《輔助函數在數學中的應用畢業(yè)論文1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《輔助函數在數學中的應用畢業(yè)論文1（17頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 09級畢業(yè)論文答辯稿 輔助函數在數學中的應用 學 號： 902091126 組 別： 內容提要 高等數學中運用輔助函數就像是在幾何中添加輔助線，在數學中的應用是非常重要的.當我們遇到特殊的題目時，用常規(guī)方法可能比較復雜.這時我們就需要構造輔助函數，就如同架起一座橋梁，不需要大量的算法就可以得到結果.因此，學習構造輔助函數對于我們證明、解題是非常有幫助的.本論文是從證明定理與解題兩方面分別來闡述輔助函數的作用，通過本文我們會更好的了解輔助函數在數學

2、中的應用. 關鍵詞：輔助函數 定理 證明 Abstract Summary：The auxiliary function is applied to higher mathematics as adding auxiliary line in geometry. It’s applications of mathematics is very important. Use the conventional method may be complicated when we encounter special problems. Then we can construct

3、the auxiliary function like a bridge do not need a lot of algorithm to get the result. Therefore, it is very helpful for us to study the structure of auxiliary function to prove and solve problem. This paper expounds the application of auxiliary function respectively from two aspects of theorem prov

4、ing and problem solving. Through this paper we will know better in mathematics. Keywords: auxiliary function theorem testify 目錄 一、 緒論 1 二、 輔助函數在定理證明中的應用 1 (一) 構造輔助證明牛頓-萊布尼茲公式 1 (二) 構造輔助函數證明泰勒公式 2 (三) 構造輔助函數證明拉格朗日中值定理 4 三、 輔助函數在解題中的應用 5 (一) 構

5、造輔助函數證明恒等式 5 (二) 構造輔助函數證明不等式 7 (三) 構造輔助函數討論方程的根 9 (四) 構造輔助函數證明中值問題 10 (五) 構造輔助函數求極限 11 四、 總結 12 參考文獻 13 后記 13 輔助函數在數學中的應用 一、 緒論 輔助函數是一種讓我們更好的，更簡單的學習數學知識的方法，.我在本文討論了一下輔助函數的應用，發(fā)現它在數學中的應用是非常廣泛的.我們學習數學不只是探索與發(fā)現，還有找到最簡單的方法解決問題，本文主要內容是關于一些定理的證明，如牛頓-萊布尼茲公式的證明

6、，泰勒公式的證明和拉格朗日中值定理的證明.這三個定理是我們在學習數學過程中經常用到的，掌握它們的證明非常關鍵.當然它們的證明有很多方法，這里我們只研究用構造輔助函數的方法來證明.另外還有關于解題時運用構造輔助函數的方法，有關于不等式的證明，恒等式的證明等.我們可以知道在解題方面，輔助函數也是比較適用的，本文就輔助函數的構造舉例來說明. 二、 輔助函數在定理證明中的應用 (一) 構造輔助證明牛頓-萊布尼茲公式 牛頓-萊布尼茲公式是微積分基本定理，他把定積分和不定積分兩者聯系起來，使得定積分的計算更加簡潔和完善，關于它的證明是我們必需要掌握的，學好牛頓-萊布尼茲公式也使我們能夠更好地了解微積

7、分.下面我們來看這個公式的證明. 定理1 若在上是連續(xù)的，且是在上的一個原函數，那么 分析 首先我們來構造輔助函數，現在，我們來研究這個函數的性質. 我們定義函數，那么連續(xù)，若連續(xù)，則有. 證明：讓函數獲得一個增加的量，則對應的函數增量 那么可以根據區(qū)間的可加性， 假設、分別是在上的最小值和最大值，我們可以根據積分第一中值定理，則存在實數，使得 當連續(xù)時，存在，使得 于是當趨近于0時，

8、趨近于0，即是連續(xù)的. 若連續(xù)，當，，，則 . 從而我們得出 現在，我們來證明牛頓-萊布尼茲公式. 證明 我們在上面已經證得，所以， . 顯然，（因為積分區(qū)間為，故面積為0），所以. 于是有 , 當時 . 此時，我們就得到了牛頓-萊布尼茲公式. 證畢. (二) 構造輔助函數證明泰勒公式 泰勒公式是一個用函數在已

9、知某一點的信息描述這一點附近所取值的公式，在函數某一點的各階導數值已知的情況下，泰勒公式可以將這些導數值的相應倍數作系數構建多項式來近似函數在這一點的值.這樣，有時不必計算大量的式子，用泰勒公式來直接近似函數值，會更簡單，更快捷的得出結果.我們接下來證明泰勒公式（拉格朗日余項型）. 定理2 若函數在開區(qū)間有直到階導數，則當函數在此區(qū)間內時，可以展開為一個關于的多項式和一個余項的和，即 分析 我們知道 ， 那么由拉格朗日中值定理導出的有限增量定理，得到 當，則時，

10、誤差.因此，在近似計算時時不夠精確，那么我們就需要構造一個足夠精確的能把誤差估計出來的多項式，這個多項式是 來近似表示函數，并且，還要寫出誤差的具體表達式.這時，我們開始證明. 證明 設函數滿足，，，… ，，依次求出 顯然， ，則； ,； ，，…， ,; 至此，這個多項式的各項系數都已經求出，得 接下來，我們需要求出誤差的具體表達式. 設，則 故得出 由柯西中值定理可以得到

11、 ，. 繼續(xù)使用柯西中值定理得 ， 這里在與之間；連續(xù)使用此后，得出 ， 但是，因為， 是一個常數，所以， 于是得 . 綜上所述，余項， 這樣，泰勒公式得證. (三) 構造輔助函數證明拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，也是柯西中值定理的特殊情況.它的應用非常廣泛，像洛必達法則，泰勒展開式都是它的應用.對于它的證明，我們知道有很多的方法來證明它，現在我們做輔助函數來證明. 定理3 設函數在上連續(xù)，在內可導，

12、則在至少存在一點，使得 分析 從結論中可以看出，若將換成變量，則可得到一階微分方程 其通解為 . 若將函數變?yōu)楹瘮?，那么得到一個輔助函數， . 現在我們來開始證明 證明 做輔助函數 ， 有 . 則滿足羅爾定理的三個條件，故在至少存在一點使 所以

13、 . 拉格朗日中值定理證畢. 三、 輔助函數在解題中的應用 (一) 構造輔助函數證明恒等式 恒等式是很常見的一種題型，對于這種題型的證明，找到簡單快速的證明方法可以節(jié)省很多時間.如對于下面的題，形式比較復雜，還存在一階導數，我們可以構造輔助函數，然后變幻形式，創(chuàng)建出中值定理的成立條件，利用中值定理來證明，就會很簡單了. 例1 設函數在上連續(xù)，在內可導，證明在內至少存在一點，使得 分析 令 ， 則

14、 為關于與的對稱式，故取 . 證明 令 則在上連續(xù)，在內可導，又因為 ， 所以在上滿足羅爾定理， 那么存在一個，使得. 即 ， 即 . 上題構造輔助函數后應用了羅爾定理，使得上式證明變得簡單明了.下面這個題屬于條件恒等式，我們要看好條件，可以適當的進行變形，做輔助函數. 例2 設在上連續(xù)，在內可導，且，則至少存在一點，使得

15、 分析 我們先把看成變量，由于結論可化為 即 顯然其通解為把常數變成一個關于的函數我們就得到一個輔助函數， 證明 做輔助函數 那么 又由于已知條件我們可以得到 并且 若時，則那么就有 若時，那么一定存在使得 又因為在上連續(xù)，由介值定理可知，一定存在兩點，

16、使得 對在上使用羅爾定理，那么至少存在一點 使得 即 上題是將一個客觀存在的數看成是變量，利用拉格良朗日常數變易法的思想將方程通解里的常數變成一個的函數我們就得到了證明這個命題的輔助函數，并且在證明這種恒等式的例子中，運用中值定理比較廣泛，而在中值定理中，羅爾定理是最常用的，如上題.這種方法能開拓我們的學習做題的思路. (二) 構造輔助函數證明不等式 用作差法證明不等式是最常用的一種方法，而輔助函數就是在作差之

17、后構造的式子，是非常簡潔方便的，并且構造出來的輔助函數也很明了.我們先來看一個簡單的例子. 例3當，證明 分析 構造輔助函數證明不等式用作差法是最常用的，主要就是將不等號右端的式子移到左邊，形成一個減法式，右邊為零，試證不等號左邊式子的單調性，就可以證明了； 證明 我們做輔助函數顯然，當時，有 因此，在時是增函數，而在處連續(xù)，并且 所以 這樣，原不等式證畢. 上個證明是比較簡單的，證明其單調性就能快速得出答案.而下面這個例子，我們需要研究一下它的左右兩邊的性質，這有利于我們思考如何構造輔助

18、函數. 例4 證明不等式. 分析 因為此式左邊相乘的項數多，直接移項作差證明會非常困難，而不等式左右兩邊的式子都是冪級數形式，并且右邊為，故我們可以先把兩邊取對數形式，化簡后作差，構造輔助函數更簡單一些. 證明 把不等式的兩邊取對數得 我們先來研究不等式的左邊 左邊 構造輔助函數 對求導得 從而得知，當時，為嚴格遞增. 而 故得出 則原不等式成立，證畢. 其實，在證明不等式的方法中，還有很多，如比較法，分析法，綜合法等，但是有時，這些方法比較麻煩，運算過程

19、多.這時，若是針對題目構造一個適當的輔助函數，把題轉化為對這個題的性質的研究，就像對定義域、值域、單調性、連續(xù)性、最值等的研究.這樣，運算就比較簡單了. (三) 構造輔助函數討論方程的根 關于方程的根的討論主要是根的存在性個個數問題，構造輔助函數來解這方面的一些題，如同證明不等式，構造輔助函數的方法類似，會比一般的方法更為簡單. 例5方程證明方程至少有一個正根且不超過. 分析 此題我們可以構造輔助函數在上連續(xù)，若能得出異號，則存在，使得那么就是方程的根且不超過，即運用介值定理. 證明 設在上連續(xù)，則顯然

20、 現在我們討論，若時，即 則方程有一個正根為 另一種情況，若即則符合介值定理條件，則存在一點，使得 那么就是方程的根， 綜上所述，方程至少有一個正根且不超過，證畢. 例6方程證明方程有且只有一個正根. 分析 我們可以構造輔助函數先證明此方程有根，然后再證有且只有一個正根. 證明 做輔助函數顯然在上連續(xù)， 由零點定理可知， 存在一點使得，則點為方程的根，接下來，我們用反證法證明有且只有一個根. 設存在一點且得，由于在上可導，對于任意有 那么根據微分中值定理可知，存在使得 但矛盾，故原方程有且只

21、有一個正根，證畢. 在上題可知，在解這類關于方程的根的問題，我們需要結合在閉區(qū)間上連續(xù)函數的零點定理來思考. (四) 構造輔助函數證明中值問題 討論這樣的問題，是我們經常遇到的一類問題，一般我們是把問題適當變形，然后觀察變形后的式子，構造相應的輔助函數，使之符合中值定理，介值定理，零點定理之類的條件，就可以輕松證明了. 例7 設在上連續(xù)，在內可導，且求證存在使得 證明 構造輔助函數顯然 又因為在上連續(xù)，在內可導，故根據羅爾定理可知，存在一點使得即 即，則證畢. 例8設在上連續(xù)，在內可導在內至少存在一點，使

22、 證明 做輔助函數 則依題設有在上連續(xù)，在內可導，且 由羅爾定理，在內至少有一地點，使 從而即有 證畢. 中值問題很明顯，是關于微分中值定理（其中包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的問題.做一個這個題的輔助函數，它必需滿足其中一個中值定理的條件，則根據中值定理的性質即可得出. (五) 構造輔助函數求極限 一些求極限的題目，我們也可以用做輔助函數來解決，求極限的方法有很多，簡單的方法也不少，只是一些特殊的

23、題目可能用我們學過的方法很不好解開，而構造輔助函數后就非常容易了. 例9 求 解 作輔助函數則所以 故. 例10求的極限. 解 變形 構造輔助函數，這個積分函數將變成了積分函數，求這個函數的積分，就是的極限. 所以，的極限是. 解這方面的題時，需要我們將題中的離散變量轉化為連續(xù)變量.像例1中，還需考慮趨近的過程，還運用了洛必達法則，主要是求輔助函數的極限，則原函數的極限也求出.例2中的條件剛好滿足定積分的定義，將其轉化為定積分，求這個定積分的值，

24、就求出了這個極限. 四、 總結 在這篇論文中，列舉了大量的例子來說明輔助函數在數學中的應用，并且如何構造輔助函數，本文也有所涉及，下面我列舉了幾種方法. 常數k值法構造輔助函數是將所得的結論進行變形，然后把常數部分分離出來，并使常數部分得k，將這個式子進行恒等變形，使式子變成一端成為和的表達式，另一端成為和的表達式，再將和的值換為，這樣得出的式子就為所做得輔助函，詳見例1. 微分方程法構造輔助函數是關于解存在，使這類的問題，構造輔助函數的方法是先將變?yōu)?，解出其通解形式為，此時輔助函數為，詳見例2. 作差法構造輔助函數是將題適當變形后，將等號（或不等號）右邊的式子移到左邊做差，得到的式

25、子即為輔助函數，即若解不等式，可以將這個式子的差作為輔助函數，那么，，則只需證明在其定義域內大于零即可.詳見例3、例4、例6； 原函數法構造輔助函數是將題中的式子進行適當變形，使之成為一個易于積分，能夠消除導數的形式，然后求出原函數，可將它的積分常數取為零，然后移項，使之成為等式一端為零，一端則為輔助函數.這類題形詳見例7.還有很多構造輔助函數的方法這里不再一一敘述. 在數學中構造輔助函數的方法基本是無處不在的.學會構造輔助函數的方法也是至關重要的，如我們上文所舉的例子中，應用了常數k值法，微分方程法，作差法和原函數法，關于定理的證明我們需要觀察式子的特性，應用相關的方法以便構造輔助函數.

26、而關于解題方面的證明，同樣需要仔細觀察，在各種題型的應用中，我們需要靈活運用構造輔助函數的方法，使之成為我們更好的學習工具.如此，我們可以看出，輔助函數在數學中的應用是廣泛并且非重要的.在高等數學中，證明和解題是主要的，在這過程中，構造輔助函數的方法是我們必須所掌握的，這有利于增強我們的解題思維.并且能夠快速的理通思路，方便我們理解題意，找到解決的辦法.輔助函數在數學中的應用非常廣泛，也非常實用，在我們解題遇到困難時，有時它就是用來解除障礙的有力工具.它所涉及的領域很多，關于構造輔助函數的方面我還要更好的學習. 參考文獻 1. 廖凡達，《輔助函數法在不等式問題中的應用》，《高中數學教與

27、學》2009年04期. 2. 殷堰工，《輔助函數在數學中的應用》，昭通師專學報（自然科學版），一九八六年第一期. 3. 林遠華，《淺談輔助函數在數學分析中的作用》，河池師范高等專科學校學報（自然科學版）第20卷第4期，2000年12月. 4. 李兆強，蔣善利《“輔助函數法”在數學分析中的應用》漯河職業(yè)技術學院學報2009年9月，第8卷第5期. 5. 程惠東，《再談作輔助函數解題》，高等數學研究，2005年9月，第8卷第5期. 6. 陳華，《微分中值定理中應用輔助函數的構造方法》，西昌學院院報，自然科學版，2009年12月，第23卷第4期. 7. 左元斌，《談談輔助函數的設置及應用》，鹽城工學院學報，1998年3月，第11卷第1期. 后記 最后，非常感謝我的導師.在寫論文的過程中，導師幫我每一次都幫我仔細修改，并指導我的論文思路，給我搜集了大量的論文材料參考.導師每次都看的很仔細，指導的很認真，我也能盡量達到導師的指導目標.在這里，再次鄭重的感謝導師！謝謝您！ 13