行列式的計(jì)算方法 摘要：行列式是高等代數(shù)的一個(gè)基本概念。求解行列式是在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到的基本問題。本文主要介紹了求行列式值的常用方法和一些特殊的行列式求值方法。如化三角形法、降階法、升階法、歸納發(fā)、范德蒙行列式等十多種方法。并對相應(yīng)例題進(jìn)行了分析和歸納，總結(jié)與每種方法相適應(yīng)的行列式的特征。關(guān)鍵詞：行列式的定義 行列式的性質(zhì) 計(jì)算方法1 行列式的基本理論（1）行列式的定義行列式的定義:n階行列式用符號(hào)表示，它代表n！項(xiàng)的代數(shù)和，這些項(xiàng)是一切可能的取自于中不同行不同列的n個(gè)元素的乘積，項(xiàng)的符號(hào)為，即當(dāng)為偶（奇）排列時(shí)該項(xiàng)的符號(hào)為正（負(fù)），也就是說這里表示對所有n階排列求和。（2） 行列式的性質(zhì)首先我們應(yīng)該熟練掌握并會(huì)運(yùn)用行列式的以下性質(zhì):性質(zhì)1:行與列互換，行列式的值不變。性質(zhì)2：某行或列的公因子可以提到行列式的符號(hào)外。性質(zhì)3：如果某行(列)所有元素都可以寫成兩項(xiàng)的和，則該行列式可以寫成兩個(gè)行列式的和；這兩個(gè)行列式的這一行(列)的元素分別對應(yīng)的兩個(gè)加數(shù)之一，其余各行(列)的元素與原行列式相同。性質(zhì)4：兩行(列)對應(yīng)的元素相同，行列式的值為零。性質(zhì)5：兩行(列)對應(yīng)的元素成比例，行列式的值為零。性質(zhì)6：某行(列)的倍數(shù)加到另一行(列)，行列式的值不變。性質(zhì)7：交換兩行(列)的位置，行列式的值變號(hào)。2 行列式的計(jì)算方法2.1 直接展開法和拉普拉斯展開法直接展開法即運(yùn)用行列式的定義直接將行列式展開計(jì)算。例1：（1）證明. （2）證明。證：（1）設(shè)，其中。由定義得D = = = =。則。（2） 由行列式的定義可知。由于在中至少有一個(gè)大于等于3，因此始終有，故 我們引入以下定理，拉普拉斯定理：任意取定n階行列式D的某k行(列)()，由這k行(列)元素所組成的一切k階子式(共有個(gè))與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于行列式D。拉普拉斯定理的四種特殊形式：1） 2）3） 4）。例2：計(jì)算2n階行列式解：+(n+1) 于是可得=。2.2 利用行列式的基本性質(zhì)計(jì)算 有些行列式直接展開比較復(fù)雜，我們可以運(yùn)用行列式的基本性質(zhì)將行列式簡化然后再展開計(jì)算。例3：計(jì)算n階行列式=。解：將第一行的-1倍加到第2,3,.,n行，得當(dāng)n3時(shí)，由于上式右端的行列式中至少有兩行成比例，則=0。當(dāng)n=1時(shí)，=；當(dāng)n=2時(shí)，=()例4：計(jì)算2n階行列式。解：=。2.3 計(jì)算行或列相等的行列式對于一些行或列相等的行列式我們一般將其各行或列加到第一行或列然后再化簡計(jì)算。例5：計(jì)算下面行列式解：將其各列加到第1列，并提出公因子可得D=2.4 兩條線型行列式的計(jì)算計(jì)算兩條線型行列式要根據(jù)行列式的特點(diǎn)和性質(zhì)進(jìn)行化簡、計(jì)算。為了更好的研究兩條線型行列式的計(jì)算首先我們要討論一些特殊行列式的值。(1)上(下)三角行列式等于其主對角線上的元素的乘積，即（2） 次三角形行列式的值等于添加適當(dāng)正、負(fù)號(hào)的次對角線元素的乘積，即分塊三角形行列式可化為低級(jí)行列式的乘積，即 例6：計(jì)算階行列式。解：按第一列展開得 =2.5 箭形行列式的計(jì)算對于形如,的箭形(爪形)行列式，可以利用對角元素或次對角元素將一邊消為0然后直接利用行列式的性質(zhì)化為三角形或次三角形行列式來計(jì)算。例7：計(jì)算。解：=2.6 三對角行列式的計(jì)算形如的行列式我們稱之為三對角行列式，可以直接展開得到兩項(xiàng)地推關(guān)系然后用一下方法求解。方法1：若n較小，可以直接遞推計(jì)算。方法2：用第二數(shù)學(xué)歸納法證明：驗(yàn)證n=1時(shí)結(jié)論成立，假設(shè)n時(shí)結(jié)論成立，如果能證明n=k+1時(shí)結(jié)論成立則對任意自然數(shù)結(jié)論都成立。方法3：將變形為，其中有韋達(dá)定理可知p和q是一元二次方程的兩個(gè)根。令，則利用遞推求出，再由遞推求出。方法4：設(shè)。代入可得。稱為特征方程，求出其根，則。其中，可以通過令n=1和n=2來求得。例8：計(jì)算n階行列式。解：按第1列展開得=變形為由于，利用以上遞推公式可得故有例9：證明解：第二數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)n=1時(shí)，左邊=右邊；當(dāng)n=2時(shí)，左邊=右邊。假設(shè)對于任意階數(shù)小于n的行列式等號(hào)都成立，然后證明n階行列式成立。記左邊的n階行列式為，按最后一行展開，可得由歸納假設(shè)可得，有，所以=注：第二數(shù)學(xué)歸納法是先驗(yàn)證n=1時(shí)命題成立，假設(shè)命題對于的一切自然數(shù)成立，若推出n=k+1時(shí)命題也成立，則命題對于所有自然數(shù)n成立。2.7 Hessenberg型行列式的計(jì)算形如，的行列式稱為Hessenberg型行列式，對于這種行列式可以直接展開得到遞推公式，也可以利用行列式的性質(zhì)化簡計(jì)算例10：計(jì)算n階行列式。解：將第1,2,，n-1列加到第n列，可得=2.8 可采用升階法計(jì)算的行列式行列式的計(jì)算的一般方法是降階法，但對于某些特殊行列式，如除對角元（或次對角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有時(shí)加上一行一列變成n+1階的行列式，特別是第1列為并適當(dāng)選擇第1行的元素，就可以使化簡更加方便，且化簡后常變成箭形行列式，這一方法稱為升階法或加邊法。例11：設(shè)x是矩陣，y是矩陣，其中a是實(shí)數(shù)，證明：證明：設(shè)=，則=2.9 將行列式拆成兩個(gè)行列式的和計(jì)算行列式的拆分：=例12：計(jì)算n階行列式。解：將第n行寫成兩項(xiàng)的和再分成兩個(gè)行列式，然后把第2個(gè)行列式的第n列分別加到前面各列，可得= 同理，將第n行寫成另外兩項(xiàng)之和再分成兩個(gè)行列式，又可得= 聯(lián)立，解方程組，解得。2.10 相鄰行（列）元素差1的行列式的計(jì)算以數(shù)字1,2,3，n為（大部分）元素，且相鄰兩行（列）元素差1的n階行列式可以用以下方法計(jì)算：從第1行（列）開始，前行（列）減去后行（列）；或從第n行（列）減去前行（列），即可出現(xiàn)大量元素為1或-1的行列式，再進(jìn)一步化簡即得出現(xiàn)大量零元素。對于相鄰兩行（列）元素相差倍數(shù)k的行列式，采用前行（列）減去后行（列）的-k倍，或后行（列）減去前行（列）-k倍的方法，即可使行列式中出現(xiàn)大量的零元素例13：計(jì)算n階行列式解：從第n-1行開始，每行乘（-1）加到下一行直到第1行得 2.11 范德蒙型行列式的計(jì)算形如的行列式我們稱之為范德蒙型行列式，=即等于這n個(gè)數(shù)所有可能的差的乘積例14.：計(jì)算4階行列式。分析：可以看到D不是范德蒙型行列式，但它具有范德蒙型行列式的一些特點(diǎn)?？梢詷?gòu)造5階的范德蒙型行列式，再利用范德蒙型行列式的結(jié)果，間接地求出D的值。解：構(gòu)造5階范德蒙型行列式，其中的系數(shù)為，再利用范德蒙型行列式的結(jié)果得=其中的系數(shù)為故可得。 例15： 證明證：記左端行列式為，則把第一行拆成兩項(xiàng)之和，再利用范德蒙型行列式的結(jié)果，得 例16：計(jì)算行列式。解：根據(jù)倍角公式，有，代入行列式得2.12 利用行列式乘法公式計(jì)算行列式設(shè),則其行列式具有性質(zhì)。這一結(jié)果也給出了如何把兩個(gè)n階行列式相乘得到一個(gè)n階行列式的方法，即其中 這一公式也成為行列式乘法公式，靈活運(yùn)用該公式可以簡化行列式的計(jì)算例17：計(jì)算4階行列式。分析：所給的行列式利用行列式乘法公式求得，再確定出的符號(hào)即可求出。解：根據(jù)行列式乘法公式得=所以根據(jù)行列式定義可知的展開式中有一項(xiàng)為，故可得例18：計(jì)算4階行列式分析：直接展開計(jì)算量較大，注意到每一項(xiàng)都能展開成4項(xiàng)之和，即，可考慮用行列式乘法公式，將原行列式分解成兩個(gè)容易計(jì)算的行列式的乘積，然后化簡計(jì)算。解：將行列式中每一項(xiàng)展開，并利用行列式乘法公式和范德蒙型行列式的結(jié)果，得=2.13 按行列展開計(jì)算行列式我們先引進(jìn)代數(shù)余子式的概念。定義：在n階行列式中，把元素所在的第i行和第j列元素劃去后，所留下的n-1階行列式，稱為元素a的代數(shù)余子式，記為M，即a的代數(shù)余子式，而稱為的代數(shù)余子式，記為，即。引理：如果n階行列式中，第行元素除外均為零，則該行列式等于元素與其代數(shù)余子式的積，即定理：行列式等于它的任意一行或列個(gè)元素與其代數(shù)余子式乘積的和，即 （1）或 （2）（1） 式稱為行列式按第i行的展開式，（2）式稱為行列式按第j列的展開式，其中與均為n-1階行列式。用按行（列）展開法計(jì)算行列式時(shí)，反復(fù)使用此定理，把高階行列式降成低階行列式，直到求出結(jié)果。為了計(jì)算簡便，每次展開前應(yīng)首先利用行列式的性質(zhì)，使行列式某行或某列出現(xiàn)盡量多的零（最好出現(xiàn)n-1個(gè)零），這樣才能達(dá)到簡化計(jì)算的目的。例19：計(jì)算階行列式。解：此行列式中各行各列有n-2個(gè)零元素，現(xiàn)在直接按第一行展開：+=推論：行列式任意一行或列的元素與其他行或列對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和為零，即，2.14 歸納與遞推法在行列式的計(jì)算與證明中，歸納與遞推法也是一種行之有效的方法，舉例說明如下例20：計(jì)算2n階行列式。解：首先按第一行展開，得再將右邊兩個(gè)（2n-1）階行列式按最后一列展開，便得=按此規(guī)律遞推下去，共經(jīng)過次展開，終得。2.15 利用方陣特征值與行列式的關(guān)系例21：計(jì)算如下行列式的值解： 顯然的個(gè)特征值為。的個(gè)特征值為。故的特征值為 。由矩陣特征值與對行列式的關(guān)系知。例21中，主對角線上的元素為 ，我們使得主對角線上的元素為 ，可得下列一般的行列式 。分析：根據(jù)這題行列式的特點(diǎn)，每行都有相同的因子 ，所以本題適用加邊法。(本題有多種解法，據(jù)上分析，僅以加邊法推出。)解： 特別地，當(dāng)時(shí) 與例21的答案一致。 2.16 行列式計(jì)算的雜例例22：計(jì)算n階行列式。解：（1）當(dāng)b=c時(shí)，是行的和相等的行列式，從而=（2） 當(dāng)時(shí)，將的第n列元素寫成兩個(gè)數(shù)的和，所以可將拆成兩個(gè)行列式之和=對按上面方法推導(dǎo)可得。由于，則有聯(lián)立求解二元一次方程組得例23：求極限，其中存在2階導(dǎo)數(shù)。分析：把行列式展開再取極限比較復(fù)雜，觀察行列式中各項(xiàng)的特點(diǎn)，利用行列式的性質(zhì)做適當(dāng)變形，然后再運(yùn)用洛必達(dá)法則計(jì)算。解：由于存在2階導(dǎo)數(shù)，把所求極限進(jìn)行適當(dāng)變形，可得原式=。例24： 計(jì)算。解：（1）當(dāng)a=b時(shí)，用第一行的（-1）倍分別加到其他各行得按第一行展開可得。（2） 當(dāng)時(shí)，將第n列拆成兩項(xiàng)的和，則有= =由對稱性可得 聯(lián)立求解可得參考文獻(xiàn)1王萼芳等高等代數(shù)上海：高等教育出版社，2003.2許仲等.高等代數(shù)考研教案西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社，2009.3劉振宇.高等代數(shù)的思想與方法.青島：山東大學(xué)出版社，2009Calculation method of the determinant Abstract：The determinant is a basic concept of higher algebra. Solving the determinant is the basic problem often encountered in the study of higher algebra. This paper mainly introduces the common method of determinant value and some special determinant evaluation method. More than ten kinds of methods such as triangle method, method of reduction of order, ascending order, inductive, Vandermonde determinant. And the corresponding examples are analyzed and summarized, summarizes the characteristic determinant and adapt to each method. Key Words:The definition of determinant The properties of determinant Calculation method 27