.,6/27/2018,1,第六章 歸結(jié)原理,6.1 子句集的Herbrand域 一、 Herbrand域與 Herbrand解釋定義（Herbrand域）設(shè)S為子句集，令H0是出現(xiàn)于子句集S的常量符號(hào)集。如果S中無(wú)常量符號(hào)出現(xiàn)，則H0由一個(gè)常量符號(hào)a組成。 對(duì)于i1，2，令 Hi = Hi-1所有形如f(t1，tn)的項(xiàng) 其中f(t1，tn)是出現(xiàn)在S中的所有n元函數(shù)符號(hào)， tj Hi-1，j1，n 稱Hi為S的i級(jí)常量集，H 稱為S的Herbrand域， 簡(jiǎn)稱S的H域。,.,6/27/2018,2,例 SP(f(x)，a，g(y)，b) H0 =a, b H1 =a, b, f(a), f(b), g(a), g(b) H2a, b, f(a), f(b), g(a), g(b), f(f(a), f(f(b), f(g(a), f(g(b), g(f(a), g(f(b), g(g(a), g(g(b) ,.,6/27/2018,3,練習(xí): 求S的Herbrand域,SP(x) Q(y)，R(z) SQ(a) P(f(x)， Q(b) P(g(x,y) ,.,6/27/2018,4,原子集 基例,基：把對(duì)象中的變量用常量代替后得到的無(wú)變量符號(hào)出現(xiàn)的對(duì)象。 基項(xiàng)、基項(xiàng)集、基原子、基原子集合、基文字、基子句、基子句集 定義 (原子集、Herbrand底) 設(shè)S是子句集，形如P(t1,tn)的基原子集合，稱為S的Herbrand底或S的原子集 其中P(x1，xn)是出現(xiàn)于S的所有n元謂詞符號(hào)，t1，tn是S的H域中的元素定義（基例） 設(shè)S是子句集，C是S中的一個(gè)子句用S的H域中元素代替C中所有變量所得到的基子句稱為子句C的基例。,.,6/27/2018,5,練習(xí),已知SP(f(x)，a，g(y)，b)，求S的原子集， 給出P(f(x)，a，g(y)，b)的一個(gè)基例。已知SP(x) Q(y)，R(z) ，求S的原子集， 分別給出P(x) Q(y)， R(z)的所有基例。已知S Q(a)P(f(x)，Q(b) P(g(x,y)， 求S的原子集， 分別給出Q(a)P(f(x) ， Q(b) P(g(x,y)的一個(gè)基例。設(shè)SP(x), Q(f(y) R(y) ，求S的H域， S的原子集， P(x)的基例, Q(f(y) R(y) 的基例。,.,6/27/2018,6,H解釋,定義（子句集的H解釋） 設(shè)S是子句集，H是S的H域，I*是S在H上的一個(gè)解釋稱I*為S的一個(gè)H解釋，如果I*滿足如下條件： 1） I*映射S中的所有常量符號(hào)到自身。 2）若f是S中n元函數(shù)符號(hào)，h1，hn是H中元素，則I*指定映射： (h1，hn) f (h1，hn) 設(shè)A=A1，A2，An， 是S的原子集。于是S的一個(gè)H解釋I可方便地表示為如下一個(gè)集合： I* m1，m2，mn，其中, mi =,.,6/27/2018,7,H解釋的例子,例 S=P(x)Q(x), R(f(y) S的H域=a, f(a), f(f(a), S的原子集： A=P(a), Q(a), R(a), P(f(a), Q(f(a), R(f(a), S的H解釋： I1* = P(a), Q(a), R(a), P(f(a), Q(f(a), R(f(a), I2* = P(a), Q(a), R(a), P(f(a), Q(f(a), R(f(a), ,.,6/27/2018,8,練習(xí),S=P(x)Q(x), P(a), Q(b) ，求S的所有H解釋。,.,6/27/2018,9,二、Herbrand解釋與普通解釋的關(guān)系,子句集S的H解釋是S的普通解釋。S的普通解釋不一定是S的H解釋：普通解釋不是必須定義在H域上，即使定義在H域上，也不一定是一個(gè)H解釋。任取普通解釋I，依照I，可以按如下方法構(gòu)造S的一個(gè)H解釋I*，使得若 S在 I下為真則 S在I*下也為真。,.,6/27/2018,10,例.,SP(x), Q(y,f(y,a)令S的一個(gè)解釋I如下： D1，2 a f(1, 1) f(1, 2) f(2, 1) f(2, 2) 2 1 2 2 1 P(1) P(2) Q(1, 1) Q(1, 2) Q(2, 1) Q(2, 2) T F F T F T對(duì)應(yīng)于I的H解釋I*： I*P(a), Q(a, a), P(f(a, a), Q(a, f(a, a), Q(f(a, a), a), Q(f(a, a), f(a, a), ,.,6/27/2018,11,例,S=P(x), Q(y, f(y, z)令S的一個(gè)解釋I如下: D=1, 2 f(1, 1) f(1, 2) f(2, 1) f(2, 2) 1 2 2 1 P(1) P(2) Q(1, 1) Q(1, 2) Q(2, 1) Q(2, 2) T F F T F T指定 a對(duì)應(yīng)1得H解釋：I1*P(a), Q(a, a), P(f(a, a), Q(a, f(a, a), Q(f(a, a), a), Q(f(a, a), f(a, a), 指定 a對(duì)應(yīng)2得H解釋： I2*P(a), Q(a, a), P(f(a, a), Q(a, f(a, a), Q(f(a, a), a), Q(f(a, a), f(a, a), ,.,6/27/2018,12,對(duì)應(yīng)于I的H解釋I*,定義（對(duì)應(yīng)于I的H解釋I*） 設(shè)I是子句集S在區(qū)域D上的解釋。H是S的H域。 是如下遞歸定義的H到D的映射： 1） 若S中有常量符號(hào),H0是出現(xiàn)在S中所有常量符號(hào)的集合。 對(duì)任意aH0，規(guī)定 (a)=I(a) 若S中無(wú)常量符號(hào),H0=a。 規(guī)定 (a)=d,dD。 2）對(duì)任意(h1,hn)Hin,及S中任意n元函數(shù)符號(hào)f(x1,xn) , 規(guī)定(f(h1，hn) =I(f(h1，hn) 。,.,6/27/2018,13,對(duì)應(yīng)于I的H解釋I*,對(duì)應(yīng)于I的H解釋I*是如下的一個(gè)H解釋： 任取S中n元謂詞符號(hào)P(x1,xn)， 任取(h1,hn)Hn，規(guī)定 TI*(P(h1，hn)=TI(P(h1，hn),.,6/27/2018,14,引理 如果某區(qū)域D上的解釋I滿足子句集S， 則對(duì)應(yīng)于I的任意一個(gè)H解釋I*也滿足S。證明：令S= x1 xn (C1 Cm)，其中Ci為子句（i=1, ,m）。由已知TI(S)=T，即對(duì)任意（x1，xn）Dn，都有TI(Ci（x1，xn）)=T, i=1, ,m,.,6/27/2018,15,因?yàn)閷?duì)S中任意r元謂詞符號(hào)P（x1，xr）和任意（h1，hr）Hr，都有TI*( P（h1，hr）)=TI(P（h1，hr）)其中（h1，hr）Dr。所以，對(duì)任意（h1，hn）Hn，都有TI*( Ci（h1，hn）)=TI(Ci（h1，hn）) 其中（h1，hn）Dn。 i=1, ,m。 故對(duì)任意（h1，hn）Hn ，都有 TI*(Ci（h1，hn）)=T, 故TI*(S)=T，即I*滿足S。,.,6/27/2018,16,只考慮子句集的H解釋是否夠用？定理 子句集S恒假當(dāng)且僅當(dāng)S被其所有H解釋弄假。證明: 必要性顯然。充分性。假設(shè)S被其所有H解釋弄假，而S又是可滿足的。設(shè)解釋I滿足S，于是由引理知，對(duì)應(yīng)于I的H解釋I*也滿足S，矛盾故S是不可滿足的從現(xiàn)在起，如不特別指出，提到的解釋都是指H解釋,.,6/27/2018,17,結(jié)論,l）子句 C的基例 C被解釋 I滿足，當(dāng)且僅當(dāng) C中的一個(gè)基文字L出現(xiàn)在 I中C= P(x) Q(f(y),a) R(z)C= P(a) Q(f(a),a) R(f(a),.,6/27/2018,18,2）子句C被解釋I滿足，當(dāng)且僅當(dāng) C的每一個(gè)基例都被I滿足3）子句 C被解釋 I弄假，當(dāng)且僅當(dāng) 至少有一個(gè)C的基例C被I弄假。,.,6/27/2018,19,例.,C=P(x)Q(f(x)I1=P(a),Q(a),P(f(a),Q(f(a),P(f(f(a),Q(f(f(a),I2=P(a),Q(a),P(f(a),Q(f(a),P(f(f(a),Q(f(f(a),I3=P(a),Q(a),P(f(a),Q(f(a),P(f(f(a),Q(f(f(a), 顯然，I1，I2滿足C，I3弄假C。,.,6/27/2018,20,4）子句集S不可滿足，當(dāng)且僅當(dāng) 對(duì)每個(gè)解釋I，至少有一個(gè)S中某個(gè)子句C的基例C被I弄假。,.,6/27/2018,21,6.2 Herbrand定理,Herbrand定理是符號(hào)邏輯中一個(gè)很重要的定理Herbrand定理就是使用語(yǔ)義樹的方法，把需要考慮無(wú)窮個(gè)H解釋的問題，變成只考慮有限個(gè)解釋的問題,.,6/27/2018,22,一、語(yǔ)義樹,定義(互補(bǔ)對(duì)) 設(shè) A是原子，兩個(gè)文字A和A都是另一個(gè)的補(bǔ)，集合A，A稱為一個(gè)互補(bǔ)對(duì)定義(Tautology,重言式) 含有互補(bǔ)對(duì)的子句,.,6/27/2018,23,定義 （語(yǔ)義樹） 設(shè)S是子句集，A是S的原子集關(guān)于S的語(yǔ)義樹是一棵向下生長(zhǎng)的樹T在樹的每一節(jié)上都以如下方式附著A中有限個(gè)原子或原子的否定： 1）對(duì)于樹中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)N，只能向下引出有限的直接的節(jié) L1，Ln 設(shè)Qi是附著在Li上所有文字的合取，i=1, ,n， 則Q1Qn是一個(gè)恒真的命題公式2）對(duì)樹中每一個(gè)節(jié)點(diǎn) N，設(shè) I（N）是樹T由根向下到節(jié)點(diǎn) N 的所有節(jié)上附著文字的并集， 則I（N）不含任何互補(bǔ)對(duì),語(yǔ)義樹,.,6/27/2018,24,完全語(yǔ)義樹,定義（完全語(yǔ)義樹） 設(shè)A=A1,An,是子句集S的原子集 S的一個(gè)語(yǔ)義樹是完全的，當(dāng)且僅當(dāng) 對(duì)于語(yǔ)義樹中每一個(gè)尖端節(jié)點(diǎn)N（即從N不再 生出節(jié)的那種節(jié)點(diǎn)），都有 Ai或Ai有且僅有一個(gè)屬于I(N),i=1,k,.,6/27/2018,25,例. 設(shè)A=P，Q，R是子句集S的原子集，完全語(yǔ)義樹(正規(guī)完全語(yǔ)義樹 ),.,6/27/2018,26,.,6/27/2018,27,例. 設(shè) S=P(x), Q(f(x)S的原子集為A=P(a), Q(a), P(f(a), Q(f(a), P(f(f(a), Q(f(f(a), ,.,6/27/2018,28,語(yǔ)義樹與解釋,S的完全語(yǔ)義樹的每一個(gè)分枝都對(duì)應(yīng)著S的一個(gè)解釋；定義（部分解釋）對(duì)于子句集S的語(yǔ)義樹中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)N,I(N)是S的某個(gè)解釋的子集，稱I(N)為S的部分解釋。S的任意解釋都對(duì)應(yīng)著S的完全語(yǔ)義樹中的一條分枝？綜合： 子句集S的一棵完全語(yǔ)義樹對(duì)應(yīng)著S的所有解釋。,.,6/27/2018,29,證明: 若不然，設(shè)T中節(jié)點(diǎn)N向下生出的n個(gè)節(jié)L1，Ln的每個(gè)節(jié)Li上，都至少有一個(gè)文字Ai不在I中由語(yǔ)義樹的定義知：Q1Qn是恒真公式,其中Qi表示Li上所有文字的合取，i=1, , n。將Q1Qn化為合取范式：Q1Qn（A1A2An）() ()因?yàn)槊恳粋€(gè)析取式中都必須有一個(gè)互補(bǔ)對(duì)。不妨設(shè)A1A2,于是A2,A2都不在I中,這與I是一個(gè)解釋矛盾。結(jié)論：對(duì)S的任意解釋I，都可以從S的完全語(yǔ)義樹的根點(diǎn)出發(fā)，向下找出一條分枝，使該分枝對(duì)應(yīng)著解釋I。,引理 設(shè)T是子句集S的完全語(yǔ)義樹，I是S的一個(gè)解釋。于是T中任意節(jié)點(diǎn)向下生出的直接節(jié)中，必有一節(jié)，其上所有文字都在I中。,.,6/27/2018,30,子句集的封閉語(yǔ)義樹,定義（失效點(diǎn)） 稱語(yǔ)義樹T中的節(jié)點(diǎn)N為失效點(diǎn)，如果(1)I(N)弄假S中某個(gè)子句的某個(gè)基例；(2)I(N)不弄假S中任意子句的任意基例，其中N是 N的任意祖先節(jié)點(diǎn)。定義（封閉語(yǔ)義樹） 語(yǔ)義樹T是封閉的，當(dāng)且僅當(dāng)T的每個(gè)分枝的終點(diǎn)都是失效點(diǎn)。定義（推理點(diǎn)）稱封閉語(yǔ)義樹的節(jié)點(diǎn) N為推理點(diǎn)，如果N的所有直接下降節(jié)點(diǎn)都是失效點(diǎn),.,6/27/2018,31,例. 設(shè)S=P, PR, PQ, PR。,S的原子集 A=P, Q, R,P,P,Q,Q,Q,Q,R,R,R,R,R,R,R,R,.,6/27/2018,32,練習(xí),設(shè)子句集S=P(x)Q(x),P(f(x), Q(f(x)分別畫出S的完全語(yǔ)義樹與 封閉語(yǔ)義樹。,.,6/27/2018,33,二、Herbrand定理,Herbrand定理I子句集S是不可滿足的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)于S的每一個(gè)完全語(yǔ)義樹都存在一個(gè)有限的封閉語(yǔ)義樹證明: 必要性：若S是不可滿足的，設(shè)T是S的完全語(yǔ)義樹 對(duì)T的每一個(gè)分枝B,令I(lǐng)B是附著在B上所有文字的集合，則IB是S的一個(gè)解釋,故IB弄假S中某子句C的某個(gè)基例C由于C是有限的，所以B上存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)NB使得部分解釋I（NB）弄假C，于是分枝B上存在失效點(diǎn)因此，對(duì)T中每一分枝都存在一個(gè)失效點(diǎn)，于是從T得到S的一個(gè)封閉語(yǔ)義樹T。,.,6/27/2018,34,Herbrand定理I子句集S是不可滿足的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)于S的每一個(gè)完全語(yǔ)義樹都存在一個(gè)有限的封閉語(yǔ)義樹,(有限性) 因?yàn)榉忾]語(yǔ)義樹T中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)只能向下生長(zhǎng)有限個(gè)節(jié),故T必有有限個(gè)節(jié)點(diǎn).否則,由Konig無(wú)限性引理,T中必有一條無(wú)窮的分枝,此無(wú)窮分枝上當(dāng)然沒有失效點(diǎn),矛盾。（Konig無(wú)限性引理：在一個(gè)其點(diǎn)之次數(shù)有限的無(wú)限有向樹中，必有一源于根的無(wú)限路。 ）充分性：若S的每一個(gè)完全語(yǔ)義樹T都對(duì)應(yīng)著一個(gè)有限封閉語(yǔ)義樹T，則T的每條分枝上都有一個(gè)失效點(diǎn)。因?yàn)镾的任一解釋都對(duì)應(yīng)T的某一條分枝，所以每一個(gè)解釋都弄假S， 故S是不可滿足的。,.,6/27/2018,35,Herbrand定理II 子句集S是不可滿足的，當(dāng)且僅當(dāng)存在S的一個(gè)有限不可滿足的S的基例集S。,證明: 必要性：若S恒假，設(shè)T是S的完全語(yǔ)義樹，由Herbrand定理I知，有一個(gè)有限封閉語(yǔ)義樹 T對(duì)應(yīng)著T。令S是被 T中所有失效點(diǎn)弄假的所有基例（S中某些子句的基例）的集合。因?yàn)門中失效點(diǎn)的個(gè)數(shù)有限，所以S是有限集合。任取S的一解釋I，則I是S的某個(gè)解釋I的子集，而解釋I是T中一個(gè)分枝，所以，I弄假S中子句C，故I弄假S。因?yàn)镮I,且I是S的解釋,故I弄假S由I的任意性知S不可滿足。,S=P(x), P(a)P(b), Q(f(x)H=a,b,f(a),f(b),f(f(a),f(f(b),A=P(a),P(b),Q(a),Q(b),S=P(a), P(b), P(a)P(b),.,6/27/2018,36,Herbrand定理II 子句集S是不可滿足的，當(dāng)且僅當(dāng)存在S的一個(gè)有限不可滿足的S的基例集S。,充分性：假設(shè)S有一個(gè)有限的不可滿足的基例集S。 任取S的解釋I， 因?yàn)镾的每一個(gè)解釋I都包含著S的一個(gè)解釋I，而S是不可滿足的，所以S的任一解釋I都弄假S，故I弄假S中至少一個(gè)子句，即I弄假S中至少一個(gè)子句的基例，亦即I弄假S。 由I的任意性，知S是不可滿足的。,.,6/27/2018,37,Herbrand定理II提出了一種證明子句集S的不可滿足性的方法：如果存在這樣一個(gè)機(jī)械程序，它可以逐次生成S中子句的基例集 S0，Sn，并逐次地檢查S0，Sn，的不可滿足性，那么根據(jù) Herbrand定理，如果 S是不可滿足的，則這個(gè)程序一定可以找到一個(gè)有限數(shù)N，使SN是不可滿足的。,.,6/27/2018,38,使用Herbrand定理的機(jī)器證明過(guò)程,Gilmore過(guò)程D-P過(guò)程,.,6/27/2018,39,Gilmore過(guò)程（1960年）,逐次地生成S0， S1，Sn，其中Si是用S的i級(jí)常量集合Hi中的常量，代替S中子句的變量，而得到的S的所有基例之集合。對(duì)于每一個(gè)Si，可以使用命題邏輯中的任意的方法去檢查Si的不可滿足性。 Gilmore使用了所謂乘法方法：即將Si化為析取范式。如果其中任意一個(gè)合取項(xiàng)包含一個(gè)互補(bǔ)對(duì)，則可以刪除這個(gè)合取項(xiàng)，最后，如果某個(gè)Si是空的，則Si是不可滿足的。當(dāng)S不可滿足時(shí)，該算法一定結(jié)束(半可判定)。,.,6/27/2018,40,例. S=P(a), P(x) Q(f(x), Q(f(a) H0=a S0=P(a) (P(a) Q(f(a) Q(f(a) =(P(a)P(a)Q(f(a)(P(a) Q(f(a)Q(f(a) = =所以，S是不可滿足的。該算法具有指數(shù)復(fù)雜性，為此提出了改進(jìn)規(guī)則，稱為Davis-Putnam預(yù)處理-檢驗(yàn)基子句集不可滿足性。,.,6/27/2018,41,D-P過(guò)程,設(shè)S是基子句集Tautology刪除規(guī)則 設(shè)S為刪去S中所有的Tautology所剩子句集， 則 S恒假 iff S恒假。,.,6/27/2018,42,單文字規(guī)則 若S中有一個(gè)單元基子句L，令S為刪除S中包含L的所有基子句所剩子句集，則：(1) 若S為空集，則S可滿足。(2) 否則， 令S為刪除S中所有文字L所得子句集 （若S 中有單元基子句L，則刪文字L 得空子句）， 于是， S恒假 iff S恒假。S=L(LC1) (LCi) (LCi+1) (LCj) Cj+1 Cn,.,6/27/2018,43,定義（純文字）：稱S的基子句中文字L是純的，如果L不出現(xiàn)在S中。純文字規(guī)則設(shè)L是S中純文字，且S為刪除S中所有包含L的基子句所剩子句集，則(1)若S為空集，則S可滿足。(2) 否則，S恒假 iff S恒假。S=(LC1) (LCi) Ci+1 Cn,.,6/27/2018,44,分裂規(guī)則若S=(A1 L) (Am L) (B1 L) (Bn L) R 其中A i , Bi ,R都不含L或L，令 S1 =A1 Am RS2= B1 Bn R 則S恒假 iff S1 ， S2同時(shí)恒假。,.,6/27/2018,45,Davis-Putnam方法練習(xí),S= (PQR) (PQ) P R US= (PQ) (PQ) (QR) (QR) S= (PQ) (PQ) (RQ) (RQ),.,6/27/2018,46,Herbrand定理的主要障礙,要求生成關(guān)于子句集S的基例集 S1, S2, 。在多數(shù)情況下，這些集合的元數(shù)是以指數(shù)方式增加的：例.S=P(x,g(x),y,h(x,y),z,k(x,y,z),P(u,v,e(v),w,f(v,w),x) H0=a H1=a, g(a), h(a, a), k(a, a, a), e(a), f(a, a) S0=P(a,g(a),a,h(a,a),a,k(a,a,a),P(a,a,e(a),a,f(a,a),a) S1=(666)+(6666)=216+1296=1512個(gè)元素 S5是不可滿足的，但是H5是1065數(shù)量級(jí)個(gè)元素，而S5有10260數(shù)量級(jí)的元素。想將S5存儲(chǔ)起來(lái)都是不可能的，更不要說(shuō)是檢查它的不可滿足性了。,.,6/27/2018,47,為了避免像Herbrand定理所要求的那樣去生成子句的基例集，J.A.Robinson于1965年提出了歸結(jié)原理，歸結(jié)原理可以直接應(yīng)用到任意子句集S上（不一定是基子句集），去檢查S的不可滿足性。歸結(jié)原理的本質(zhì)思想是去檢查子句集S是否包含一個(gè)空子句: 如果S包含，則S是不可滿足的。 如果S不包含，則去檢查是否可由S推導(dǎo)出來(lái)。 當(dāng)然這個(gè)推理規(guī)則必須保證推出的子句是原親本子句的邏輯結(jié)果。歸結(jié)原理就是具有這種性質(zhì)的一種推理規(guī)則。,歸結(jié)原理思想,.,6/27/2018,48,命題邏輯中的歸結(jié)原理,.,6/27/2018,49,歸結(jié)式,定義（歸結(jié)式） 對(duì)任意兩個(gè)基子句C1和C2。如果C1中存在文字L1，C2中存在文字L2，且L1L2， 則從C1和C2中分別刪除L1和L2，將C1和C2的剩余部分析取起來(lái)構(gòu)成的子句，稱為C1和C2的歸結(jié)式，記為R(C1, C2)。 C1和C2稱為親本子句。,.,6/27/2018,50,練習(xí):求下述各子句對(duì)的歸結(jié)式,C1= PQR, C2=QSC1= PQR, C2=P RQ,.,6/27/2018,51,定理 設(shè)C1和C2是兩個(gè)基子句， R(C1, C2) 是C1，C2的歸結(jié)式，則R(C1, C2)是C1和C2的邏輯結(jié)果。證明： 設(shè) C1=L C1, C2=LC2。于是 R(C1, C2) C1 C2 設(shè)I是C1和C2的一個(gè)解釋，且滿足C1也滿足C2。因?yàn)長(zhǎng)和L中有一個(gè)在I下為假，不妨設(shè)為L(zhǎng)。于是C1非空，且在I下為真。故R(C1, C2)在I下為真。,命題邏輯歸結(jié)方法的可靠性,.,6/27/2018,52,歸結(jié)演繹,定義（歸結(jié)演繹） 設(shè)S是子句集。從S推出子句C的一個(gè)歸結(jié)演繹是如下一個(gè)有限子句序列： C1，C2，Ck其中Ci或者是S中子句，或者是Cj和Cr的歸結(jié)式 (ji, r i)；并且CkC。 稱從子句集S演繹出子句C，是指存在一個(gè)從S推出C的演繹。定理 若從子句集S可以演繹出子句C，則C是S的邏輯結(jié)果。推論 若子句集S是可滿足的， 則S推出的任意子句也是可滿足的。,.,6/27/2018,53,定義 從S推出空子句的演繹稱為一個(gè)反駁（反證） ，或稱為S的一個(gè)證明。結(jié)論：若從基子句集S可演繹出空子句，則S是不可滿足的。演繹樹：從子句集S出發(fā)，通過(guò)歸結(jié)原理可得到一個(gè)向下的演繹樹，其每個(gè)初始節(jié)點(diǎn)上附著一個(gè)S中子句，每個(gè)非初始節(jié)點(diǎn)上附著一個(gè)其前任節(jié)點(diǎn)上子句的歸結(jié)式。,.,6/27/2018,54,例. S=PQ, PQ, PQ, PQ ,歸結(jié)演繹： (1) PQ (2) PQ (3) PQ (4) PQ (5) Q 由(1)、(2) (6) Q 由(3)、(4) (7) 由(5)、(6),.,6/27/2018,55,歸結(jié)原理一般過(guò)程:,1)建立子句集S。2)如果S含空子句，則結(jié)束。3)從子句集S出發(fā),僅對(duì)S的子句間使用歸結(jié)推理規(guī)則。4)如果得出空子句，則結(jié)束。5)將所得歸結(jié)式仍放入S中。6)對(duì)新的子句集使用歸結(jié)推理規(guī)則。轉(zhuǎn)4)。,.,6/27/2018,56,例.證明(P Q) Q p,首先建立子句集:S=PQ, Q , P歸結(jié)演繹:(1) P Q(2) Q(3) P(4) P (1)(2)歸結(jié)(5) (3)(4)歸結(jié),.,6/27/2018,57,命題邏輯歸結(jié)原理的完備性,定理 如果基子句集S是不可滿足的， 則存在從S推出空子句的歸結(jié)演繹。證明： 設(shè)M是S的原子集，對(duì)M的元素?cái)?shù)|M|用歸納法。 當(dāng)|M|=1時(shí)，設(shè)原子為P。 若S ，得證。 否則，因?yàn)镾是不可滿足的，于是，S中必包含單元子句P和P，而P和P的歸結(jié)式是，所以存在從S推出的歸結(jié)演繹。 假設(shè)|M|n (n2) 時(shí)，定理成立。往證 |M|n時(shí)定理成立。,.,6/27/2018,58,取M中任意一原子P，做如下兩個(gè)子句集：S：將S中所有含P的子句刪除，然后在剩下的子 句中刪除文字P；S”：將S中所有含P的子句刪除，然后在剩下的 子句中刪除文字P。顯然，S和S”都不可滿足，且它們的原子集的元素?cái)?shù)都小于n。根據(jù)歸納假設(shè)，存在從S推出 的歸結(jié)演繹D1，從S”推出的歸結(jié)演繹D2。,.,6/27/2018,59,S=PC1, ,PCi , PCi+1, ,PCj, Cj+1 , , CnS=Ci+1, ,Cj,Cj+1 , , CnS=C1, ,Ci , Cj+1 , , Cn例：S=PQ, PQ, PR, RM=P,Q,R,.,6/27/2018,60,在D1中，將S中所有不是S中的子句，通過(guò)添加文字P而恢復(fù)成S中子句，于是，得到從S推出 或者P的歸結(jié)演繹D1。 用同樣方法從D2可得一個(gè)從S推出 或者P的歸結(jié)演繹D2。 顯然，從D1和D2就不難得到一個(gè)從S推出 的歸結(jié)演繹D。歸納法完成。,.,6/27/2018,61,Resolution Principle 兩種譯法：歸結(jié)原理：從內(nèi)部看 劉敘華，一種新的語(yǔ)義歸結(jié)原理，吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，1978。消解原理：從外部看 馬希文，機(jī)器證明及其應(yīng)用，計(jì)算機(jī)應(yīng)用， 1978。,.,6/27/2018,62,6.3 合一算法,.,6/27/2018,63,例1 C1：P(x) Q(y) C2：P(a) R(z)例2 C1：P(x) Q(x) C2：P(f(x) R(x)替換和合一是為了處理謂詞邏輯中子句之間的模式匹配而引進(jìn).,.,6/27/2018,64,一、替換與最一般合一替換,定義(替換)一個(gè)替換是形如t1/v1, , tn/vn 的一個(gè)有限集合，其中vi是變量符號(hào)，ti是不同于vi的項(xiàng)。并且在此集合中沒有在斜線符號(hào)后面有相同變量符號(hào)的兩個(gè)元素，稱ti為替換的分子，vi為替換的分母。例. a/x, g(y)/y, f(g(b)/z是替換; x/x, y/f(x), a/x, g(y)/y, f(g(b)/y不是替換;基替換:當(dāng)t1,tn是基項(xiàng)時(shí)，稱此替換為基替換。空替換：沒有元素的替換稱為空替換，記為。,.,6/27/2018,65,替換,定義（改名） 設(shè)替換 = t1/x1, , tn/xn 如果t1, , tn是不同的變量符號(hào)，則稱為一個(gè)改名替換，簡(jiǎn)稱改名。替換作用對(duì)象：表達(dá)式（項(xiàng)、項(xiàng)集、原子、原子集、 文字、子句、子句集）基表達(dá)式：沒有變量符號(hào)的表達(dá)式。子表達(dá)式：出現(xiàn)在表達(dá)式E中的表達(dá)式稱為E的子 表達(dá)式。,.,6/27/2018,66,E的例,定義（E的例） 設(shè) = t1/v1, , tn/vn 是一個(gè)替換，E是一個(gè)表達(dá)式。將E中出現(xiàn)的每一個(gè)變量符號(hào)，vi (1 i n) ，都用項(xiàng)ti替換，這樣得到的表達(dá)式記為E。稱E 為E的例。 若E 不含變量，則E 為E的基例。例. 令 = a/x, f(b)/y, c/z，E=P(x, y, z)于是E的例（也是E的基例）為 E = P(a, f(b), c),.,6/27/2018,67,練習(xí)： E=P(x, g(y), h(x,z), =a/x, f(b)/y, g(w)/zE=P(a, g(f(b), h(a,g(w) E=P(x, y, z), =y/x, z/y E=P(y, z, z). EP(z, z, z).,.,6/27/2018,68,替換的乘積,定義（替換的乘積）設(shè) = t1/x1, , tn/xn ， = u1/y1, , um/ym 是兩個(gè)替換。將下面集合 t1/x1, , tn/xn , u1/y1, , um/ym 中任意符合下面條件的元素刪除： 1）ui/yi，當(dāng)yix1, , xn 時(shí)； 2）ti/xi，當(dāng)ti = xi 時(shí)。如此得到一個(gè)替換，稱為與的乘積，記為 。例. 令 =f(y)/x, z/y =a/x, b/y, y/z 于是得集合 t1/x1, t2/x2 , u1/y1, u2/y2 , u3/y3 = f(b)/x, y/y, a/x, b/y, y/z 與的乘積為 = f(b)/x, y/z ,.,6/27/2018,69,=a/x, =b/x =a/x =b/x可見： ,.,6/27/2018,70,例子:E=P(x, y, z)=a/x, f(z)/y, w/zE=P(a, f(z), w)=t/z, g(b)/w(E)=P(a, f(t), g(b)=a/x, f(t)/y, g(b)/z,g(b)/wE=P(a, f(t), g(b),.,6/27/2018,71,引理 若E是表達(dá)式，是兩個(gè)替換， 則E ( ) = (E),證明： 設(shè)vi是E中任意一個(gè)變量符號(hào)，而 = t1/x1, , tn/xn ， = u1/y1, , um/ym 若vi既不在 x1, , xn 中，也不在 y1, , ym 中，則vi在E ( )中和在(E)中都不變。若vi=xj (1jn)，則E中的vi，在(E)中先變成tj，然后再變成tj；E中的vi在E()中立即就變成了tj。故E中vi在(E)中和在E()中有相同變化。若vi=yj (1jm)，且yj x1,xn ，則E中vi在(E)中變?yōu)閡j;E中vi在E()中也變?yōu)閡j(注意:yjx1, xn，所以u(píng)j/yj），故E中vi在(E)中和在E ()中有相同變化。 由于vi的任意性，故引理得證。,.,6/27/2018,72,引理 設(shè)， 是三個(gè)替換， 于是()(),證明： 設(shè)E是任一表達(dá)式，由上面引理知 E() =(E() = (E) E() =(E) () = (E) 所以 E() = E()由于E的任意性，故 ()(),.,6/27/2018,73,定義(合一)稱替換是表達(dá)式集合E1,Ek的 合一，當(dāng)且僅當(dāng)E1E2=Ek。 表達(dá)式集合E1, , Ek稱為可合一的，如果存在關(guān)于此集合的一個(gè)合一。定義(最一般合一) 表達(dá)式集合E1, , Ek的合一 稱為是最一般合一(most general unifier, 簡(jiǎn)寫為mgu)，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)此集合的每一個(gè)合一，都存在替換，使得,.,6/27/2018,74,例. 表達(dá)式集合P(a, y), P(x, f(b)是可合一的，其最一般合一a/x, f(b)/y。顯然，這也是此集合的mgu。？ 表達(dá)式集合P(a, b), P(x, f(b)是否可合一？例. 表達(dá)式集合P(x), P(f(y)是可合一的，其最一般合一f(y)/x f(a)/x, a/y也是合一，有替換 =a/y，使=f(y)/xa/y,.,6/27/2018,75,例 S=P(x) Q(x),P(y), Q(b) P(x),P(y)可合一，a/x, a/y是合一， 其mgu x/y，有替換 =a/x，使= x/y a/x,.,6/27/2018,76,二、合一算法,定義（差異集合） 設(shè)W是非空表達(dá)式集合，W的差異集合是如下一個(gè)集合：首先找出W的所有表達(dá)式中不是都相同的第一個(gè)符號(hào)，然后從W的每一個(gè)表達(dá)式中抽出占有這個(gè)符號(hào)位置的子表達(dá)式。所有這些子表達(dá)式組成的集合稱為這步找到的W的差異集合D。,.,6/27/2018,77,W不可合一的三種情況,（1）若D中無(wú)變量符號(hào)為元素，則W是不可合一的。例. W=P(f(x), P(g(x) D=f(x), g(x) （2）若D中有奇異元素和非奇異元素，則W是不可合一的。例. W=P(x), P(x, y) D=, y（3）若D中元素有變量符號(hào)x和項(xiàng)t，且x出現(xiàn)在t中，則W是不可合一的。例. W=P(x), P(f(x) D=x, f(x),.,6/27/2018,78,換名:P(f(x), x), P(x, a);如果不換名：D=f(x), x.換名: P(f(y), y), P(x, a);mgu: f(a)/x, a/y,.,6/27/2018,79,步驟1：置 k=0, Wk=W, k=步驟2：若Wk只有一個(gè)元素，則停止，k是W的最一般合一； 否則，找出Wk的差異集合Dk。步驟3：若Dk非奇異，Dk中存在元素vk和tk，其中vk是變量符號(hào)，并且 不出現(xiàn)在tk中，則轉(zhuǎn)步驟4； 否則，算法停止，W是不可合一的。步驟4：令 k+1=ktk/vk，Wk+1=Wk （注：Wk+1=W ）步驟5：置 k=k+1，轉(zhuǎn)步驟2。,合一算法（Unification algorithm）,.,6/27/2018,80,例. 令 W=Q(f(a), g(x), Q(y, y), 求W的mgu。,步驟1： k=0, W0=W, 0=。步驟2： D0 =f(a), y。步驟3：有v0= y D0，v0不出現(xiàn)在t0f(a)中。步驟4：令 1=0t0/v0=f(a)/y, W1=Q(f(a), g(x), Q(f(a), f(a)步驟5：k=k+1=1步驟2： D1 =g(x), f(a) 。步驟3：D1中無(wú)變量符號(hào)，算法停止，W不可合一。？ 若令W=Q(f(a), g(x), Q(y, z), W是否可合一？,.,6/27/2018,81,例 令 W= P(a, x, f(g(y), P(z, f(z), f(u)， 求出W的mgu。,步驟1：k=0,W0=W, 0= 。步驟2： D0 =a, z。步驟3：有v0= z D0，v0不出現(xiàn)在t0a中。步驟4：令 1=0t0/v0=a/z=a/z，W1=W0t0/v0=P(a,x,f(g(y),P(z,f(z),f(u)a/z=P(a,x,f(g(y),P(a,f(a),f(u)步驟5：k=k+1=1步驟2： D1 =x, f(a) 。步驟3：有v1= x D1，且v1不出現(xiàn)在t1f(a)中。步驟4：令 2=1t1/v1=a/z f(a)/x =a/z, f(a)/x ，W2=W1t1/v1=P(a,x,f(g(y),P(a,f(a),f(u)f(a)/x =P(a,f(a),f(g(y),P(a,f(a),f(u),.,6/27/2018,82,例.,步驟5：k=k+1=2步驟2： D2 =g(y), u。步驟3：有v2= u D2，且v2不出現(xiàn)在t2g(y)中。步驟4：令 3=2t2/v2=a/z, f(a)/x g(y)/u =a/z, f(a)/x, g(y)/u ，W3=W2t2/v2=P(a, f(a), f(g(y), P(a, f(a), f(u) g(y)/u =P(a, f(a), f(g(y)步驟5:k=k+1=3步驟2：W3只有一個(gè)元素。算法停止。 3=a/z, f(a)/x, g(y)/u 是W的最一般合一。,.,6/27/2018,83,定理 若W是關(guān)于表達(dá)式的有限非空可合一集合，則合一算法終將結(jié)束在步驟2，并且最后的k是W的最一般合一。,證明： （1）終止性。否則將產(chǎn)生一個(gè)無(wú)窮序列：W ， W ， W ，其中每一個(gè)直接后繼集合比它的前任都少一個(gè)變量符號(hào)（注意：W 包含vk，而W 不包含vk）。但這是不可能的，因?yàn)閃僅含有限個(gè)變量符號(hào)。 （2） k是W的合一。若算法停止在步驟2，則Wk=W只含有一個(gè)元素，所以k是W的合一。,.,6/27/2018,84,（3）用歸納法證明算法必不會(huì)停止在步驟3，并且對(duì)任意W的一個(gè)合一，任意k，都存在替換k，使得 =kk 亦即k是W的mgu。 當(dāng)k=0時(shí)，因0=，取0=，于是=00。,.,6/27/2018,85,假設(shè)對(duì)0kn，=kk成立。 往證：存在n+1，使得=n+1n+1。若W 只含有一個(gè)元素，則合一算法結(jié)束在步驟2。因?yàn)?nn，且n是W的合一，故n是W的mgu。定理得證。 若W 不只含有一個(gè)元素,按照算法,將找出W的差異集合Dn。因?yàn)?nn是W的合一，所以W中表達(dá)式經(jīng)替換作用后都變成同一個(gè)相同的表達(dá)式。而W中表達(dá)式經(jīng)n作用后，產(chǎn)生了差異集合Dn，所以Dn必須被n所統(tǒng)一，即n是D n的合一。,.,6/27/2018,86,因?yàn)镈n是可合一的（n就是Dn的合一），所以必有變量符號(hào)vnDn；Dn中至少有兩個(gè)不同元素。所以可設(shè)tnDn，且tnvn。顯然，變量符號(hào)vn不出現(xiàn)在tn中（否則，vnn tnn，這與n是Dn的合一矛盾）。 因此算法不能停止在步驟3，所以算法必然停止在步驟2。,.,6/27/2018,87,令n+1=ntn/vn。因?yàn)関nn=tnn,所以tnn/vnn令n+1=n -tnn/vn。因vn不出現(xiàn)在tn中，所以于是 故歸納法完成。即對(duì)所有k0,都存在替換k，使=kk。所以算法終止步驟2時(shí)，k是W的最一般合一。,.,6/27/2018,88,6.4 一階邏輯中的歸結(jié)原理,.,6/27/2018,89,定義（因子） 如果子句C中，兩個(gè)或兩個(gè)以上的文字有一個(gè)最一般合一，則C稱為C的因子； 如果C是單元子句，則C稱為C的單因子。例. C=P(x) P(f(y) Q(x) 令 f(y)/x，于是 C= P(f(y) Q(f(y) 是C的因子。,.,6/27/2018,90,二元?dú)w結(jié)式,定義 設(shè)C1, C2是兩個(gè)無(wú)公共變量的子句(稱為親本子句), L1, L2分別是C1, C2中的兩個(gè)文字。 如果L1和L2有最一般合一 ，則子句 (C1- L1) ( C2- L2) 稱為C1和C2的二元?dú)w結(jié)式，L1和L2稱為歸結(jié)文字。例. 設(shè)C1=P(x) Q(x), C2=P(a) R(x)將C2中x改名為y。取L1P(x), L2=P(a), =a/x, 于是(C1- L1) ( C2- L2)(P(a), Q(a)-P(a) (P(a), R(y)-P(a)=Q(a), R(y)= Q(a) R(y) -C1和C2的二元?dú)w結(jié)式.,.,6/27/2018,91,練習(xí)：設(shè)C1=P(a) R(x), C2=P(y) Q(b) 求C1和C2的二元?dú)w結(jié)式.,.,6/27/2018,92,在謂詞邏輯中，對(duì)子句進(jìn)行歸結(jié)推理時(shí)，要注意的幾個(gè)問題：（1）若被歸結(jié)的子句C1 和C2中具有相同的變?cè)獣r(shí)，需要將其中一個(gè)子句的變?cè)駝t可能無(wú)法合一，從而沒有辦法進(jìn)行歸結(jié)。,.,6/27/2018,93,例： C1=P(x), C2=P(f(x) 例：設(shè)知識(shí)庫(kù)中有如下知識(shí)：(1)若x的父親是y，則x不是女人。(2)若x的母親是y，則x是女人。(3)Chris的母親是Mary。(4)Chris的父親是Bill。求證：這些斷言包含有矛盾。 father(x,y):x的父親是y mother(x,y):x的母親是y woman(x):x是女人,.,6/27/2018,94,（2）在求歸結(jié)式時(shí),不能同時(shí)消去兩個(gè)互補(bǔ)文字對(duì),消去兩個(gè)互補(bǔ)文字對(duì)所得的結(jié)果不是兩個(gè)親本子句的邏輯推論。例.設(shè)C1=P(x) Q(b), C2=P(a) Q(y)R(z) 求C1和C2的二元?dú)w結(jié)式.（3）如果在參加歸結(jié)的子句內(nèi)含有可合一的文字,則在進(jìn)行歸結(jié)之前,應(yīng)對(duì)這些文字進(jìn)行合一,以實(shí)現(xiàn)這些子句內(nèi)部的化簡(jiǎn)。,.,6/27/2018,95,歸結(jié)式,定義 子句C1, C2的一個(gè)歸結(jié)式是下列二元?dú)w結(jié)式之一：C1和C2的二元?dú)w結(jié)式。C1和C2的因子的二元?dú)w結(jié)式。C1的因子和C2的二元?dú)w結(jié)式。C1的因子和C2的因子的二元?dú)w結(jié)式。例. 設(shè) C1=P(x) P(f(y) R(g(y) C2=P(f(g(a) Q(b)C1的因子C1= P(f(y) R(g(y)。于是C1和C2的二元?dú)w結(jié)式，從而也是C1和C2的歸結(jié)式為 R(g(g(a) Q(b),.,6/27/2018,96,一階邏輯歸結(jié)原理的完備性,提升引理 如果C1和C2分別是子句C1和C2的例，C是C1和C2的歸結(jié)式，則存在C1和C2的一個(gè)歸結(jié)式C，使C是C的例。例 C1：P(x) Q(f(x) C2： Q(y) R(y) C1： P(a) Q(f(a) C2：Q(f(a) R(f(a) C ： P(a) R(f(a) C： P(x) R(f(x),.,6/27/2018,97,一階邏輯歸結(jié)原理的完備性,定理 若子句集S是不可滿足的，則存在從S推出空子句的歸結(jié)演繹。 證明: 設(shè)子句集S是不可滿足的，由Herbrand定理II知，存在S的一個(gè)基例集S也是不可滿足的。 根據(jù)命題邏輯歸結(jié)原理的完備性，存在從S推出空子句的歸結(jié)演繹D。 由提升引理知，可將D提升成一個(gè)從S推出空子句的歸結(jié)演繹D。定理得證。,.,6/27/2018,98,應(yīng)用歸結(jié)原理的習(xí)題,.,6/27/2018,99,6.5 歸結(jié)原理的幾種改進(jìn),.,6/27/2018,100,水平浸透法（Level Saturation Method）S0= SSn= C1和C2的歸結(jié)式| C1S0Sn-1，C2 Sn-1,.,6/27/2018,101,例.使用水平浸透法證明 S=PQ,PQ, PQ, PQ 不可滿足。,