第八章 二元一次方程組全章教材分析 一、教材內(nèi)容 本章主要內(nèi)容包括：二元一次方程組及相關(guān)概念，消元思想和代入法、加減法解二元一次方程組，三元一次方程組解法舉例，二元一次方程組的應(yīng)用。 教材首先從一個籃球聯(lián)賽中的問題入手，歸納出二元一次方程組及解的概念，并估算簡單的二元一次方程（組）的解。接著，以消元思想為基礎(chǔ)，依次討論了解二元一次方程組的常用方法代入法和消元法。然后，選擇了三個具有一定綜合性的問題：“牛飼料問題”“種植計劃問題”“成本與產(chǎn)出問題”，將貫穿全章的實際問題提高到一個新的高度。最后，通過舉例介紹了三元一次方程組的解法，使消元的思想得到了充分的體現(xiàn)。 二、教學(xué)目標（一）知識與技能目標 1、了解二元一次方程組及相關(guān)概念，能設(shè)兩個未知數(shù)，并列方程組表示實際問題中的兩種相關(guān)的等量關(guān)系；2、掌握二元一次方程組的代入法和消元法，能根據(jù)二元一次方程組的具體形式選擇適當?shù)慕夥ǎ?、了解三元一次方程組的解法；4、學(xué)會運用二（三）元一次方程組解決實際問題，進一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。1 / 31（二）過程與方法目標1、以含有多個未知數(shù)的實際問題為背景，經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)糸，設(shè)未知數(shù)，列方程，解方程和檢驗結(jié)果”，體會方程組是刻畫現(xiàn)實世界中含有多個未知數(shù)的問題的數(shù)學(xué)模型。2、在把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為x=a,y=b的形式的過程中，體會“消元”的思想。 （三）情感、態(tài)度與價值觀 通過探究實際問題，進一步認識利用二元一次方程組解決問題的基本過程，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，提高分析問題、解決問題的能力。 三、重點、難點 重點：二元一次方程組及相關(guān)概念，消元思想和代入法、加減法解二元一次方程組，利用二元一次方程組解決實際問題；難點：以方程組為工具分析問題、解決含有多個未知數(shù)的問題。四、課時劃分建議本章共12課時：二元一次方程（組）1課時 ，消元思想3課時，應(yīng)用方程組解決實際問題2課時，三元一次方程組2課時，復(fù)習(xí)1課時，單元檢測2課時，講評1課時。第一課時 二元一次方程（組）教學(xué)內(nèi)容：人教版七年級下冊第八章二元一次方程組的第一節(jié)。教學(xué)目標：1、 理解二元一次方程（組）及二元一次方程（組）的解的概念；2、能判斷一個方程組是否是二元一次方程組3、學(xué)會求出某二元一次方程的幾個解和檢驗?zāi)硨?shù)值是否為二元一次方程（組）的解；4、 學(xué)會把二元一次方程中的一個未知數(shù)用另一個未知數(shù)的一次式來表示。教學(xué)重點、難點：重點：二元一次方程（組）的意義及二元一次方程（組）的解的概念難點：1、二元一次方程組節(jié)含義2、把一個二元一次方程變形成用關(guān)于一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式，其實質(zhì)是解一個含有字母系數(shù)的方程。教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新知籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得一分，某隊想在全部22場比賽中得到40分，這個對勝負場數(shù)分別是多少？法一：可列一元一次方程來解（詳細過程略）法二：可否設(shè)勝負場數(shù)分別為x場、y場，那么x、y應(yīng)同時滿足以下兩個方程x+y=22 2x+y=40二、探索新知1）二元一次方程的意義這兩個方程是我們學(xué)過的一元一次方程嗎？由一名學(xué)生來闡述什么叫做一元一次方程，它的特征有哪些？含有一個未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)為一次的整式方程叫一元一次方程，它的特征有三個：含有一個未知數(shù)；未知數(shù)的次數(shù)是一次；方程兩邊都是整式。與一元一次方程的特征作比較，上述兩個方程具有怎樣的特征呢？含有兩個未知數(shù)；未知項的次數(shù)是一次；方程兩邊都是整式。得出概念：含有兩個未知數(shù),并且未知項的次數(shù)都是一次的整式方程叫做二元一次方程（關(guān)鍵詞兩個未知數(shù)，未知項的次數(shù)，一次，整式方程）練習(xí)：請你判斷下列式子是否為二元一次方程？(1) x-2y=8;(2) x2+y=0;(3) x=2/y+1;(4) a+1/2b；(5) xy+y=2;(6)x/3 +2y=0.2）二元一次方程的解以x+y=22為例探索滿足此方程的未知數(shù)值有無數(shù)對，從而得出二元一次方程的解的概念：使二元一次方程兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值叫做二元一次方程的一個解同時強調(diào)二元一次方程解的書寫格式 , 一般地一個二元一次方程有無數(shù)解（同時探索求解方法：用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一未知數(shù)）此二元一次方程的正整數(shù)解有，。共21個。3）二元一次方程組上在一起成為述問題中，x、y必須同時滿足兩個方程x+y=22 和 2x+y=40，把這兩個方程合寫含有兩個未知數(shù)且未知項的次數(shù)均為一兩個整式方程合在一起，就組成二元一次方程組。比如 ，等都是二元一次方程組，但， 等不是二元一次方程組（你們知道為什么嗎？）4）二元一次方程組的解上述問題通過解一元一次方程可知x=18 22-x=4，即既滿足方程x+y=22又滿足方程2x+y=40，所以我們就說是方程組的解。使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解例題 判斷下列各組未知數(shù)的知是不是二元一次方程組的解（1）(,)（2）,)(3)(,)一般地，一個二元一次方程組只有一個解。三、嘗試反饋，鞏固知識1）寫出二元一次方程5xy=2的五個解2）已知二元一次方程3x-y=10，用x代數(shù)式表示y=；當x=6時，y =。 用含y的代數(shù)式表示x=；當y=2時，x=3）3x+y=10自然數(shù)解有4）,中為方程組的解的是5）書上94頁練習(xí)題6）書上95頁習(xí)題8.1第1題四、課堂小結(jié)，思想升華我們今天學(xué)習(xí)了二元一次方程，二元一次方程組的概念，二元一次方程的解，二元一次方程組的解的定義和判斷方法，學(xué)習(xí)了二元一次方程特殊解的求法，學(xué)會了怎樣用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一未知數(shù)的方法。但是，我們也遇到了一個困惑，那就是二元一次方程組的解我們是用嘗試法來判斷的，是否有更簡潔的方法來求它的解呢？這就是后幾節(jié)課我們要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。五、作業(yè)；必做95頁2、3、4 選作5第二課時 二元一次方程組的解法代入消元法教學(xué)內(nèi)容人教版七年級下第八章二元一次方程組第二節(jié)教學(xué)目標1、 會用代入法解二元一次方程組2、 初步體會解二元一次方程組的基本思想消元3、 通過研究解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生合作交流意識與探索精神 教學(xué)重點、難點重點：用代入法解二元一次方程組難點：探索如何用代入法將二元轉(zhuǎn)化為一元的消元過程 教學(xué)過程一、 提出問題，探究方法問題：籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得一分，某隊想在全部22場比賽中得到40分，這個隊勝負場數(shù)分別是多少？法一：可列一元一次方程來解 法二：可列二元一次方程組來解解:設(shè)這個隊勝了x場， 解：設(shè)這個隊勝場數(shù)分別為x場，則負了（22-x）場，由題意的得 負了y場，由題意得2x+（22-x）=40（以下略） 這里所用的是是將未知數(shù)的個數(shù)有多化少，逐一解決的想法消元思想。具體是由x+y=22得y=22-x,再把y=22-x代人2x+y=40得2x+（22-x）=40，這樣就消掉了一個未知數(shù)y，把原來的二元一次方程組就化為了我們熟悉的一元一次方程，這就是代入消元法，簡稱代入法關(guān)鍵：用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一未知數(shù)練習(xí)：用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一未知數(shù)（1）5x-3y=x+2y (2)2(3y-3)=6x+4 (3)（4）二、代入法解二元一次方程組的一般步驟解：由（1）得y=22-x (3) 。選擇變形把（3）代入（2）得2x+(22-x)=40 。代入消元解得x=18 。解一元方程把x=18代入（3）得y=4 。返代求值 。規(guī)范寫解師生一起歸納代入消元法的一般步驟并強調(diào)注意事項：選擇一個系數(shù)較為簡單的方程變形，將變形后的式子代入另一個方程得一個一元一次方程，解這個一元一次方程（不需詳細步驟），將一元一次方程的解代入（3）求出另一未知數(shù)的值（代入（1）（2）也可，但代入（3）往往要簡便些），然后規(guī)范寫解。三、 嘗試練習(xí)1、 用代入法解方程組（1）（2）（3）（4）（5）（教師可示范三題，學(xué)生練習(xí)兩題，然后師生共評）2、例2（書上97頁例2）3、學(xué)生嘗試練習(xí)書上99頁3、4題四、歸納小結(jié)本節(jié)內(nèi)容、方法、注意事項五、作業(yè) 必做103頁習(xí)題8.2第2題、4題 選做6、7題第三課時 二元一次方程組的解法加減消元法教學(xué)內(nèi)容人教版七年級下第八章二元一次方程組第二節(jié)教學(xué)目標1、會用加減法解二元一次方程組2、進一步體會解二元一次方程組的基本思想消元3、通過研究解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生合作交流意識與探索精神 教學(xué)重點、難點重點：用加減法解二元一次方程組難點：探索如何用加減法將二元轉(zhuǎn)化為一元的消元過程 教學(xué)過程一、 提出問題，探究方法觀察下列方程組中同一未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系并思考新的消元方法（1） 因為兩個方程中y的系數(shù)相同，故由（1）-（2）可消y（也可由（2）-（1）消y）（2） 因為兩個方程中y的系數(shù)互為相反數(shù)，故由（1）+（2）可消y歸納：兩個二元一次方程中同一未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)或相同，把這兩個方程兩邊分別相加或相減，就可消去這個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫加減消元法，簡稱加減法（3）因為方程組中y的系數(shù)成整數(shù)倍關(guān)系，故可由（1）+（2）2消y（4）首先要將方程組中的同一未知數(shù)系數(shù)化成相同或互為相反數(shù)，故可由（1）3+（2）2消y，也可可由（1）5-（2）3消x.二、加減法的一般步驟詳細板書解上述5個方程組的過程，然后師生一起歸納加減法的一般步驟：觀察方程組中同一未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，若有同一未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)可直接把這兩個方程兩邊分別相加或相減，就可消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，若沒有同一未知數(shù)相同或互為相反數(shù)，可把方程組先變形化成有同一未知數(shù)（一般選擇系數(shù)較為簡單的那個未知數(shù)）相同或互為相反數(shù)的情形，再用加減法消去一個未知數(shù)化成一元一次方程，然后解一元一次方程，再返代求另一未知數(shù)的值，最后規(guī)范寫解。即變形加減消元解一元方程返代求值規(guī)范寫解三、嘗試練習(xí)1、用加減法解下列方程組（1）（2）（3）（4）思考：如何解下列方程組（5） （6） 2、 書上101頁例4講評3、 練習(xí)102頁練習(xí)題2、3四、 歸納小結(jié)本節(jié)內(nèi)容、方法、注意事項五、 作業(yè) 必做103也習(xí)題8.2第3題、8題 選做9題第四課時二元一次方程組的解法道南中學(xué)毛治平（中學(xué)數(shù)學(xué)高級）教學(xué)內(nèi)容人教版七年級下第八章二元一次方程組第二節(jié)教學(xué)目標1、會合理選擇方法解二元一次方程組2、進一步體會解二元一次方程組的基本思想消元3、通過研究解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析能力、逆向思維能力和探索精神 教學(xué)重點、難點重點：選擇恰當方法解二元一次方程組難點：方程組特點的觀察，解法的選擇 教學(xué)過程一、 復(fù)習(xí)引入1、 解二元一次方程組有哪幾種方法?2、觀察下列方程組特點，選擇合理方法解下列方程組（1）(代入法)（2）（加減法）（3）（加減法）（4）（整體代入法、加減法均可）（5）（加減法）二、新課1、師生一道探討上述方程組的解法，然后歸納得出：當方程組中某一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值是1或一個方程的常數(shù)項為零時，用代入法較方便；當兩個方程中，同一個未知數(shù)的系數(shù)絕對值相等或成整倍數(shù)時，用加減法較方便。2、用適當方法解下列各方程組：（1）（加減法、代入法均可）（2）（先整理，再選擇方法）（3）（先整理，再選擇）（4）（整體考慮）比較復(fù)雜的方程組，可先整理，再選擇恰當解法。對于特殊的方程組，可采取特殊的一些解法：整體代入、整體考慮等4、已知x+y+(x-y+3)20，則x、y的值分別是5、若方程組的解是方程2x2+2mxy+y216的一個解，則m的值是6、思考題：若方程組無解，則a，c的取值情況是，若有無數(shù)個解，則a，c的取值情況是。（此題要講清理由并由此得出一般性的結(jié)論）三、歸納小結(jié)除題目明確要求解法外，我們要能做到熟練而靈活地解方程組，就必須要仔細觀察方程組特點，選擇恰當?shù)奶幚矸绞胶徒夥ǎ@樣做不但較為簡便，快捷，還能減少運算量，確保準確性，這還需要同學(xué)們在平時的學(xué)習(xí)中精心思考、不斷總結(jié)、用心領(lǐng)悟！四、作業(yè)必做題1、 解下列方程組（1）（2）（3）（4）（5）2、對于代數(shù)式ax+by-2，當x=2,y=3時值為8，當x=-2,y=3時值為0，求x=4,y=5時代數(shù)式的值選做題1、 解下列方程組（1）（2）（a為常數(shù)）2、當x=2和x=3時二次三項式的值均為0，求p、q的值第五、六課時 實際問題與二元一次方程組教學(xué)內(nèi)容人教版七年級下第八章二元一次方程組第三節(jié)教學(xué)目標1、使學(xué)生能利用列二元一次方程組解決有關(guān)實際問題2、使學(xué)生通過問題解決掌握列方程組解應(yīng)用題的一般步驟。3、培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力與合作意識、探索精神利用列二元一次方程組解決有關(guān)實際問題利用列二元一次方程組解決有關(guān)實際問題教學(xué)重點、難點重點：利用列二元一次方程組解決有關(guān)實際問題難點：方程思想與分析、解決問題能力的培養(yǎng) 教學(xué)過程一、 引入1、 在上學(xué)期我們經(jīng)歷了列一元一次方程解決有關(guān)實際問題，一般步驟有哪些？需注意哪些問題？2、（書上105頁探索1）養(yǎng)牛場原有大牛30只，小牛15只，每天約用飼料675，后來又購進大牛12只，小牛5只，這時每天約用飼料940.飼養(yǎng)員李大叔估計每只大牛1天約需飼料1820，每只小牛1天約需飼料78。你能通過計算檢驗他的估計嗎？方法一：列一元一次方程來解方法二：列二元一次方程組來解（通過板書對比兩種解決辦法的簡便程度）二、 新課1、由上得出：一般說來，列方程組比列一次方程解應(yīng)用題要簡便一些。2、（書上106頁探索2）甲乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量比為1：1.5，現(xiàn)有一長方形地長200米，寬100米，怎樣劃分為兩塊小長方形地，分種甲乙作物，使它們的總產(chǎn)量之比為3：4（結(jié)果取整數(shù)）？（有兩種方法）3、（書上106頁探索3）4、歸納列列二元一次方程組的一般步驟及注意事項：仔細審題后設(shè)恰當?shù)奈粗獢?shù)（有時需設(shè)間接未知數(shù)），找出題中涉及全局兩個相等關(guān)系列兩個二元一次方程組成方程組，解出這個方程組，再檢驗解的合理性，最后作答。簡而言之就是審找、列解驗答三、嘗試練習(xí)書上108頁習(xí)題8.3第1、2、3題四、 歸納小結(jié)列二元一次方程組的一般步驟及注意事項五、 作業(yè)必做書上108頁習(xí)題8.3第4、5、6、7選作書上108頁習(xí)題8.3第8、9第七、八課時 三元一次方程組及解法舉例教學(xué)內(nèi)容人教版七年級下第八章二元一次方程組第四節(jié)教學(xué)目標1、使學(xué)生了解三元一次方程、三元一次方程組的概念2、使學(xué)生通過問題解決，掌握三元一次方程組的解法，進一步體會消元思想3、培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力與合作意識、探索精神教學(xué)重點、難點重點：三元一次方程組的解法難點：根據(jù)方程組特點消元方法、轉(zhuǎn)化思想的研究與運用 教學(xué)過程一、 引入1、 小明手里有12張面額分別為1元、2元、5元的紙幣，共計22元，其中，1元紙幣的張數(shù)是2元紙幣張數(shù)的4倍，求1元、2元、5元的紙幣各多少張？分析：設(shè)1元、2元、5元的紙幣張數(shù)分別為x、y、z，可得x+y+z=12,x+2y+5z=22，x=4y三個方程，合寫在一起從而得出三元一次方程和三元一次方程組的概念。只含三個未知數(shù)，并且未知項次數(shù)為均為1的整式方程叫三元一次方程。含三個相同未知數(shù)，且未知項次數(shù)為1的三個方程組成三元一次方程組。2、 回憶二元一次方程組的消元方法，轉(zhuǎn)化思想，從而引出三元一次方程組的解法研究。二、 三元一次方程組的解法研究探索1、法一：代入法 法二：加減法把（3）代入（1）得 由（1）5得5y+z=12(4) 5x+5y+5z=60(4)把（3）代入（2）得 由（4）-（2）得6y+5z=22(5) 4x+3y=38(5)解由（4）（5）組成的方程組 解由（3）（5）組成的方組得 得把y=2代入（3）得x=8 把x=8 y=2代入（1）得z=2 探索2、分析：可由方程（2）（3）消y得方程（4），然后解由（1）（4）組成的方程組得x、z的值，然后將x、z的值代入（2）或（3）都可以求y，最后得方程組的解。探索3、（書上113頁例2）分析：由題意得法一：可用代入法 法二：可用加減法（消a要簡便些）：兩兩結(jié)合，消同一未知數(shù)三、 練習(xí)1、解下列方程組1) 2)3) 4) 2、書上114頁練習(xí)題2四、歸納小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了三元一次方程和三元一次方程組的概念，利用轉(zhuǎn)化思想消元方法解三元一次方程組（充分分析方程組特點是前提，在此基礎(chǔ)上才能恰當靈活選擇消元方法），當然，有些問題我們也可以轉(zhuǎn)化為三元一次方程組來解決。三元一次方程組二元一次方程組一元一次方程五、作業(yè)必做題 書上114頁習(xí)題8.4第1、2題選做題書上114頁習(xí)題8.4第3、5題建議：在第八課時可抽點時間給學(xué)生簡單補充二元一次方程組的圖像解法第九、十課時 二元一次方程組復(fù)習(xí)課教學(xué)目標1、復(fù)習(xí)梳理知識脈絡(luò)，形成知識網(wǎng)絡(luò)2、通過問題解決，進一步體會數(shù)學(xué)思想方法及其運用3、培養(yǎng)學(xué)生運用所學(xué)知識、方法綜合分析問題、解決問題的能力教學(xué)重點、難點重點：知識網(wǎng)絡(luò)的形成，數(shù)學(xué)思想、方法的體會和運用難點：運用所學(xué)知識、方法綜合分析問題、解決問題能力培養(yǎng) 教學(xué)過程一、 知識梳理二、 主要題型、方法1、 判斷方程（組）是否是二元一次方程（組）2、會熟練將二元一次方程變形為用含一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一未知數(shù)。3、二元一次方程解的判斷、特殊解的求法4、二元一次方程組解的判斷，解二元一次方程組5、解三元一次方程組6、利用一次方程組解決有關(guān)問題（實際問題、求值等）三、 處理復(fù)習(xí)題8建議1、2、6、7、8、9、10、11大題作為課堂練習(xí)，時間允許教師可根據(jù)本班學(xué)生實際適當補充一些練習(xí)題。四、作業(yè)必做題3、4、5l 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！