計(jì)數(shù)原理J1基本計(jì)數(shù)原理5J12013福建卷 滿足a，b1，0，1，2，且關(guān)于x的方程ax22xb0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為()A14B13C12D105B解析 當(dāng)a0時(shí)，2xb0x，有序數(shù)對(duì)(0，b)有4個(gè)；當(dāng)a0時(shí)，44ab0ab1，有序數(shù)對(duì)(1，b)有4個(gè)，(1，b)有3個(gè)，(2，b)有2個(gè)，綜上共有443213個(gè)，故選B.12J12013北京卷 將序號(hào)分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)是_1296解析 5張參觀券分為4堆，有2個(gè)連號(hào)有4種分法，然后每一種全排列有A種方法，所以不同的分法種數(shù)是4A96.14J1、J22013全國(guó)卷 6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有_種(用數(shù)字作答)14480解析 先排另外四人，方法數(shù)是A，再在隔出的五個(gè)位置安插甲乙，方法數(shù)是A，根據(jù)乘法原理得不同排法共有AA2420480種22A1、A2，J12013重慶卷 對(duì)正整數(shù)n，記In1，2，n，Pn.(1)求集合P7中元素的個(gè)數(shù)；(2)若Pn的子集A中任意兩個(gè)元素之和不是整數(shù)的平方，則稱(chēng)A為“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并22解：(1)當(dāng)k4時(shí)，mI7中有3個(gè)數(shù)與I7中的3個(gè)數(shù)重復(fù)，因此P7中元素的個(gè)數(shù)為77346.(2)先證：當(dāng)n15時(shí)，Pn不能分成兩個(gè)不相交的稀疏集的并若不然，設(shè)A，B為不相交的稀疏集，使ABPnIn.不妨設(shè)1A，則因1322，故3A，即3B.同理6A，10B，又推得15A，但11542，這與A為稀疏集矛盾再證P14符合要求，當(dāng)k1時(shí)，mI14I14可分成兩個(gè)稀疏集之并，事實(shí)上，只要取A11，2，4，6，9，11，13，B13，5，7，8，10，12，14，則A1，B1為稀疏集，且A1B1I14.當(dāng)k4時(shí)，集mI14中除整數(shù)外剩下的數(shù)組成集，可分解為下面兩稀疏集的并：A2，B2.當(dāng)k9時(shí)，集mI14中除正整數(shù)外剩下的數(shù)組成集，可分解為下面兩稀疏集的并：A3，B3.最后，集CmI14，kI14，且k1，4，9中的數(shù)的分母均為無(wú)理數(shù)，它與P14中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù)，因此，令A(yù)A1A2A3C，BB1B2B3，則A和B是不相交的稀疏集，且ABP14.綜上，所求n的最大值為14.注：對(duì)P14的分拆方法不是唯一的J2排列、組合8J22013遼寧卷 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n10，則輸出S()圖12A. B. C. D.8A解析 由程序框圖可以得到S，故選A.14J1、J22013全國(guó)卷 6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有_種(用數(shù)字作答)14480解析 先排另外四人，方法數(shù)是A，再在隔出的五個(gè)位置安插甲乙，方法數(shù)是A，根據(jù)乘法原理得不同排法共有AA2420480種10J22013山東卷 用0，1，9十個(gè)數(shù)字，可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A243 B252 C261 D27910B解析 (排除法)十個(gè)數(shù)排成不重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)求解方法是：第一步，排百位數(shù)字，有9種方法(0不能作首位)，第二步，排十位數(shù)字，有9種方法，第三步，排個(gè)位數(shù)字，有8種方法，根據(jù)乘法原理，共有998 648(個(gè))沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)可以組成所有三位數(shù)的個(gè)數(shù)：91010900，所以可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是：900648252.8J22013四川卷 從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)分別為a，b，共可得到lgalgb的不同值的個(gè)數(shù)是()A9 B10 C18 D208C解析 從1，3，5，7，9中，每次取出兩個(gè)不同的數(shù)作為a，b可以得到不同的差式lg alg b共計(jì)A20個(gè)，但其中l(wèi)g 9lg 3lg 3lg 1，lg 3lg 9lg 1lg 3，故不同的值只有18個(gè)14K2，J22013新課標(biāo)全國(guó)卷 從n個(gè)正整數(shù)1，2，3，n中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為，則n_148解析 和為5的只有兩種情況，14，23，故C28n8.14J22013浙江卷 將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有_種(用數(shù)字作答)14480解析 先在6個(gè)位置找3個(gè)位置，有C種情況，A，B均在C的同側(cè)，有CAB，CBA，ABC，BAC，而剩下D，E，F(xiàn)有A種情況，故共有4CA480種13J22013重慶卷 從3名骨科、4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個(gè)抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是_(用數(shù)字作答)13590解析 從12名醫(yī)生中選出5名的選法有C792種，其中只不選骨科醫(yī)生的選法有C1125種；只不選腦外科醫(yī)生的選法有C155種；只不選內(nèi)科醫(yī)生的選法有C21種；同時(shí)不選骨科和腦外科醫(yī)生的選法有1種，故骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)有792(12555211)590.J3二項(xiàng)式定理9J32013新課標(biāo)全國(guó)卷 設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b.若13a7b，則 m()A5 B6 C7 D89B解析 (x2y)2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是C，即aC；(x2y)2m1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是C，即bC，13a7b，13C7C，137，易得m6.11J32013安徽卷 若x8的展開(kāi)式中x4的系數(shù)為7，則實(shí)數(shù)a_.11.解析 二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1Carx8r，令8r4，可得r3，故Ca37，解得a.15B13，J3，M12013福建卷 當(dāng)xR，|x|<1時(shí)，有如下表達(dá)式：1xx2xn.兩邊同時(shí)積分得：01dx0xdx0x2dx0xndx0dx，從而得到如下等式：1ln 2.請(qǐng)根據(jù)以上材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，計(jì)算：CC2C3C_15.解析 (1x)nCCxCx2Cxn，兩邊同時(shí)積分得C01dxC0xdxC0x2dxC0xndx0(1x)ndx，得CC2C3Cn1n11.5J32013江西卷 展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為()A80 B80C40 D405C解析 Tr1C(x2)5rC(2)rx105r，當(dāng)r2時(shí)，得常數(shù)項(xiàng)為40，故選C.7J32013遼寧卷 使(nN)的展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為()A4 B5C6 D77B解析 由通項(xiàng)Tk1C(3x)nkC3nkxn，所以在展開(kāi)式中含有常數(shù)項(xiàng)時(shí)，n0，當(dāng)k取最小值2時(shí)，n取最小值5.故選B.7J32013全國(guó)卷 (1x)8(1y)4的展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)是()A56 B84C112 D1687D解析 (1x)8展開(kāi)式中x2的系數(shù)是C，(1y)4的展開(kāi)式中y2的系數(shù)是C，根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則可得(1x)8(1y)4展開(kāi)式中x2y2的系數(shù)為CC286168.8B1，J32013陜西卷 設(shè)函數(shù)f(x)則當(dāng)x>0時(shí)，ff(x)表達(dá)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為()A20 B20 C15 D158A解析 由已知表達(dá)式可得：ff(x)6，展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1C6r()rC(1)rxr3，令r30，可得r3，所以常數(shù)項(xiàng)為T(mén)4C20.11J32013四川卷 二項(xiàng)式(xy)5的展開(kāi)式中，含x2y3的項(xiàng)的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)1110解析 根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的性質(zhì)可得x2y3的系數(shù)為C10.10J32013天津卷 x6的二項(xiàng)展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)1015解析 由二項(xiàng)式的展開(kāi)式得Tk1Cx6k(1)kCx6k，令6k0，解之得k4，T5(1)4C15.5J32013新課標(biāo)全國(guó)卷 已知(1ax)(1x)5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為5，則a()A4 B3 C2 D15D解析 已知(1x)(1x)5的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為CaC 5，則a1，故選D.11J32013浙江卷 設(shè)二項(xiàng)式5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為A，則A_1110解析 Tr1Cx(1)rx(1)rCx，則0，r3，故常數(shù)項(xiàng)AT4(1)3C10.J4單元綜合23J42013江蘇卷 設(shè)數(shù)列an：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，(1)k1k，(1)k1k，k個(gè)，即當(dāng)<n(kN*)時(shí)，an(1)k1k.記Sna1a2an(nN*)對(duì)于lN*，定義集合Pln|Sn是an的整數(shù)倍，nN*，且1nl(1)求集合P11中元素的個(gè)數(shù)；(2)求集合P2 000中元素的個(gè)數(shù)23解：(1)由數(shù)列an的定義得a11，a22，a32，a43，a53，a63，a74，a84，a94，a104，a115，所以S11，S21，S33，S40，S53，S66，S72，S82，S96，S1010，S115，從而S1a1，S40a4，S5a5，S62a6，S11a11，所以集合P11中元素的個(gè)數(shù)為5.(2)先證：Si(2i1)i(2i1)(iN*)事實(shí)上，當(dāng)i1時(shí)，Si(2i1)S33，i(2i1)3，故原等式成立；假設(shè)im時(shí)成立，即Sm(2m1)m(2m1)，則im1時(shí)，S(m1)(2m3)Sm(2m1)(2m1)2(2m2)2m(2m1)4m3(2m25m3)(m1)(2m3)綜合可得Si(2i1)i(2i1)于是S(i1)(2i1)Si(2i1)(2i1)2i(2i1)(2i1)2(2i1)(i1)由上可知Si(2i1)是2i1的倍數(shù)，而ai(2i1)j2i1(j1，2，2i1)，所以Si(2i1)jSi(2i1)j(2i1)是ai(2i1)j(j1，2，2i1)的倍數(shù)，又S(i1)(2i1)(i1)(2i1)不是2i2的倍數(shù)而a(i1)(2i1)j(2i2)(j1，2，2i2)，所以S(i1)(2i1)jS(i1)(2i1)j(2i2)(2i1)(i1)j(2i2)不是a(i1)(2i1)j(j1，2，2i2)的倍數(shù)，故當(dāng)li(2i1)時(shí)，集合Pl中元素的個(gè)數(shù)為13(2i1)i2，于是，當(dāng)li(2i1)j(1j2i1)時(shí)，集合Pl中元素的個(gè)數(shù)為i2j.又2 00031(2311)47.故集合P2 000中元素的個(gè)數(shù)為312471 008.12013安徽示范名校聯(lián)考 如圖K371所示，ABC是一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正三角形，若在每一邊的兩個(gè)三等分點(diǎn)中，各隨機(jī)選取一點(diǎn)連成三角形下列命題正確的是_(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))依此方法可能連成的三角形一共有8個(gè)；這些可能連成的三角形中，恰有2個(gè)是銳角三角形；這些可能連成的三角形中，恰有3個(gè)是直角三角形；這些可能連成的三角形中，恰有3個(gè)是鈍角三角形；這些可能連成的三角形中，恰有2個(gè)是正三角形1解析 如圖所示編號(hào)，邊長(zhǎng)為3，則選取三角形的邊長(zhǎng)為1，或2三種之一；每邊各選1點(diǎn)，三角形共CCC8個(gè)；銳角三角形只有DHF和IGE兩個(gè)；直角三角形有6個(gè)(滿足12)；沒(méi)有鈍角三角形；兩個(gè)正三角形DHF和IGE(邊長(zhǎng)為)故選.22013湖南師大附中月考 的展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為第_項(xiàng)23或5解析 的展開(kāi)式中系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)只有符號(hào)差異，又中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，中間項(xiàng)為第4項(xiàng)其系數(shù)為負(fù)，則第3，5項(xiàng)系數(shù)最大32013鄭州質(zhì)檢 我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架“殲15”飛機(jī)準(zhǔn)備著艦，如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法數(shù)是()A12 B18C24 D483C解析 分三步：把甲、乙捆綁為一個(gè)元素A，有A種方法；A與戊機(jī)形成三個(gè)“空”，把丙、丁兩機(jī)插入空中有A種方法；考慮A與戊機(jī)的排法有A種方法可知共有AAA24種不同的著艦方法42013皖南八校聯(lián)考 “2012”含有數(shù)字0，1，2，且有兩個(gè)數(shù)字2，則含有數(shù)字0，1，2，且有兩個(gè)相同數(shù)字2或1的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A18 B24C27 D364A解析 由題意可分情況討論：含有兩個(gè)1或兩個(gè)2的四位數(shù)，先排0有3個(gè)位置可以選，然后排另外一個(gè)不重復(fù)的數(shù)字有3個(gè)位置可以選，剩下的排重復(fù)的數(shù)字，所以滿足要求的數(shù)共有2CCC18個(gè)52013肇慶期末統(tǒng)考 的展開(kāi)式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)是()A0 B2C4 D65B解析 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r1Cr10()10rCr10(1)rx，若展開(kāi)式中含x的正整數(shù)指數(shù)冪，即(5r)N*，且0r10，rN，所以r2或0.所以一共有兩項(xiàng)，故選B.62013三門(mén)峽一練 在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)驗(yàn)6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序B和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，則實(shí)驗(yàn)順序的編排方法種數(shù)為_(kāi)(用數(shù)字作答)696解析 第一步，A程序有C種不同安排方法，第二步，將B和C看成一個(gè)程序與其他3個(gè)程序有A種不同安排方法，第三步，安排B和C的順序，有A種不同的方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，則不同的安排方法共有CAA96種- 7 -