2010-2011年高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識(shí)點(diǎn)整理歸納之十第十章 直線與圓的方程一、基礎(chǔ)知識(shí)1解析幾何的研究對(duì)象是曲線與方程。解析法的實(shí)質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何.首先是通過(guò)映射建立曲線與方程的關(guān)系，即如果一條曲線上的點(diǎn)構(gòu)成的集合與一個(gè)方程的解集之間存在一一映射，則方程叫做這條曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。如x2+y2=1是以原點(diǎn)為圓心的單位圓的方程。2求曲線方程的一般步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系；(2)寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)的集合；(3)用坐標(biāo)表示條件，列出方程；(4)化簡(jiǎn)方程并確定未知數(shù)的取值范圍；（5）證明適合方程的解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在曲線上，且曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)都滿足方程（實(shí)際應(yīng)用常省略這一步）。3直線的傾斜角和斜率：直線向上的方向與x軸正方向所成的小于1800的正角，叫做它的傾斜角。規(guī)定平行于x軸的直線的傾斜角為00，傾斜角的正切值（如果存在的話）叫做該直線的斜率。根據(jù)直線上一點(diǎn)及斜率可求直線方程。4直線方程的幾種形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）點(diǎn)斜式：y-y0=k(x-x0)；（3）斜截式：y=kx+b；（4）截距式：；（5）兩點(diǎn)式：；（6）法線式方程：xcos+ysin=p（其中為法線傾斜角，|p|為原點(diǎn)到直線的距離）；（7）參數(shù)式：（其中為該直線傾斜角），t的幾何意義是定點(diǎn)P0（x0, y0）到動(dòng)點(diǎn)P（x, y）的有向線段的數(shù)量（線段的長(zhǎng)度前添加正負(fù)號(hào)，若P0P方向向上則取正，否則取負(fù)）。5到角與夾角：若直線l1, l2的斜率分別為k1, k2，將l1繞它們的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到與l2重合所轉(zhuǎn)過(guò)的最小正角叫l(wèi)1到l2的角；l1與l2所成的角中不超過(guò)900的正角叫兩者的夾角。若記到角為，夾角為，則tan=,tan=.6平行與垂直：若直線l1與l2的斜率分別為k1, k2。且兩者不重合，則l1/l2的充要條件是k1=k2；l1l2的充要條件是k1k2=-1。7兩點(diǎn)P1(x1, y1)與P2(x2, y2)間的距離公式：|P1P2|=。8點(diǎn)P(x0, y0)到直線l: Ax+By+C=0的距離公式：。9直線系的方程：若已知兩直線的方程是l1：A1x+B1y+C1=0與l2：A2x+B2y+C2=0，則過(guò)l1, l2交點(diǎn)的直線方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2=0；由l1與l2組成的二次曲線方程為（A1x+B1y+C1）（A2x+B2y+C2）=0；與l2平行的直線方程為A1x+B1y+C=0().10二元一次不等式表示的平面區(qū)域，若直線l方程為Ax+By+C=0. 若B>0，則Ax+By+C>0表示的區(qū)域?yàn)閘上方的部分，Ax+By+C<0表示的區(qū)域?yàn)閘下方的部分。11解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題的一般步驟：（1）確定各變量，并以x和y表示；（2）寫(xiě)出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù)；（3）畫(huà)出滿足約束條件的可行域；（4）求出最優(yōu)解。12圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心是點(diǎn)(a, b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，其參數(shù)方程為（為參數(shù)）。13圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)。其圓心為，半徑為。若點(diǎn)P(x0, y0)為圓上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P的切線方程為 14根軸：到兩圓的切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)的軌跡為一條直線（或它的一部分），這條直線叫兩圓的根軸。給定如下三個(gè)不同的圓：x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 則它們兩兩的根軸方程分別為(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不難證明這三條直線交于一點(diǎn)或者互相平行，這就是著名的蒙日定理。二、方法與例題1坐標(biāo)系的選?。航⒆鴺?biāo)系應(yīng)講究簡(jiǎn)單、對(duì)稱(chēng)，以便使方程容易化簡(jiǎn)。例1 在ABC中，AB=AC，A=900，過(guò)A引中線BD的垂線與BC交于點(diǎn)E，求證：ADB=CDE。證明 見(jiàn)圖10-1，以A為原點(diǎn)，AC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)點(diǎn)B，C坐標(biāo)分別為（0,2a）,(2a,0)，則點(diǎn)D坐標(biāo)為（a, 0）。直線BD方程為， 直線BC方程為x+y=2a， 設(shè)直線BD和AE的斜率分別為k1, k2，則k1=-2。因?yàn)锽DAE，所以k1k2=-1.所以，所以直線AE方程為，由解得點(diǎn)E坐標(biāo)為。所以直線DE斜率為因?yàn)閗1+k3=0.所以BDC+EDC=1800，即BDA=EDC。例2 半徑等于某個(gè)正三角形高的圓在這個(gè)三角形的一條邊上滾動(dòng)。證明：三角形另兩條邊截圓所得的弧所對(duì)的圓心角為600。證明 以A為原點(diǎn)，平行于正三角形ABC的邊BC的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系見(jiàn)圖10-2，設(shè)D的半徑等于BC邊上的高，并且在B能上能下滾動(dòng)到某位置時(shí)與AB，AC的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，設(shè)半徑為r，則直線AB，AC的方程分別為,.設(shè)D的方程為(x-m)2+y2=r2.設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)，則，分別代入并消去y得所以x1, x2是方程4x2-2mx+m2-r2=0的兩根。由韋達(dá)定理，所以|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2=4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.所以|EF|=r。所以EDF=600。2到角公式的使用。例3 設(shè)雙曲線xy=1的兩支為C1，C2，正PQR三頂點(diǎn)在此雙曲線上，求證：P，Q，R不可能在雙曲線的同一支上。證明 假設(shè)P，Q，R在同一支上，不妨設(shè)在右側(cè)一支C1上，并設(shè)P，Q，R三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為且0<x1<x2<x3. 記RQP=，它是直線QR到PQ的角，由假設(shè)知直線QR，PQ的斜率分別為，由到角公式所以為鈍角，與PQR為等邊三角形矛盾。所以命題成立。3代數(shù)形式的幾何意義。例4 求函數(shù)的最大值。解 因?yàn)楸硎緞?dòng)點(diǎn)P(x, x2)到兩定點(diǎn)A(3, 2), B(0, 1)的距離之差，見(jiàn)圖10-3，當(dāng)AB延長(zhǎng)線與拋物線y=x2的交點(diǎn)C與點(diǎn)P重合時(shí)，f(x)取最大值|AB|=4最值問(wèn)題。例5 已知三條直線l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0圍成ABC，求m為何值時(shí)，ABC的面積有最大值、最小值。解記l1, l2, l3的方程分別為，。在，中取x=-1, y=0，知等式成立，所以A(-1, 0)為l1與l3的交點(diǎn)；在，中取x=0, y=m+1，等式也成立，所以B(0, m+1)為l2與l3的交點(diǎn)。設(shè)l1, l2斜率分別為k1, k2, 若m0，則k1k2=, SABC=，由點(diǎn)到直線距離公式|AC|=，|BC|=。所以SABC=。因?yàn)?mm2+1，所以SABC。又因?yàn)?m2-12m，所以，所以SABC當(dāng)m=1時(shí)，（SABC）max=；當(dāng)m=-1時(shí)，（SABC）min=.5線性規(guī)劃。例6 設(shè)x, y滿足不等式組（1）求點(diǎn)(x, y)所在的平面區(qū)域；（2）設(shè)a>-1，在（1）區(qū)域里，求函數(shù)f(x,y)=y-ax的最大值、最小值。解 （1）由已知得或解得點(diǎn)(x, y)所在的平面區(qū)域如圖10-4所示，其中各直線方程如圖所示。AB：y=2x-5；CD：y=-2x+1；AD：x+y=1；BC：x+y=4.(2) f(x, y)是直線l: y-ax=k在y軸上的截距，直線l與陰影相交，因?yàn)閍>-1，所以它過(guò)頂點(diǎn)C時(shí)，f(x, y)最大，C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，7），于是f(x, y)的最大值為3a+7. 如果-1<a2，則l通過(guò)點(diǎn)A（2，-1）時(shí)，f(x, y)最小，此時(shí)值為-2a-1；如果a>2，則l通過(guò)B（3，1）時(shí)，f(x, y)取最小值為-3a+1.6參數(shù)方程的應(yīng)用。例7 如圖10-5所示，過(guò)原點(diǎn)引直線交圓x2+(y-1)2=1于Q點(diǎn)，在該直線上取P點(diǎn)，使P到直線y=2的距離等于|PQ|，求P點(diǎn)的軌跡方程。解 設(shè)直線OP的參數(shù)方程為（t參數(shù)）。代入已知圓的方程得t2-t2sin=0.所以t=0或t=2sin。所以|OQ|=2|sin|，而|OP|=t.所以|PQ|=|t-2sin|，而|PM|=|2-tsin|.所以|t-2sin|=|2-tsin|. 化簡(jiǎn)得t=2或t=-2或sin=-1.當(dāng)t=2時(shí)，軌跡方程為x2+y2=4；當(dāng)sin=1時(shí)，軌跡方程為x=0.7與圓有關(guān)的問(wèn)題。例8 點(diǎn)A，B，C依次在直線l上，且AB=ABC，過(guò)C作l的垂線，M是這條垂線上的動(dòng)點(diǎn)，以A為圓心，AB為半徑作圓，MT1與MT2是這個(gè)圓的切線，確定AT1T2垂心 的軌跡。解 見(jiàn)圖10-6，以A為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立坐標(biāo)系，H為OM與圓的交點(diǎn)，N為T(mén)1T2與OM的交點(diǎn)，記BC=1。以A為圓心的圓方程為x2+y2=16，連結(jié)OT1，OT2。因?yàn)镺T2MT2，T1HMT2，所以O(shè)T2/HT1，同理OT1/HT2，又OT1=OT2，所以O(shè)T1HT2是菱形。所以2ON=OH。又因?yàn)镺MT1T2，OT1MT1，所以O(shè)NOM。設(shè)點(diǎn)H坐標(biāo)為（x,y）。點(diǎn)M坐標(biāo)為(5, b)，則點(diǎn)N坐標(biāo)為，將坐標(biāo)代入=ONOM，再由得在AB上取點(diǎn)K，使AK=AB，所求軌跡是以K為圓心，AK為半徑的圓。例9 已知圓x2+y2=1和直線y=2x+m相交于A，B，且OA，OB與x軸正方向所成的角是和，見(jiàn)圖10-7，求證：sin(+)是定值。證明 過(guò)D作ODAB于D。則直線OD的傾斜角為，因?yàn)镺DAB，所以2,所以。所以例10 已知O是單位圓，正方形ABCD的一邊AB是O的弦，試確定|OD|的最大值、最小值。解 以單位圓的圓心為原點(diǎn)，AB的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(cos,sin),B(cos,-sin)，由題設(shè)|AD|=|AB|=2sin，這里不妨設(shè)A在x軸上方，則(0,).由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)（否則將整個(gè)圖形關(guān)于y軸作對(duì)稱(chēng)即可），從而點(diǎn)D坐標(biāo)為(cos+2sin,sin)，所以|OD|=因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，|OD|max=+1；當(dāng)時(shí)，|OD|min=例11 當(dāng)m變化且m0時(shí)，求證：圓(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2的圓心在一條定直線上，并求這一系列圓的公切線的方程。證明 由消去m得a-2b+1=0.故這些圓的圓心在直線x-2y+1=0上。設(shè)公切線方程為y=kx+b，則由相切有2|m|=，對(duì)一切m0成立。即(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0對(duì)一切m0成立所以即當(dāng)k不存在時(shí)直線為x=1。所以公切線方程y=和x=1.三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1已知兩點(diǎn)A(-3,4)和B(3,2)，過(guò)點(diǎn)P(2,-1)的直線與線段AB有公共點(diǎn)，則該直線的傾斜角的取值范圍是_.2已知0,，則的取值范圍是_.3三條直線2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0圍成一個(gè)三角形，當(dāng)點(diǎn)P(x, y)在此三角形邊上或內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，2x+y的取值范圍是_.4若三條直線4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4能?chē)扇切?，則m的范圍是_.5若R。直線(2+)x-(1+)y-2(3+2)=0與點(diǎn)P(-2,2)的距離為d，比較大?。篸_.6一圓經(jīng)過(guò)A(4,2), B(-1,3)兩點(diǎn)，且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的 四個(gè)截距的和為14，則此圓的方程為_(kāi).7自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線l射到x軸上被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓C：x2+y2-4x-4y+7=0相切，則光線l所在的方程為_(kāi).8D2=4F且E0是圓x2+y2+Dx+Ey+F=0與x軸相切的_條件.9方程|x|-1=表示的曲線是_.10已知點(diǎn)M到點(diǎn)A（1，0），B（a,2）及到y(tǒng)軸的距離都相等，若這樣的點(diǎn)M恰好有一個(gè)，則a可能值的個(gè)數(shù)為_(kāi).11已知函數(shù)S=x+y，變量x, y滿足條件y2-2x0和2x+y2，試求S的最大值和最小值。12A，B是x軸正半軸上兩點(diǎn)，OA=a，OB=b(a<b)，M是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)。（1）求AMB的最大值；（2）當(dāng)AMB取最大值時(shí)，求OM長(zhǎng)；（3）當(dāng)AMB取最大值時(shí)，求過(guò)A，B，M三點(diǎn)的圓的半徑。四、高考水平訓(xùn)練題1已知ABC的頂點(diǎn)A(3,4)，重心G(1,1)，頂點(diǎn)B在第二象限，垂心在原點(diǎn)O，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi).2把直線繞點(diǎn)（-1，2）旋轉(zhuǎn)300得到的直線方程為_(kāi).3M是直線l:上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)M作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A，B，則在線段AB上滿足的點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi).4以相交兩圓C1：x2+y2+4x+y+1=0及C2：x2+y2+2x+2y+1=0的公共弦為直徑的圓的方程為_(kāi).5已知M=(x,y)|y=,a>0,N=(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a>0.MN，a的最大值與最小值的和是_.6圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0交于P，Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，OPOQ，則m=_.7已知對(duì)于圓x2+(y-1)2=1上任意一點(diǎn)P(x,y)，使x+y+m0恒成立，m范圍是_.8當(dāng)a為不等于1的任何實(shí)數(shù)時(shí)，圓x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0均與直線l相切，則直線l的方程為_(kāi).9在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c，若lgsinA,lgsinB, lgsinC成等差數(shù)列，那么直線xsin2A+ysinA=a與直線xsin2B+ysinC=c的位置關(guān)系是_.10設(shè)A=(x,y)|0x2,0y2,B=(x,y)|x10,y2,yx-4是坐標(biāo)平面xOy上的點(diǎn)集，C=所圍成圖形的面積是_.11求圓C1：x2+y2+2x+6y+9=0與圓C2：x2+y2-6x+2y+1=0的公切線方程。12設(shè)集合L=直線l與直線y=2x相交，且以交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為斜率。（1）點(diǎn)(-2,2)到L中的哪條直線的距離最??？（2）設(shè)aR+，點(diǎn)P(-2, a)到L中的直線的距離的最小值設(shè)為dmin，求dmin的表達(dá)式。13已知圓C：x2+y2-6x-8y=0和x軸交于原點(diǎn)O和定點(diǎn)A，點(diǎn)B是動(dòng)點(diǎn)，且OBA=900，OB交C于M，AB交C于N。求MN的中點(diǎn)P的軌跡。五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題1在直角坐標(biāo)系中縱橫坐標(biāo)都是有理數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為有理點(diǎn)。若a為無(wú)理數(shù)，過(guò)點(diǎn)(a,0)的所有直線中，每條直線上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn)的直線有_條。2等腰ABC的底邊BC在直線x+y=0上，頂點(diǎn)A(2,3)，如果它的一腰平行于直線x-4y+2=0，則另一腰AC所在的直線方程為_(kāi).3若方程2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0表示表示條互相垂直的直線，則m=_.4直線x+7y-5=0分圓x2+y2=1所成的兩部分弧長(zhǎng)之差的絕對(duì)值是_.5直線y=kx-1與曲線y=有交點(diǎn)，則k的取值范圍是_.6經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,5)且與直線x-2y=0, 2x+y=0都相切的圓方程為_(kāi).7在直角坐標(biāo)平面上，同時(shí)滿足條件：y3x, yx, x+y100的整點(diǎn)個(gè)數(shù)是_.8平面上的整點(diǎn)到直線的距離中的最小值是_.9y=lg(10-mx2)的定義域?yàn)镽，直線y=xsin(arctanm)+10的傾斜角為_(kāi).10已知f(x)=x2-6x+5，滿足的點(diǎn)(x,y)構(gòu)成圖形的面積為_(kāi).11已知在ABC邊上作勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)D，E，F(xiàn)，在t=0時(shí)分別從A，B，C出發(fā)，各以一定速度向B，C，A前進(jìn)，當(dāng)時(shí)刻t=1時(shí)，分別到達(dá)B，C，A。（1）證明：運(yùn)動(dòng)過(guò)程中DEF的重心不變；（2）當(dāng)DEF面積取得最小值時(shí)，其值是ABC面積的多少倍？12已知矩形ABCD，點(diǎn)C(4,4)，點(diǎn)A在圓O：x2+y2=9(x>0,y>0)上移動(dòng)，且AB，AD兩邊始終分別平行于x軸、y軸。求矩形ABCD面積的最小值，以及取得最小值時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)。13已知直線l: y=x+b和圓C：x2+y2+2y=0相交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)P在直線l上，且滿足|PA|PB|=2,當(dāng)b變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程。六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1設(shè)點(diǎn)P(x,y)為曲線|5x+y|+|5x-y|=20上任意一點(diǎn)，求x2-xy+y2的最大值、最小值。2給定矩形（長(zhǎng)為b，寬為a），矩形（長(zhǎng)為c、寬為d），其中a<d<c<b，求證：矩形能夠放入矩形的充要條件是：(ac-bd)2+(ad-bc)2(a2-b2)2.3在直角坐標(biāo)平面內(nèi)給定凸五邊形ABCDE，它的頂點(diǎn)都是整點(diǎn)，求證：見(jiàn)圖10-8，A1，B1，C1，D1，E1構(gòu)成的凸五邊形內(nèi)部或邊界上至少有一個(gè)整點(diǎn)。4在坐標(biāo)平面上，縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為整點(diǎn)，試證：存在一個(gè)同心圓的集合，使得：（1）每個(gè)整點(diǎn)都在此集合的某一圓周上；（2）此集合的每個(gè)圓周上，有且只有一個(gè)整點(diǎn)。5在坐標(biāo)平面上，是否存在一個(gè)含有無(wú)窮多條直線l1,l2,，ln，的直線族，它滿足條件：（1）點(diǎn)（1,1）ln,n=1,2,3,；（2）kn+1an-bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分別是ln在x軸和y軸上的截距，n=1,2,3,；（3）knkn+10, n=1,2,3,.并證明你的結(jié)論。6在坐標(biāo)平面內(nèi)，一圓交x軸正半徑于R，S，過(guò)原點(diǎn)的直線l1,l2都與此圓相交，l1交圓于A，B，l2交圓于D，C，直線AC，BD分別交x軸正半軸于P，Q，求證：2010-2011年高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本知識(shí)點(diǎn)整理歸納之十八第十八章 組合一、方法與例題1抽屜原理。例1 設(shè)整數(shù)n4,a1,a2,an是區(qū)間(0,2n)內(nèi)n個(gè)不同的整數(shù)，證明：存在集合a1,a2,an的一個(gè)子集，它的所有元素之和能被2n整除。證明 （1）若na1,a2,an,則n個(gè)不同的數(shù)屬于n-1個(gè)集合1,2n-1，2,2n-2,n-1,n+1。由抽屜原理知其中必存在兩個(gè)數(shù)ai,aj(ij)屬于同一集合，從而ai+aj=2n被2n整除；（2）若na1,a2,an，不妨設(shè)an=n，從a1,a2,an-1(n-13)中任意取3個(gè)數(shù)ai, aj, ak(ai,<aj< ak)，則aj-ai與ak-ai中至少有一個(gè)不被n整除，否則ak-ai=(ak-aj)+(aj-ai)2n，這與ak(0,2n)矛盾，故a1,a2,an-1中必有兩個(gè)數(shù)之差不被n整除；不妨設(shè)a1與a2之差(a2-a1>0)不被n整除，考慮n個(gè)數(shù)a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,a1+a2+an-1。）若這n個(gè)數(shù)中有一個(gè)被n整除，設(shè)此數(shù)等于kn，若k為偶數(shù)，則結(jié)論成立；若k為奇數(shù)，則加上an=n知結(jié)論成立。）若這n個(gè)數(shù)中沒(méi)有一個(gè)被n整除，則它們除以n的余數(shù)只能取1,2,n-1這n-1個(gè)值，由抽屜原理知其中必有兩個(gè)數(shù)除以n的余數(shù)相同，它們之差被n整除，而a2-a1不被n整除，故這個(gè)差必為ai, aj, ak-1中若干個(gè)數(shù)之和，同）可知結(jié)論成立。2極端原理。例2 在nn的方格表的每個(gè)小方格內(nèi)寫(xiě)有一個(gè)非負(fù)整數(shù)，并且在某一行和某一列的交叉點(diǎn)處如果寫(xiě)有0，那么該行與該列所填的所有數(shù)之和不小于n。證明：表中所有數(shù)之和不小于。證明 計(jì)算各行的和、各列的和，這2n個(gè)和中必有最小的，不妨設(shè)第m行的和最小，記和為k，則該行中至少有n-k個(gè)0，這n-k個(gè)0所在的各列的和都不小于n-k，從而這n-k列的數(shù)的總和不小于(n-k)2，其余各列的數(shù)的總和不小于k2，從而表中所有數(shù)的總和不小于(n-k)2+k23.不變量原理。俗話說(shuō)，變化的是現(xiàn)象，不變的是本質(zhì)，某一事情反復(fù)地進(jìn)行，尋找不變量是一種策略。例3 設(shè)正整數(shù)n是奇數(shù)，在黑板上寫(xiě)下數(shù)1，2，2n，然后取其中任意兩個(gè)數(shù)a,b,擦去這兩個(gè)數(shù)，并寫(xiě)上|a-b|。證明：最后留下的是一個(gè)奇數(shù)。證明 設(shè)S是黑板上所有數(shù)的和，開(kāi)始時(shí)和數(shù)是S=1+2+2n=n(2n+1)，這是一個(gè)奇數(shù)，因?yàn)閨a-b|與a+b有相同的奇偶性，故整個(gè)變化過(guò)程中S的奇偶性不變，故最后結(jié)果為奇數(shù)。例4 數(shù)a1, a2,an中每一個(gè)是1或-1，并且有S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+ana1a2a3=0. 證明：4|n.證明 如果把a(bǔ)1, a2,an中任意一個(gè)ai換成-ai，因?yàn)橛?個(gè)循環(huán)相鄰的項(xiàng)都改變符號(hào)，S模4并不改變，開(kāi)始時(shí)S=0，即S0，即S0(mod4)。經(jīng)有限次變號(hào)可將每個(gè)ai都變成1，而始終有S0(mod4)，從而有n0(mod4)，所以4|n。4構(gòu)造法。例5 是否存在一個(gè)無(wú)窮正整數(shù)數(shù)列a1,<a2<a3<，使得對(duì)任意整數(shù)A，數(shù)列中僅有有限個(gè)素?cái)?shù)。證明 存在。取an=(n!)3即可。當(dāng)A=0時(shí)，an中沒(méi)有素?cái)?shù)；當(dāng)|A|2時(shí)，若n|A|，則an+A均為|A|的倍數(shù)且大于|A|，不可能為素?cái)?shù)；當(dāng)A=1時(shí)，an1=(n!1)(n!)2n!+1，當(dāng)3時(shí)均為合數(shù)。從而當(dāng)A為整數(shù)時(shí)，(n!)3+A中只有有限個(gè)素?cái)?shù)。例6 一個(gè)多面體共有偶數(shù)條棱，試證：可以在它的每條棱上標(biāo)上一個(gè)箭頭，使得對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)目是偶數(shù)。證明 首先任意給每條棱一個(gè)箭頭，如果此時(shí)對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)均為偶數(shù)，則命題成立。若有某個(gè)頂點(diǎn)A，指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù)，則必存在另一個(gè)頂點(diǎn)B，指向它的箭頭數(shù)也為奇數(shù)（因?yàn)槔饪倲?shù)為偶數(shù)），對(duì)于頂點(diǎn)A與B，總有一條由棱組成的“路徑”連結(jié)它們，對(duì)該路徑上的每條棱，改變它們箭頭的方向，于是對(duì)于該路徑上除A，B外的每個(gè)頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)的奇偶性不變，而對(duì)頂點(diǎn)A，B，指向它的箭頭數(shù)變成了偶數(shù)。如果這時(shí)仍有頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù)，那么重復(fù)上述做法，又可以減少兩個(gè)這樣的頂點(diǎn)，由于多面體頂點(diǎn)數(shù)有限，經(jīng)過(guò)有限次調(diào)整，總能使和是對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)，指向它的箭頭數(shù)為偶數(shù)。命題成立。5染色法。例7 能否在55方格表內(nèi)找到一條線路，它由某格中心出發(fā)，經(jīng)過(guò)每個(gè)方格恰好一次，再回到出發(fā)點(diǎn)，并且途中不經(jīng)過(guò)任何方格的頂點(diǎn)？解 不可能。將方格表黑白相間染色，不妨設(shè)黑格為13個(gè)，白格為12個(gè)，如果能實(shí)現(xiàn)，因黑白格交替出現(xiàn)，黑白格數(shù)目應(yīng)相等，得出矛盾，故不可能。6凸包的使用。給定平面點(diǎn)集A，能蓋住A的最小的凸圖形，稱(chēng)為A的凸包。例8 試證：任何不自交的五邊形都位于它的某條邊的同一側(cè)。證明 五邊形的凸五包是凸五邊形、凸四邊形或者是三角形，凸包的頂點(diǎn)中至少有3點(diǎn)是原五邊形的頂點(diǎn)。五邊形共有5個(gè)頂點(diǎn)，故3個(gè)頂點(diǎn)中必有兩點(diǎn)是相鄰頂點(diǎn)。連結(jié)這兩點(diǎn)的邊即為所求。7賦值方法。例9 由22的方格紙去掉一個(gè)方格余下的圖形稱(chēng)為拐形，用這種拐形去覆蓋57的方格板，每個(gè)拐形恰覆蓋3個(gè)方格，可以重疊但不能超出方格板的邊界，問(wèn)：能否使方格板上每個(gè)方格被覆蓋的層數(shù)都相同？說(shuō)明理由。解 將57方格板的每一個(gè)小方格內(nèi)填寫(xiě)數(shù)-2和1。如圖18-1所示，每個(gè)拐形覆蓋的三個(gè)數(shù)之和為非負(fù)。因而無(wú)論用多少個(gè)拐形覆蓋多少次，蓋住的所有數(shù)字之和都是非負(fù)的。另一方面，方格板上數(shù)字的總和為12(-2)+231=-1，當(dāng)被覆蓋K層時(shí)，蓋住的數(shù)字之和等于-K，這表明不存在滿足題中要求的覆蓋。-21-21-21-21111111-21-21-21-21111111-21-21-21-28圖論方法。例10 生產(chǎn)由六種顏色的紗線織成的雙色布，在所生產(chǎn)的雙色布中，每種顏色的紗線至少與其他三種顏色的紗線搭配過(guò)。證明：可以挑出三種不同的雙色布，它們包含所有的顏色。證明 用點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，A6表示六種顏色，若兩種顏色的線搭配過(guò)，則在相應(yīng)的兩點(diǎn)之間連一條邊。由已知，每個(gè)頂點(diǎn)至少連出三條邊。命題等價(jià)于由這些邊和點(diǎn)構(gòu)成的圖中有三條邊兩兩不相鄰（即無(wú)公共頂點(diǎn)）。因?yàn)槊總€(gè)頂點(diǎn)的次數(shù)3，所以可以找到兩條邊不相鄰，設(shè)為A1A2，A3A4。（1）若A5與A6連有一條邊，則A1A2，A3A4，A5A6對(duì)應(yīng)的三種雙色布滿足要求。（2）若A5與A6之間沒(méi)有邊相連，不妨設(shè)A5和A1相連，A2與A3相連，若A4和A6相連，則A1A2，A3A4，A5A6對(duì)應(yīng)的雙色布滿足要求；若A4與A6不相連，則A6與A1相連，A2與A3相連，A1A5，A2A6，A3A4對(duì)應(yīng)的雙色布滿足要求。綜上，命題得證。二、習(xí)題精選1藥房里有若干種藥，其中一部分藥是烈性的。藥劑師用這些藥配成68副藥方，每副藥方中恰有5種藥，其中至少有一種是烈性的，并且使得任選3種藥恰有一副藥方包含它們。試問(wèn)：全部藥方中是否一定有一副藥方至少含有4種烈性藥？（證明或否定）221個(gè)女孩和21個(gè)男孩參加一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，（1）每一個(gè)參賽者最多解出6道題；（2）對(duì)每一個(gè)女孩和每一個(gè)男孩至少有一道題被這一對(duì)孩子都解出。求證：有一道題至少有3個(gè)女孩和至少有3個(gè)男孩都解出。3求證：存在無(wú)窮多個(gè)正整數(shù)n，使得可將3n個(gè)數(shù)1, 2, 3n排成數(shù)表a1, a2anb1, b2bnc1, c2cn滿足：（1）a1+b1+c1= a2+b2+c2= an+bn+cn=，且為6的倍數(shù)。（2）a1+a2+an= b1+b2+bn= c1+c2+cn=，且為6的倍數(shù)。4給定正整數(shù)n，已知克數(shù)都是正整數(shù)的k塊砝碼和一臺(tái)天平可以稱(chēng)出質(zhì)量為1，2，n克的所有物品，求k的最小值f(n)。5空間中有1989個(gè)點(diǎn)，其中任何3點(diǎn)都不共線，把它們分成點(diǎn)數(shù)各不相同的30組，在任何3個(gè)不同的組中各取一點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形。試問(wèn)：為使這種三角形的總數(shù)最大，各組的點(diǎn)數(shù)應(yīng)分別為多少？6在平面給定點(diǎn)A0和n個(gè)向量a1，a2，an，且使a1+a2+an =0。這組向量的每一個(gè)排列都定義一個(gè)點(diǎn)集：A1，A2，An=A0，使得求證：存在一個(gè)排列，使由它定義的所有點(diǎn)A1，A2，An-1都在以A0為角頂?shù)哪硞€(gè)600角的內(nèi)部和邊上。7設(shè)m, n, kN，有4個(gè)酒杯，容量分別為m,n,k和m+n+k升，允許進(jìn)行如下操作：將一個(gè)杯中的酒倒入另一杯中或者將另一杯倒?jié)M為止。開(kāi)始時(shí)，大杯中裝滿酒而另3個(gè)杯子卻空著，問(wèn)：為使對(duì)任何SN，S<m+n+k，都可經(jīng)過(guò)若干次操作，使得某個(gè)杯子中恰有S升酒的關(guān)于m,n,k的充分必要條件是什么？8設(shè)有30個(gè)人坐在一張圓桌的周?chē)渲械拿總€(gè)人都或者是白癡，或者是聰明人。對(duì)在座的每個(gè)人都提問(wèn)：“你右邊的鄰座是聰明人還是白癡？”聰明人總是給出正確的答案，而白癡既可能回答正確，也可能回答不正確。已知白癡的個(gè)數(shù)不超過(guò)F，求總可以指出一位聰明人的最大的F。9某班共有30名學(xué)生，每名學(xué)生在班內(nèi)都有同樣多的朋友，期末時(shí)任何兩人的成績(jī)都可分出優(yōu)劣，沒(méi)有相同的。問(wèn)：比自己的多半朋友的成績(jī)都要好的學(xué)生最多能有多少人？- 12 -