函數(shù)與導(dǎo)數(shù)B1函數(shù)及其表示圖113BP2013安徽卷 如圖11所示，程序框圖(算法流程圖)的輸出結(jié)果為()A.B.C.D.3C解析 依次運(yùn)算的結(jié)果是s，n4；s，n6；s，n8，此時(shí)輸出s，故輸出結(jié)果是.14B1，B142013安徽卷 定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x1)2f(x)，若當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x(1x)，則當(dāng)1x0時(shí)，f(x)_14解析 當(dāng)1x0時(shí)，0x11，由f(x1)2f(x)可得f(x)f(x1)x(x1)11B1，E32013安徽卷 函數(shù)yln1的定義域?yàn)開(kāi)11(0，1解析 實(shí)數(shù)x滿足1>0且1x20.不等式1>0，即>0，解得x>0或x<1；不等式1x20的解為1x1.故所求函數(shù)的定義域是(0，113B12013福建卷 已知函數(shù)f(x)則f_132解析 ftan 1，f(1)2.21B1，B122013江西卷 設(shè)函數(shù)f(x)a為常數(shù)且a(0，1)(1)當(dāng)a時(shí)，求f；(2)若x0滿足f(f(x0)x0，但f(x0)x0，則稱(chēng)x0為f(x)的二階周期點(diǎn)證明函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，并求二階周期點(diǎn)x1，x2；(3)對(duì)于(2)中的x1，x2，設(shè)A(x1，f(f(x1)，B(x2，f(f(x2)，C(a2，0)，記ABC的面積為S(a)，求S(a)在區(qū)間上的最大值和最小值21解：(1)當(dāng)a時(shí)，f，ff2.(2)f(f(x)當(dāng)0xa2時(shí)，由xx解得x0，因?yàn)閒(0)0，故x0不是f(x)的二階周期點(diǎn)；當(dāng)a2<xa時(shí)，由(ax)x解得x(a2，a)，因f，故x為f(x)的二階周期點(diǎn)；當(dāng)a<x<a2a1時(shí)，由(xa)x解得x(a，a2a1)，因f，故x不是f(x)的二階周期點(diǎn)；當(dāng)a2a1x1時(shí)，由(1x)x解得x(a2a1，1)，因f.故x為f(x)的二階周期點(diǎn)因此，函數(shù)f(x)有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，x1，x2.(3)由(2)得A，B，則S(a)，S(a)，因?yàn)閍，有a2a<1.所以S(a)>0.(或令g(a)a32a22a2，g(a)3a24a23，因a(0，1)，g(a)<0，則g(a)在區(qū)間上的最小值為g>0，故對(duì)于任意a，g(a)a32a22a2>0，S(a)>0)則S(a)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故S(a)在區(qū)間上的最小值為S，最大值為S.12B12013遼寧卷 已知函數(shù)f(x)x22(a2)xa2，g(x)x22(a2)xa28.設(shè) H1(x)maxf(x)，g(x)，H2(x)minf(x)，g(x)(maxp，q表示p，q中的較大值，minp，q表示p，q中的較小值)，記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則AB()Aa22a16Ba22a16C16 D1612C解析 由題意知當(dāng)f(x)g(x)時(shí)，即x22(a2)xa2x22(a2)xa28，整理得x22axa240，所以xa2或xa2，H1(x)maxf(x)，g(x)H2(x)minf(x)，g(x)由圖形可知(圖略)，AH1(x)min4a4，BH2(x)max124a，則AB16，故選C.7B12013遼寧卷 已知函數(shù)f(x)ln(3x)1，則f(lg 2)flg ()A1 B0C1 D27D解析 由已知條件可知，f(x)f(x)ln(3x)1ln(3x)12，而lg 2lglg 2lg 20，故而f(lg 2)f2.圖1919B1，I22013新課標(biāo)全國(guó)卷 經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元根據(jù)歷史資料，得到銷(xiāo)售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直方圖，如圖19所示經(jīng)銷(xiāo)商為下一個(gè)銷(xiāo)售季度購(gòu)進(jìn)了130 t該產(chǎn)品以X(單位：t，100X150)表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量，T(單位：元)表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)經(jīng)銷(xiāo)該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)(1)將T表示為X的函數(shù)；(2)根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)T不少于57 000元的概率19解：(1)當(dāng)X100，130)時(shí)，T500X300(130X)800X39 000.當(dāng)X130，150時(shí)，T50013065 000.所以T(2)由(1)知利潤(rùn)T不少于57 000元當(dāng)且僅當(dāng)120X150.由直方圖知需求量X120，150的頻率為0.7，所以下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的利潤(rùn)T不少于57 000元的概率的估計(jì)值為0.7.5B12013山東卷 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)A(3，0B(3，1C(，3)(3，0D(，3)(3，15A解析 要使函數(shù)有意義，須有解之得3<x0.20H4，E8，B12013四川卷 已知圓C的方程為x2(y4)24，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)直線l：ykx與圓C交于M，N兩點(diǎn)(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)Q(m，n)是線段MN上的點(diǎn)，且.請(qǐng)將n表示為m的函數(shù)20解：(1)將ykx代入x2(y4)24，得(1k2)x28kx120.(*)由(8k)24(1k2)12>0，得k2>3.所以，k的取值范圍是(，)()(2)因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，kx1)，(x2，kx2)，則|OM|2(1k2)x，|ON|2(1k2)x.又|OQ|2m2n2(1k2)m2，由，得，即.由(*)式可知，x1x2，x1x2，所以m2.因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線ykx上，所以k，代入m2中并化簡(jiǎn)，得5n23m236.由m2及k2>3，可知0<m2<3，即m(，0)(0，)根據(jù)題意，點(diǎn)Q在圓C內(nèi)，則n>0，所以n.于是，n與m的函數(shù)關(guān)系為n(m(，0)(0，)11B12013浙江卷 已知函數(shù)f(x) .若f(a)3，則實(shí)數(shù)a _1110解析 f(a)3.則a19，a10.3B12013重慶卷 函數(shù)y的定義域是()A(，2) B(2，)C(2，3)(3，) D(2，4)(4，)3C解析 由題可知所以x2且x3，故選C.B2反函數(shù)6B22013全國(guó)卷 函數(shù)f(x)log2(x>0)的反函數(shù)f1(x)()A.(x>0) B.(x0)C2x1(xR) D2x1(x>0)6A解析 令ylog2，則y>0，且12y，解得x，交換x，y得f1(x)(x>0)B3函數(shù)的單調(diào)性與最值13B32013北京卷 函數(shù)f(x)的值域?yàn)開(kāi)13(，2)解析 函數(shù)ylogx在(0，)上為減函數(shù)，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)ylogx的值域?yàn)?，0；函數(shù)y2x在R上是增函數(shù)，當(dāng)x<1時(shí)，函數(shù)y2x的值域?yàn)?0，2)，所以原函數(shù)的值域?yàn)?，2)3B4，B32013北京卷 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減的是()Ay ByexCyx21 Dylg |x|3C解析 對(duì)于A，y是奇函數(shù)，排除對(duì)于B，yex既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，排除對(duì)于D，ylg |x|是偶函數(shù)，但在(0，)上有ylgx，此時(shí)單調(diào)遞增，排除只有C符合題意12B3，B62013新課標(biāo)全國(guó)卷 若存在正數(shù)x使2x(xa)<1成立，則a的取值范圍是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)12D解析 由題意存在正數(shù)x使得a>x成立，即a>.由于x是(0，)上的增函數(shù)，故x>01，所以a>1.答案為D.11B3，B5，B8，B122013新課標(biāo)全國(guó)卷 已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()Ax0R，f(x0)0B函數(shù)yf(x)的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形C若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(，x0)單調(diào)遞減D若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)011C解析 x時(shí)，f(x)<0，x時(shí)，f(x)>0，又f(x)連續(xù)，x0R，f(x0)0，A正確通過(guò)平移變換，函數(shù)可以化為f(x)x3c，從而函數(shù)yf(x)的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形，B正確若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，可能還有極大值點(diǎn)x1，若x1<x0，則f(x)在區(qū)間(x1，x0)單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤D正確故答案為C.21B3，B9，B122013四川卷 已知函數(shù)f(x)其中a是實(shí)數(shù)設(shè)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)為該函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，且x1<x2.(1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x2<0，證明：x2x11；(3)若函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍21解：(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1 )，單調(diào)遞增區(qū)間為1，0)，(0，)(2)證明：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)A處的切線斜率為f(x1)，點(diǎn)B處的切線斜率為f(x2)故當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切線垂直時(shí)，有f(x1)f(x2)1.當(dāng)x<0時(shí)，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f(x)2x2.因?yàn)閤1<x2<0，所以，(2x12)(2x22)1，所以2x12<0，2x22>0，因此x2x1(2x12)2x221.當(dāng)且僅當(dāng)(2x12)2x221，即x1且x2時(shí)等號(hào)成立所以，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直時(shí)，有x2x11.(3)當(dāng)x1<x2<0或x2>x1>0時(shí)，f(x1)f(x2)，故x1<0<x2.當(dāng)x1<0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(x1，f(x1)處的切線方程為y(x2x1a)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xxa.當(dāng)x2>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(x2，f(x2)處的切線方程為yln x2(xx2)，即yxln x21.兩切線重合的充要條件是由及x1<0<x2知，0<<2.由得，aln x21ln1.令t，則0<t<2，且at2tln t.設(shè)h(t)t2tln t(0<t<2)則h(t)t1<0.所以h(t)(0<t<2)為減函數(shù)則h(t)>h(2)ln 21，所以a>ln21，而當(dāng)t(0，2)且t趨近于0時(shí)，h(t)無(wú)限增大，所以a的取值范圍是(ln 21，)故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍是(ln 21，)10B3，B122013四川卷 設(shè)函數(shù)f(x)(aR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))若存在b0，1使f(f(b)b成立，則a的取值范圍是()A1，e B1，1eCe，1e D0，110A解析 易得f(x)在0，1上是增函數(shù)，對(duì)于b0，1，如果f(b)cb，則f(f(b)f(c)f(b)cb，不可能有f(f(b)b；同理，當(dāng)f(b)db時(shí)，則f(f(b)f(d)f(b)db，也不可能有f(f(b)b；因此必有f(b)b，即方程f(x)x在0，1上有解，即x.因?yàn)閤0，兩邊平方得exxax2，所以aexx2x.記g(x)exx2x，則g(x)ex2x1.當(dāng)x時(shí)，ex0，2x10，故g(x)0.當(dāng)x時(shí)，ex1，2x11，故g(x)0，綜上，g(x)在x0，1上恒大于0，所以g(x)在0，1上為增函數(shù)，值域?yàn)間(0)，g(1)，即1，e，從而a的取值范圍是1，eB4函數(shù)的奇偶性與周期性3B4，B32013北京卷 下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減的是()AyByexCyx21 Dylg |x|3C解析 對(duì)于A，y是奇函數(shù)，排除對(duì)于B，yex既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，排除對(duì)于D，ylg |x|是偶函數(shù)，但在(0，)上有ylgx，此時(shí)單調(diào)遞增，排除只有C符合題意13B42013全國(guó)卷 設(shè)f(x)是以2為周期的函數(shù)，且當(dāng)x1，3)時(shí)，f(x)x2，則f(1)_131解析 f(1)f(12)f(1)121.2B42013廣東卷 函數(shù)y的定義域是()A(1，) B1，)C(1，1)(1，) D1，1)(1，)2C解析 由題知得x(1，1)(1，)，故選C.8B42013湖北卷 x為實(shí)數(shù)，x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)xx在R上為()A奇函數(shù) B偶函數(shù) C增函數(shù) D周期函數(shù)8D解析 作出函數(shù)f(x)xx的大致圖像如下：觀察圖像，易知函數(shù)f(x)xx是周期函數(shù)4B42013湖南卷 已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(1)g(1)2，f(1)g(1)4，則g(1)等于()A4 B3C2 D14B解析 由函數(shù)的奇偶性質(zhì)可得f(1)f(1)，g(1)g(1)根據(jù)f(1)g(1)f(1)g(1)2，f(1)g(1)f(1)g(1)4，可得2g(1)6，即g(1)3，選B.11B42013江蘇卷 已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x24x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為_(kāi)11(5，0)(5，)解析 設(shè)x<0，則x>0.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)f(x)(x24x)又f(0)0，于是不等式f(x)>x等價(jià)于或解得x>5或5<x<0，故不等式的解集為(5，0)(5，)3B42013山東卷 已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)x2，則f(1)()A2 B1 C0 D23D解析 f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2.7B4，B72013天津卷 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)f(loga)2f(1)，則a的取值范圍是()A1，2 B0，C.，2 D(0，27C解析 f(x)為偶函數(shù)，f(log2a)f(loga)，又f(log2a)f2f(1)，f(log2a)f(1)，即|log2a|1，解之得a2.9B4和B72013重慶卷 已知函數(shù)f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，則f(lg(lg 2)()A5 B1 C3 D49C解析 因?yàn)閒(lg(log210)ff(lg(lg 2)5，又因?yàn)閒(x)f(x)8，所以f(lg(lg2)f(lg(lg2)5f(lg(lg2)8，所以f(lg(lg 2)3，故選C.B5二次函數(shù)6B5，B92013湖南卷 函數(shù)f(x)ln x的圖像與函數(shù)g(x)x24x4的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D36A解析 方法一：作出函數(shù)f(x)ln x，g(x)x24x4的圖像如圖所示可知，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，選C.方法二(數(shù)值法)x124f(x)ln x0ln 2(>0)ln 4(<4)g(x)x24x4104可知它們有2個(gè)交點(diǎn)，選C.2B52013江西卷 若集合AxR|ax2ax10中只有一個(gè)元素，則a()A4 B2 C0 D0或42A解析 當(dāng)a0時(shí)，A；當(dāng)a0時(shí)，a24a0，則a4，故選A.11B3，B5，B8，B122013新課標(biāo)全國(guó)卷 已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()Ax0R，f(x0)0B函數(shù)yf(x)的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形C若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(，x0)單調(diào)遞減D若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)011C解析 x時(shí)，f(x)<0，x時(shí)，f(x)>0，又f(x)連續(xù)，x0R，f(x0)0，A正確通過(guò)平移變換，函數(shù)可以化為f(x)x3c，從而函數(shù)yf(x)的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形，B正確若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，可能還有極大值點(diǎn)x1，若x1<x0，則f(x)在區(qū)間(x1，x0)單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤D正確故答案為C.12B5、B12、B142013新課標(biāo)全國(guó)卷 已知函數(shù)f(x)若|f(x)|ax，則a的取值范圍是()A(，0 B(，1C2，1 D2，012D解析 函數(shù)y|f(x)|在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出y|f(x)|，yax的圖像如圖所示，問(wèn)題等價(jià)于直線yax不在函數(shù)y|f(x)|圖像的上方，顯然a>0時(shí)，yln (x1)的圖像不可能恒在直線yax的上方，故a0；由于直線yax與曲線yx22x均過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以滿足條件的直線yax的極端位置是曲線yx22x在點(diǎn)(0，0)處的切線，y2x2，當(dāng)x0時(shí)y2.所以2a0.7B52013浙江卷 已知a，b，cR，函數(shù)f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)>f(1)，則()Aa>0，4ab0 Ba<0，4ab0Ca>0，2ab0 Da<0，2ab07A解析 若f(0)f(4)，則函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x2對(duì)稱(chēng)，則2，則4ab0，而f(0)f(4)>f(1)，故開(kāi)口向上，所以a>0，4ab0.所以選擇A.B6指數(shù)與指數(shù)函數(shù)12B3，B62013新課標(biāo)全國(guó)卷 若存在正數(shù)x使2x(xa)<1成立，則a的取值范圍是()A(，) B(2，)C(0，) D(1，)12D解析 由題意存在正數(shù)x使得a>x成立，即a>.由于x是(0，)上的增函數(shù)，故x>01，所以a>1.答案為D.B7對(duì)數(shù)與指數(shù)函數(shù)8B7，E12013新課標(biāo)全國(guó)卷 設(shè)alog32，blog52，clog23，則()Aa>c>b Bb>c>aCc>b>a Dc>a>b8D解析 ablog32log52>0a>b，clog23>1，a<1，b<1，所以c>a>b，答案為D.16B7，M12013山東卷 定義“正對(duì)數(shù)”：lnx現(xiàn)有四個(gè)命題：若a>0，b>0，則ln(ab)blna；若a>0，b>0，則ln(ab)ln alnb；若a>0，b>0，則lnlnalnb；若a>0，b>0，則ln(ab)lnalnbln 2.其中的真命題有_(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))16解析 中，當(dāng)ab1時(shí)，b>0，a1，lnabln abbln ablna；當(dāng)0<ab<1時(shí)，b>0，0<a<1，lnabblna0，正確中，當(dāng)0<ab<1，且a>1時(shí)，左邊ln(ab)0，右邊lnalnbln a0ln a>0，不成立中，當(dāng)1，即ab時(shí)，左邊0，右邊lnalnb0，左邊右邊，成立；當(dāng)>1時(shí)，左邊ln ln aln b>0，若a>b>1時(shí)，右邊ln aln b，左邊右邊成立；若0<b<a<1時(shí)，右邊0, 左邊右邊成立；若a>1>b>0，左邊ln ln aln b>ln a，右邊ln a，左邊右邊成立，正確中，若0<ab<1，左邊ln(ab)0，右邊lnalnbln 2ln 2>0，左邊右邊；若ab1，ln(ab)ln 2ln(ab)ln 2ln.又a或b，a，b至少有1個(gè)大于1，lnln a或lnln b，即有l(wèi)n(ab)ln 2ln (ab)ln 2lnlnalnb，正確7B4，B72013天津卷 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0，)上單調(diào)遞增若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)f(loga)2f(1)，則a的取值范圍是()A1，2 B0，C.，2 D(0，27C解析 f(x)為偶函數(shù)，f(log2a)f(loga)，又f(log2a)f2f(1)，f(log2a)f(1)，即|log2a|1，解之得a2.3B72013陜西卷 設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是()Alogablogcblogca BlogablogcalogcbCloga(bc)logablogac Dloga(bc)logablogac3B解析 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知C，D是錯(cuò)誤的再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)logablogcblogca.又因?yàn)閘ogablogcalogcb，故選B.11B72013四川卷 lg lg 的值是_111解析 lg lg lg ()lg lg 101.9B4和B72013重慶卷 已知函數(shù)f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，則f(lg(lg 2)()A5 B1 C3 D49C解析 因?yàn)閒(lg(log210)ff(lg(lg 2)5，又因?yàn)閒(x)f(x)8，所以f(lg(lg2)f(lg(lg2)5f(lg(lg2)8，所以f(lg(lg 2)3，故選C.B8冪函數(shù)與函數(shù)的圖像5B82013福建卷 函數(shù)f(x)ln(x21)的圖像大致是()圖115A解析 f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，又過(guò)點(diǎn)(0，0)，故選A.11B3，B5，B8，B122013新課標(biāo)全國(guó)卷 已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()Ax0R，f(x0)0B函數(shù)yf(x)的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形C若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(，x0)單調(diào)遞減D若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)011C解析 x時(shí)，f(x)<0，x時(shí)，f(x)>0，又f(x)連續(xù)，x0R，f(x0)0，A正確通過(guò)平移變換，函數(shù)可以化為f(x)x3c，從而函數(shù)yf(x)的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形，B正確若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，可能還有極大值點(diǎn)x1，若x1<x0，則f(x)在區(qū)間(x1，x0)單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤D正確故答案為C.B9函數(shù)與方程10B9，B122013安徽卷 已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2.若f(x1)x1<x2，則關(guān)于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為()A3B4C5 D610A解析 f(x)3x22axb，根據(jù)已知，得3x22axb0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，且x1<x2，根據(jù)三次函數(shù)的性質(zhì)可得x1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，方程3(f(x)22af(x)b0必然有f(x)x1或f(x)x2.由于f(x1)x1且x1<x2，如圖，可知方程f(x)x1有兩個(gè)實(shí)根，f(x)x2有一個(gè)實(shí)根，故方程3(f(x)22af(x)b0共有3個(gè)不同實(shí)根圖128B92013安徽卷 函數(shù)yf(x)的圖像如圖12所示，在區(qū)間a，b上可找到n(n2)個(gè)不同的數(shù)x1，x2，xn，使得，則n的取值范圍為()A2，3 B2，3，4 C3，4 D3，4，58B解析 問(wèn)題等價(jià)于求直線ykx與函數(shù)yf(x)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從圖中可以看出交點(diǎn)個(gè)數(shù)可以為2，3，4，故n的取值范圍是2，3，418B11，B12，B9，B142013北京卷 已知函數(shù)f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(a，f(a)處與直線yb相切，求a與b的值；(2)若曲線yf(x)與直線yb有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍18解：由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因?yàn)榍€yf(x)在點(diǎn)(a，f(a)處與直線yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f (x)0，得x0.f(x)與f(x)的情況如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，f(0)1是f(x)的最小值當(dāng)b1時(shí)，曲線yf(x)與直線yb最多只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b>1時(shí)，f(2b)f(2b)4b22b1>4b2b1>b，f(0)1<b，所以存在x1(2b，0)，x2(0，2b)，使得f(x1)f(x2)b.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)和(0，)上均單調(diào)，所以當(dāng)b>1時(shí)，曲線yf(x)與直線yb有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)綜上可知，如果曲線yf(x)與直線yb有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么b的取值范圍是(1，)6B5，B92013湖南卷 函數(shù)f(x)ln x的圖像與函數(shù)g(x)x24x4的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0 B1C2 D36A解析 方法一：作出函數(shù)f(x)ln x，g(x)x24x4的圖像如圖所示可知，其交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，選C.方法二(數(shù)值法)x124f(x)ln x0ln 2(>0)ln 4(<4)g(x)x24x4104可知它們有2個(gè)交點(diǎn)，選C.8B92013天津卷 設(shè)函數(shù)f(x)exx2，g(x)ln xx23.若實(shí)數(shù)a，b滿足f(a)0，g(b)0，則()Ag(a)<0<f(b) Bf(b)<0<g(a)C0<g(a)<f(b) Df(b)<g(a)<08A解析 由數(shù)形結(jié)合及f(a)0，g(b)0得a(0，1)，b(1，2)，a<b，且f(x)，g(x)都是遞增的，所以g(a)<0<f(b)21B3，B9，B122013四川卷 已知函數(shù)f(x)其中a是實(shí)數(shù)設(shè)A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)為該函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，且x1<x2.(1)指出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x2<0，證明：x2x11；(3)若函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍21解：(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1 )，單調(diào)遞增區(qū)間為1，0)，(0，)(2)證明：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，點(diǎn)A處的切線斜率為f(x1)，點(diǎn)B處的切線斜率為f(x2)故當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切線垂直時(shí)，有f(x1)f(x2)1.當(dāng)x<0時(shí)，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f(x)2x2.因?yàn)閤1<x2<0，所以，(2x12)(2x22)1，所以2x12<0，2x22>0，因此x2x1(2x12)2x221.當(dāng)且僅當(dāng)(2x12)2x221，即x1且x2時(shí)等號(hào)成立所以，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直時(shí)，有x2x11.(3)當(dāng)x1<x2<0或x2>x1>0時(shí)，f(x1)f(x2)，故x1<0<x2.當(dāng)x1<0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(x1，f(x1)處的切線方程為y(x2x1a)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xxa.當(dāng)x2>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)(x2，f(x2)處的切線方程為yln x2(xx2)，即yxln x21.兩切線重合的充要條件是由及x1<0<x2知，0<<2.由得，aln x21ln1.令t，則0<t<2，且at2tln t.設(shè)h(t)t2tln t(0<t<2)則h(t)t1<0.所以h(t)(0<t<2)為減函數(shù)則h(t)>h(2)ln 21，所以a>ln21，而當(dāng)t(0，2)且t趨近于0時(shí)，h(t)無(wú)限增大，所以a的取值范圍是(ln 21，)故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖像在點(diǎn)A，B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍是(ln 21，)B10函數(shù)模型及其應(yīng)用5B102013湖北卷 小明騎車(chē)上學(xué)，開(kāi)始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕時(shí)間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖像是()圖115C解析 由題意可知函數(shù)圖像最開(kāi)始為“斜率為負(fù)的線段”，接著為“與x軸平行的線段”，最后為“斜率為負(fù)值，且小于之前斜率的線段”觀察選項(xiàng)中圖像可知，C項(xiàng)符合，故選C.10B102013陜西卷 設(shè)x表示不大于x的最大整數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有()Axx B.xC2x2x Dx2x10D解析 可取特值x3.5，則x3.54，x3.53，故A錯(cuò)x3.50.54，而x3.53，故B錯(cuò). 2x77，2x23.56，故C錯(cuò)x x7，而2x77，故只有D正確B11導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算18B11，B12，B9，B142013北京卷 已知函數(shù)f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(a，f(a)處與直線yb相切，求a與b的值；(2)若曲線yf(x)與直線yb有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍18解：由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因?yàn)榍€yf(x)在點(diǎn)(a，f(a)處與直線yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f (x)0，得x0.f(x)與f(x)的情況如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，f(0)1是f(x)的最小值當(dāng)b1時(shí)，曲線yf(x)與直線yb最多只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b>1時(shí)，f(2b)f(2b)4b22b1>4b2b1>b，f(0)1<b，所以存在x1(2b，0)，x2(0，2b)，使得f(x1)f(x2)b.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)和(0，)上均單調(diào)，所以當(dāng)b>1時(shí)，曲線yf(x)與直線yb有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)綜上可知，如果曲線yf(x)與直線yb有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么b的取值范圍是(1，)10B112013全國(guó)卷 已知曲線yx4ax21在點(diǎn)(1，a2)處切線的斜率為8，則a()A9 B6 C9 D610D解析 y4x32ax，當(dāng)x1時(shí)y8，故842a，解得a6.12B112013廣東卷 若曲線yax2ln x在點(diǎn)(1，a)處的切線平行于x軸，則a_12.解析 易知點(diǎn)(1，a)在曲線yax2ln x上，y2ax，2a10，a.11B112013江西卷 若曲線yx1(R)在點(diǎn)(1，2)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則_112解析 yx1，y，所以切線方程為y2(x1)，該切線過(guò)原點(diǎn)，得2.21B11，B122013陜西卷 已知函數(shù)f(x)ex，xR.(1)求f(x)的反函數(shù)的圖像上點(diǎn)(1，0)處的切線方程；(2)證明：曲線yf(x)與曲線yx2x1有唯一公共點(diǎn)；(3)設(shè)a<b，比較f與的大小，并說(shuō)明理由21解： (1) f(x)的反函數(shù)為g(x)ln x，設(shè)所求切線的斜率為k，g(x)，kg(1)1.于是在點(diǎn)(1，0)處切線方程為yx1.(2)方法一：曲線yex與yx2x1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)(x)exx2x1零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(0)110，(x)存在零點(diǎn)x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，則h(x)ex1.當(dāng)x<0時(shí)，h(x)<0，(x)在(，0)上單調(diào)遞減；當(dāng)x>0時(shí)，h(x)>0，(x)在(0，)上單調(diào)遞增(x)在x0有唯一的極小值(0)0，即(x)在R上的最小值為(0)0，(x)0(僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立)，(x)在R上是單調(diào)遞增的，(x)在R上有唯一的零點(diǎn)故曲線yf(x)與曲線yx2x1有唯一公共點(diǎn)方法二：ex>0，x2x1>0，曲線yex與yx2x1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于曲線y與直線y1公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)設(shè)(x)，則(0)1，即x0時(shí)，兩曲線有公共點(diǎn)又(x)0(僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立)，(x)在R上單調(diào)遞減，(x)與y1有唯一的公共點(diǎn)，故曲線yf(x)與yx2x1有唯一的公共點(diǎn)(3)fe .設(shè)函數(shù)u(x)ex 2x(x0)，則u(x)ex2220.u(x)0(僅當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立)，u(x)單調(diào)遞增當(dāng)x>0時(shí)，u(x)>u(0)0.令x，則得ee(ba)>0.>f.20B11、B122013新課標(biāo)全國(guó)卷 已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y4x4.(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值20解：(1)f(x)ex(axab)2x4. 由已知得f(0)4，f(0)4，故b4，ab8.從而a4，b4.(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x.f(x)4ex(x2)2x44(x2).令f(x)0，得xln 2或x2.從而當(dāng)x(，2)(ln 2，)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(2，ln 2)時(shí)，f(x)<0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上單調(diào)遞增，在(2，ln 2)上單調(diào)遞減當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為f(2)4(1e2)20B11和B122013重慶卷 某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000元(為圓周率)(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大20解：(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為1002rh200rh元，底面的總成本為160r2元，所以蓄水池的總成本為(200rh160r2)元，又據(jù)題意200rh160r212 000，所以h(3004r2)，從而V(r)r2h(300r4r3)因?yàn)閞>0，又由h>0可得r<5 ，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0，5 )(2)因?yàn)閂(r)(300r4r3)，故V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(r25不在定義域內(nèi)，舍去)當(dāng)r(0，5)時(shí)，V(r)>0，故V(r)在(0，5)上為增函數(shù)；當(dāng)r(5，5 )時(shí)，V(r)<0，故V(r)在(5，5 )上為減函數(shù)由此可知，V(r)在r5處取得最大值，此時(shí)h8，即當(dāng)r5，h8時(shí)，該蓄水池的體積最大B12導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用20E3，B122013安徽卷 設(shè)函數(shù)f(x)ax(1a2)x2，其中a>0，區(qū)間Ix|f(x)>0(1)求I的長(zhǎng)度(注：區(qū)間(，)的長(zhǎng)度定義為)；(2)給定常數(shù)k(0，1)，當(dāng)1ka1k時(shí)，求I長(zhǎng)度的最小值20解：(1)因?yàn)榉匠蘟x(1a2)x20(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x10，x2，故f(x)>0的解集為x|x1<x<x2，因此區(qū)間I0，區(qū)間長(zhǎng)度為.(2)設(shè)d(a)，則d(a)，令d(a)0，得a1，由于0<k<1，故當(dāng)1ka<1時(shí)，d(a)>0，d(a)單調(diào)遞增；當(dāng)1<a1k時(shí)，d(a)<0，d(a)單調(diào)遞減；因此當(dāng)1ka1k時(shí)，d(a)的最小值必定在a1k或a1k處取得而<1，故d(1k)<d(1k)因此當(dāng)a1k時(shí)，d(a)在區(qū)間1k，1k上取得最小值.10B9，B122013安徽卷 已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2.若f(x1)x1<x2，則關(guān)于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為()A3 B4 C5 D610A解析 f(x)3x22axb，根據(jù)已知，得3x22axb0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，且x1<x2，根據(jù)三次函數(shù)的性質(zhì)可得x1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，方程3(f(x)22af(x)b0必然有f(x)x1或f(x)x2.由于f(x1)x1且x1<x2，如圖，可知方程f(x)x1有兩個(gè)實(shí)根，f(x)x2有一個(gè)實(shí)根，故方程3(f(x)22af(x)b0共有3個(gè)不同實(shí)根18B11，B12，B9，B142013北京卷 已知函數(shù)f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(a，f(a)處與直線yb相切，求a與b的值；(2)若曲線yf(x)與直線yb有兩個(gè)不同交點(diǎn)，求b的取值范圍18解：由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因?yàn)榍€yf(x)在點(diǎn)(a，f(a)處與直線yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f (x)0，得x0.f(x)與f(x)的情況如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞增，f(0)1是f(x)的最小值當(dāng)b1時(shí)，曲線yf(x)與直線yb最多只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b>1時(shí)，f(2b)f(2b)4b22b1>4b2b1>b，f(0)1<b，所以存在x1(2b，0)，x2(0，2b)，使得f(x1)f(x2)b.由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(，0)和(0，)上均單調(diào)，所以當(dāng)b>1時(shí)，曲線yf(x)與直線yb有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)綜上可知，如果曲線yf(x)與直線yb有兩個(gè)不同交點(diǎn)，那么b的取值范圍是(1，)21B12、B142013全國(guó)卷 已知函數(shù)f(x)x33ax23x1.(1)當(dāng)a時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若x2，)時(shí)，f(x)0，求a的取值范圍21解：(1)當(dāng)a時(shí)，f(x)x33 x23x1，f(x)3x26 x3.令f(x)0，得x11，x21.當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)>0，f(x)在(，1)上是增函數(shù)；當(dāng)x(1，1)時(shí)，f(x)<0，f(x)在(1，1)上是減函數(shù)；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，f(x)在(1，)上是增函數(shù)(2)由f(2)0得a.當(dāng)a，x(2，)時(shí)，f(x)3(x22ax1)33(x2)>0，所以f(x)在(2，)上是增函數(shù)，于是當(dāng)x2，)時(shí)，f(x)f(2)0.綜上，a的取值范圍是.22B12，B142013福建卷 已知函數(shù)f(x)x1(aR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(1)若曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值；(3)當(dāng)a1時(shí)，若直線l：ykx1與曲線yf(x)沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的最大值22解：(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線平行于x軸，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)為(，)上的增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)無(wú)極值當(dāng)a>0時(shí)，令f(x)0，得exa，xln a.當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增，故f(x)在xln a處取得極小值，且極小值為f(ln a)ln a，無(wú)極大值綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在xln a處取得極小值ln a，無(wú)極大值(3)方法一：當(dāng)a1時(shí)，f(x)x1.令g(x)f(x)(kx1)(1k)x，則直線l：ykx1與曲線yf(x)沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于方程g(x)0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解假設(shè)k>1，此時(shí)g(0)1>0，g1<0，又函數(shù)g(x)的圖像連續(xù)不斷，由零點(diǎn)存在定理，可知g(x)0在R上至少有一解，與“方程g(x)0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解”矛盾，故k1.又k1時(shí)，g(x)>0，知方程g(x)0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解所以k的最大值為1.方法二：當(dāng)a1時(shí)，f(x)x1.直線l：ykx1與曲線yf(x)沒(méi)有公共點(diǎn)，等價(jià)于關(guān)于x的方程kx1x1在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，即關(guān)于x的方程：(k1)x(*)在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解當(dāng)k1時(shí)，方程(*)可化為0，在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解當(dāng)k1時(shí)，方程(*)化為xex.令g(x)xex，則有g(shù)(x)(1x)ex.令g(x)0，得x1，當(dāng)x變化時(shí)，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，)g(x)0g(x)