列向量F。,3、系統(tǒng)分析（1）整體剛度矩陣K的組裝；（2）整體載荷列陣P的形成；,K的存儲(chǔ)；約束引入；求解,總剛存貯,全矩陣存貯法：不利于節(jié)省計(jì)算機(jī)的存貯空間，很少采用。Ki,j對(duì)稱三角存貯法：存貯上三角或下三角元素。半帶寬存貯法：存貯上三角形（或下三角形）半帶寬以內(nèi)的元素。一維壓縮存貯法：半帶寬存貯中仍包含了許多零元素。存貯每一行的第一個(gè)非零元素到主對(duì)角線元素。,等帶寬形式,方陣形式,（1）半帶寬存貯法,方陣存貯和半帶寬存貯地址關(guān)系,半帶寬計(jì)算：設(shè)結(jié)構(gòu)單元網(wǎng)格中相鄰結(jié)點(diǎn)編號(hào)的最大差值是d，則最大半帶寬為UBW：,結(jié)點(diǎn)編號(hào)：欲使最大半帶寬UBW最小，必須注意結(jié)點(diǎn)編號(hào)方法，使直接聯(lián)系的相鄰節(jié)點(diǎn)的最大點(diǎn)號(hào)差最小。,（2）變帶寬存貯（一維壓縮存貯）,等帶寬存貯雖然已經(jīng)節(jié)省了不少內(nèi)存，但認(rèn)真研究半帶寬內(nèi)的元素，還有相當(dāng)數(shù)量的零元素。在平衡方程求解過程中，有些零元素只增加運(yùn)算工作量而對(duì)計(jì)算結(jié)果不產(chǎn)生影響。如果這些零元素不存、不算，更能節(jié)省內(nèi)存和運(yùn)算時(shí)間，采用變帶寬存貯可以實(shí)現(xiàn)（也稱一維數(shù)組存貯）。變帶寬存貯編程技巧要求較高，程序較長(zhǎng)。,對(duì)稱,方陣形式的剛度矩陣K,頂線以上零元素?zé)o須存貯，僅頂線以下元素。,一維數(shù)組A存貯剛度矩陣K,變帶寬存貯：按列存貯方式。從左到右，逐列存放；對(duì)每一列，先存主對(duì)角線元素，然后由下而上順序存放，直到頂線下第一個(gè)元素為止。為避免混淆，我們把存貯K的一維數(shù)組稱為A。實(shí)現(xiàn)變帶寬存貯的關(guān)鍵問題是：總剛中元素Kij在一維數(shù)組A中的地址是什么？為此，需要知道主元Kii在A中的位置和相應(yīng)列高h(yuǎn)i。主元位置：采用一個(gè)一維數(shù)組MAXA存主元在A中位置。MAXA=1,2,4,6,10,12,16,18，22。,列高h(yuǎn)j：第j行的左帶寬。,從第j列的主對(duì)角線元素起到該列上方第一個(gè)非零元素為止，所含元素的個(gè)數(shù)稱為第j列的列高，記為hj；如果把第j列上方第1個(gè)非零元素的行號(hào)記為mj，則第j列的列高為hj=j-mj+1其實(shí)，hj就是第j行的左帶寬，因而必有UBW=max(hj)j=1,2,N,利用節(jié)點(diǎn)位移信息數(shù)組ID（去約束后節(jié)點(diǎn)位移自由度編碼），可容易地確定剛度矩陣K任何一列的列高。,4、引入約束條件,手算時(shí)采用去行列法，而計(jì)算機(jī)編程時(shí)采用乘大數(shù)法。即：指定結(jié)點(diǎn)位移對(duì)應(yīng)的主對(duì)角元素乘上一個(gè)大數(shù)，同時(shí)將P中對(duì)應(yīng)元素?fù)Q為結(jié)點(diǎn)位移指定值與擴(kuò)大了的主對(duì)角線元素的乘積。,5、線性方程組求解,求解方法常用：GAUSS消元法，QR分解法等。其程序在此不作詳細(xì)介紹，其方法參閱數(shù)值分析有關(guān)書籍。,6、單元應(yīng)力,節(jié)點(diǎn)位移求單元應(yīng)力。首先整體節(jié)點(diǎn)位移變換成單元節(jié)點(diǎn)位移，然后再用物理方程求單元應(yīng)力。,例1：對(duì)角受壓的正方形薄板，載荷沿厚度均勻分布，為2N/m。由于對(duì)稱性，取1/4部分作為計(jì)算對(duì)象，試用有限元程序進(jìn)行計(jì)算。,例2：簡(jiǎn)支梁，梁高3m,跨度18m，厚度1m，承受均布荷載10N/m2。已知按平面應(yīng)力問題進(jìn)行計(jì)算。,網(wǎng)格劃分,6.2提高計(jì)算精度的方法,（1）計(jì)算結(jié)果的整理計(jì)算結(jié)果包括位移和應(yīng)力兩個(gè)方面。在位移方面，一般無須進(jìn)行整理工作。應(yīng)力結(jié)果則需要整理。通常認(rèn)為計(jì)算出的應(yīng)力是三角形單元形心處的應(yīng)力。而相鄰單元之間的應(yīng)力存在突變，甚至正、負(fù)符號(hào)都不相同。為了由計(jì)算結(jié)果推算出結(jié)構(gòu)內(nèi)某一點(diǎn)的接接實(shí)際的應(yīng)力，必須通過某種平均計(jì)算。通?？刹捎脙蓡卧骄ɑ蚶@結(jié)點(diǎn)平均法。,平均法整理單元應(yīng)力,兩單元平均法：把兩個(gè)相鄰單元中的常應(yīng)力加以平均，用來表示公共邊界中點(diǎn)處的應(yīng)力。繞結(jié)點(diǎn)平均法：把環(huán)繞某一結(jié)點(diǎn)的各單元常應(yīng)力加以平均，用以表示該結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。在內(nèi)結(jié)點(diǎn)效果較好，而在邊界結(jié)點(diǎn)可能很差，一般改為應(yīng)由內(nèi)結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力外推計(jì)算出來。（2）網(wǎng)格的細(xì)分通過網(wǎng)格的細(xì)分，使每個(gè)單元的面積縮小，那么盡管每個(gè)單元是應(yīng)變、常應(yīng)力單元，仍可較好地反映結(jié)構(gòu)中的應(yīng)力變化，使得到的解答收斂于問題的精確解。,（3）網(wǎng)格合理布局根據(jù)應(yīng)力梯度使網(wǎng)格的布局合理化。即在梯度大的區(qū)域網(wǎng)格密些，梯度小的區(qū)域應(yīng)稀些。密、稀網(wǎng)格之間應(yīng)逐步過渡。（4）改用高階單元受集中力的懸臂梁，采用128個(gè)三結(jié)點(diǎn)三角形常應(yīng)變單元，以及3個(gè)八結(jié)點(diǎn)四邊形高階單元結(jié)果。由圖可見，采用高階元的計(jì)算精度比常應(yīng)變?cè)叩枚唷?帶圓孔方板的網(wǎng)格劃分,6.3通用有限分析軟件,1、ANSYS結(jié)構(gòu)、熱、流體、電磁學(xué)、聲學(xué)等。2、SAP2000土木結(jié)構(gòu)分析。,習(xí)題,1、調(diào)試教材程序。2、修改FEM1,計(jì)算算例。3、以算例為對(duì)象，研究單元細(xì)分對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。,