哈哈 爾爾 濱濱 師師 范范 大大 學(xué)學(xué)學(xué)士學(xué)位論文開題報(bào)告學(xué)士學(xué)位論文開題報(bào)告論文題目 函數(shù)列一致收斂性判別法學(xué)生姓名 指導(dǎo)教師 年 級(jí) 2008級(jí)2班專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2011年11月 課題來源： 由指導(dǎo)教師提供 課題研究的目的和意義： 由于本課題在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中對(duì)初學(xué)者來說比較難理解，難以掌握與應(yīng)用，所以研究此課題目的是讓初學(xué)者掌握該課題知識(shí)，學(xué)會(huì)分析，提高自己的綜合能力，本文給出5種函數(shù)一致收斂性判別法的例題，讓初學(xué)者更加形象的理解本課題的應(yīng)用技巧。 函數(shù)列一致收斂性判別法在數(shù)學(xué)分析中是重點(diǎn)難點(diǎn)，有效的判別函數(shù)列的收斂性對(duì)研究函數(shù)列的性質(zhì)起著重要作用 。所以本文介紹了判別收斂性的方法及案例，讓初學(xué)者能深刻體會(huì)其重要性和應(yīng)用的廣泛性。國(guó)內(nèi)外同類課題研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì)： 函數(shù)列一致收斂性判別法在求解極限領(lǐng)域中起著極其重要的作用，它不僅有助于提高我們對(duì)極限認(rèn)識(shí)清晰度，而且更能幫助我們領(lǐng)悟一致收斂這一性質(zhì)。但在國(guó)內(nèi)對(duì)于寫相關(guān)課題已被廣泛研究，1991年海南師范學(xué)院學(xué)報(bào)第二期張國(guó)才和方良秋的函數(shù)列一致收斂性判別法 ，這篇文章參考數(shù)學(xué)分析中函數(shù)列的性質(zhì)得出了函數(shù)列一致收斂性的基本方法，包括柯西判別法。1995年吉林師范學(xué)院學(xué)報(bào)第16卷上關(guān)偉大的關(guān)于一致收斂的判別問題 ，這篇文章討論了處處收斂與一致收斂的關(guān)系，得出了“單調(diào)的一致收斂函數(shù)列是一致收斂的”結(jié)論。1994年上海師范大學(xué)學(xué)報(bào)第23卷第3期張駿芳的廣義一致收斂與亞一致收斂,這篇文章討論了連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)連續(xù)條件，采用了先把函數(shù)列為正則收斂減弱為弱正則收斂或一致收斂，在減弱為廣義一致收斂，最后成為一個(gè)定理證明。還有很多學(xué)者研究了一致收斂判別的各個(gè)方面，不僅未來的研究指明了方向，而且在學(xué)術(shù)界得到廣泛應(yīng)用，同時(shí)也為本文提供了理論依據(jù)和參考。課題研究的主要內(nèi)容和方法，研究過程中的主要問題和解決辦法：主要內(nèi)容：1、函數(shù)列一致收斂性的判別法2、函數(shù)列一致收斂性的定義3、函數(shù)列一致收斂性的柯西準(zhǔn)則4、函數(shù)列一致收斂的充要條件5、函數(shù)列一致收斂性判別法的應(yīng)用6、函數(shù)列一致收斂性判別法的意義主要方法：查詢法：通過文獻(xiàn)調(diào)研有目的有計(jì)劃有系統(tǒng)地收集并整理資料，了解圖論在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用。 文獻(xiàn)研究法：調(diào)研文獻(xiàn)，整理文章，獲取所需材料。 歸納法：總結(jié)并整理論文。主要問題：對(duì)于不同的題型，怎么選擇正確方法解答。解決辦法：歸納總結(jié)，查詢文獻(xiàn)，請(qǐng)老師指導(dǎo)等。課題研究起止時(shí)間和進(jìn)度安排：1.選定課題（2011.102011.11）2.收集資料，研究有關(guān)課題（2011.112012.2）3.完成初稿（2012.22012.3） 4.請(qǐng)指導(dǎo)教師指導(dǎo)完成論文(2012.32012.4)學(xué)學(xué) 士士 學(xué)學(xué) 位位 論論 文文題題 目目 函數(shù)列一致收斂性判別法函數(shù)列一致收斂性判別法學(xué)學(xué) 生生 許月許月指導(dǎo)教師指導(dǎo)教師 房維維房維維 講師講師年年 級(jí)級(jí) 2008 級(jí)級(jí)專專 業(yè)業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)系系 別別 數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)系學(xué)學(xué) 院院 文理學(xué)院文理學(xué)院哈爾濱師范大學(xué)2012 年 4 月目目 錄錄摘要.1關(guān)鍵詞.1引言.1一 預(yù)備知識(shí) .錯(cuò)誤！未定義書簽。錯(cuò)誤！未定義書簽。1.1 函數(shù)列一致收斂性定義.11.2 函數(shù)列一致收斂性柯西準(zhǔn)則.1 1.3 函數(shù)列一致收斂性充要條件.2二 函數(shù)列一致收斂性判別法的應(yīng)用.22.1 利用函數(shù)列一致收斂性定義證明.22.2 利用函數(shù)列一致收斂性柯西準(zhǔn)則.32.3 利用函數(shù)列一致收斂性充要條件.53. 結(jié)束語.6注釋.6參考文獻(xiàn).7英文摘要.8 1 1函數(shù)列一致收斂性判別法許月 摘要摘要: 在高等數(shù)學(xué)中一致收斂是函數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，有效的判別函數(shù)列一致收斂性的方法，對(duì)研究函數(shù)列的性質(zhì)起著重要的作用。其方法有定義法，柯西準(zhǔn)則，充要條件等重要方法，通過學(xué)習(xí)這些證明方法，可以幫助我們解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維能力，并對(duì)各種方法加以系統(tǒng)總結(jié)，以便學(xué)者熟練并靈活運(yùn)用. 關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞： 函數(shù)列；一致收斂；判別法 引言 本文系統(tǒng)總結(jié)了有關(guān)函數(shù)列一致收斂性的若干證明方法與技巧，通過對(duì)例題的分析，回顧了幾種常用的函數(shù)列一致收斂性判定方法，充分的分析各種判定方法的應(yīng)用，并結(jié)合實(shí)例對(duì)不同方法進(jìn)行具體應(yīng)用，敘述了證明函數(shù)列一致收斂性判別方法，即函數(shù)列一致收斂性的定義，函數(shù)列一致收斂性的柯西準(zhǔn)則，函數(shù)列一致收斂性的充要條件等方法證明函數(shù)列一致收斂性.這樣對(duì)我們解題將會(huì)起到很大的作用.一 預(yù)備知識(shí)1.11.1 函數(shù)列一致收斂的定義函數(shù)列一致收斂的定義 定義 1：設(shè)函數(shù)列與函數(shù)定義在同一數(shù)集上，若對(duì)任給的正數(shù)，總nf f xD存在一正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有，則稱函數(shù)列 NnNxD nfxf x在上一致收斂于，記作 ，.nfDf nfxf xn xD1.21.2 函數(shù)列一致收斂性的柯西準(zhǔn)則函數(shù)列一致收斂性的柯西準(zhǔn)則定理 1（Cauchy）函數(shù)列在上一致收斂的充分必要條件上：對(duì)任意給定正數(shù)，總nfD存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，都有.N, n mNxD nmfxfx21.31.3 函數(shù)列一致收斂性的充要條件函數(shù)列一致收斂性的充要條件定理 2 函數(shù)列在上一致收斂的充要條件是：. nfD limsup0nnx Dfxf x二二 函數(shù)列一致收斂性判別法的應(yīng)用函數(shù)列一致收斂性判別法的應(yīng)用2.12.1 利用利用函數(shù)列一致收斂性定義證明函數(shù)列一致收斂性定義證明例 1：定義在上的函數(shù)列由于對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有, sin,1,2.nnxfxnnxnnnx1sin故對(duì)任給的，只要，就有所以函數(shù)列收斂域?yàn)闊o01nNsin0,nxnsinnxn限區(qū)間, 極限函數(shù)., 0f x 注：對(duì)于函數(shù)列，僅停留在談?wù)撛谀切c(diǎn)上收斂是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，重要的是研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具有的解析性質(zhì)的關(guān)系。例如，能否由函數(shù)列每項(xiàng)的連續(xù)性，可導(dǎo)性，來判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性；或極限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或積分，是否分別是函數(shù)列每項(xiàng)導(dǎo)數(shù)或積分的極限，對(duì)這些更深刻問題的討論，必須對(duì)它在上的收斂性提出更高的要求才行。D例 2：設(shè)在上，一致收斂于，一致收斂于。若存在正數(shù), a b nfx f x ngx g x列。證明：在上一致收斂于。,1,2,.nMxa bn nnfxgx, a b f xg x證明：先證一致有界。 nfx因?yàn)橐恢率諗坑?，所以，?dāng)時(shí) nfx f x0,0N nN ,nfxf xxa b特別地對(duì)有，所以即是有界的。1, 1nfxf x 11,nnf xfxM f x記，則當(dāng)時(shí)，取 1,supxa bMf x nN 11,nnnfxfxM 121max,.,1NMM MMM3則有對(duì)于任意的同理可證是有界的，即使 ,nnNxa bfxM g x0,M得，由于一致收斂于，一致收斂于，所以 ,g xM xa b nfx f x ngx g x對(duì)當(dāng)時(shí)對(duì)一切0,0,N nN,xa b，所以當(dāng)時(shí)有 ,22nnfxf xgxg xMMnN nnfx gxf x g x nnnfx gxf x g xfx g xf x g x nnnfxgxg xg xfxf x22MMMM故在上一致收斂于. nnfx gx, a b f x g x2.22.2 利用利用函數(shù)列一致收斂性的柯西準(zhǔn)則函數(shù)列一致收斂性的柯西準(zhǔn)則例 3：設(shè)，為定義在上的函數(shù)列，證明它的收斂域是 nf nx1,2n , ，且有極限函數(shù)1,1 0,1( )1,1xf xx（3）證明：任給， （不防設(shè)） ，當(dāng)時(shí)，由于，只要0101x nnfxf xx取，當(dāng)時(shí)，就有，當(dāng)和時(shí)，則ln,lnNxxnN,x nfxf x0 x 1x 對(duì)任何正整數(shù)，都有，.這就證得在n 000nff 110nffnf上收斂，且有（3）式所表現(xiàn)的極限函數(shù).1,1當(dāng)時(shí)，則有，當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列為， 1x nxn 1x 1,1, 1,1.它顯然是發(fā)散的。所以函數(shù)列在區(qū)間外是發(fā)散的. nx1,1注：對(duì)于不等式中含有拉格朗日中值定理先處理以下，利用可考慮用的因子,)()(afbf中值定理（羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理）的方法來證明不等式首先要熟記各個(gè)中值定理的應(yīng)用條件，可將原不等式通過變形找到一個(gè)輔助函數(shù)，使其在所給區(qū)間上滿足中4值定理的條件，證明的關(guān)鍵是處理好點(diǎn)，分析函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的性質(zhì)即可得到所要結(jié)論，在證明過程中也會(huì)出現(xiàn)反復(fù)應(yīng)用同一定理或同時(shí)應(yīng)用幾個(gè)定理進(jìn)行證明的情況.例 4：可微函數(shù)列在上收斂，且導(dǎo)函數(shù)列在上一致有界，則 nfx, a b nfx, a b在上一致收斂。 nfx, a b證明：由假設(shè)存在正數(shù) M，對(duì)一切自然數(shù) n，當(dāng)時(shí)，有，因此對(duì),xa b nfxM，只要取,則當(dāng)，對(duì)一切自然數(shù)，由微分中值定理有0 3Mxxn 3nnnfxfxfxxM其中在和之間，現(xiàn)對(duì)作等分，使，在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)，xx, a bkbak12,.,kx xx在這些點(diǎn)上函數(shù)列收斂，對(duì)，存在自然數(shù)，當(dāng)時(shí)，有 nfx0 iNinN 3nimifxfx令，則當(dāng)時(shí)，這一切都有，對(duì)任意1maxii kNN nN12,.,kx xx 3nimifxfx，設(shè)落在所在的小區(qū)間上， （1） ， （2） ，及有,xa bxixnN nmnninimimimfxfxfxfxfxfxfxfx所以在上是一致收斂的。 nfx, a b注：柯西準(zhǔn)則的特點(diǎn)是不需要知道極限函數(shù)是什么，只是根據(jù)函數(shù)列本身的特點(diǎn)來判斷函數(shù)列是否一致收斂。例 5：在是否一致收斂？ 2nnnfxxx01x分析：考察區(qū)間收斂與一致收斂的邏輯關(guān)系注意聯(lián)系閉區(qū)間連續(xù)性與一致收斂的關(guān)系.證明：這里，令 2limlim0,01,nnnnnfxxxf xx，得，由于，而，所以，在 11 20nnnfxnxx12nnx 0nfx 010nnff點(diǎn)，取極大值.12nnx nfx 220101111supsup224nnnxxfxf xxx 5所以不趨近于. nfx f x注：當(dāng)不好求時(shí)，只好訴之于一致或者不一致收斂的定義或柯西準(zhǔn)則。從 01supnxfxf x 上例題也可看出，函數(shù)列在有限閉區(qū)間上收斂，未必一致收斂，在上就是如此，2nnxx0,1這與有限閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定一直連續(xù)不同。2.32.3 利用利用函數(shù)列一致收斂性的充要方法函數(shù)列一致收斂性的充要方法例 6：定義在上的函數(shù)列 122,0211222,1,2,.210,1( )nn xxnnn xxnnnxnfx （8）其中的圖像，如圖所示.1,2,3n 由于，故。當(dāng)時(shí)，(0)0nf (0)lim00nnnff01x只，就有，故在上有1nx( )0nfx 0,1于是函數(shù)列（8） ，在上的極限函數(shù) (0)lim00nnnff 1 , 0，又由于，所以函數(shù)列（8）在( )0f x 0,11sup2nnxfxf xfnnn 上不一致收斂。0,1例 7：討論函數(shù)列，的一致收斂性。 222n xnfxn xe0,1x證明：因?yàn)?，于是，?222lim0,0,1n xnf xn xex 2220.n xnfxfn xe易驗(yàn)證在上只有唯一的極大點(diǎn)，因此為最大值點(diǎn)。于是222n xn xe0,1012xn 12sup2nnfxf xe 因此該函數(shù)列在上不一致收斂。0,16注：不一致收斂是因?yàn)楹瘮?shù)列余項(xiàng)的數(shù)值在的附近不能隨 n 222n xnfxn xe0 x 的增大一致趨于零，因此對(duì)任何不含原點(diǎn)的區(qū)間，在該,1 01aa 222n xnfxn xe區(qū)間上一致收斂于零。例 8：討論是否一致收斂，并說明理由。 221,1,2,.1,1nfxxnDn 證明：由于，且 lim,1,1nnfxxf xxD 221limsuplimsupnnnx Dx Dfxf xxxn22211limsuplim01nnx Dnnxxn故.221,1,1xxnxn 例 9：討論是否一致收斂，并說明理由。 22,1,2,.,1nxfxnDn x 證明：由于，且 lim0,nnfxf xx 221limsuplimsuplim021nnnnx Dx Dxfxf xnn x故.220, 0,1xxn x 結(jié)束語初等數(shù)學(xué)中的常用方法有很多，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，函數(shù)列一致收斂性證明是一個(gè)非常重要的內(nèi)容，這些內(nèi)容在初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中都有很好的體現(xiàn).在極限上，雖然函數(shù)列一致收斂性判別法廣泛的存在于現(xiàn)實(shí)的世界里，但是人們對(duì)函數(shù)列一致收斂性判別法的認(rèn)識(shí)尚淺.直到 17 世紀(jì)以后，不等式的理論才逐漸發(fā)展起來，成為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的一個(gè)重要組成部分.但一般來說比較講究解題技巧.而用上述函數(shù)列一致收斂性判別法，有時(shí)可大大降低解7題技巧的需要，簡(jiǎn)化解題過程.所以以上方法給我們提供了便利的條件.注釋：注釋：1李長(zhǎng)明,周煥山:初等數(shù)學(xué)研究M.北京:高等教育出版社,1995,253-263.2葉慧萍:反思性教學(xué)設(shè)計(jì)-不等式證明綜合法J.數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2005,10(3):89-91.3胡炳生,吳俊:現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)下的中學(xué)數(shù)學(xué)M.北京:高等教育出版社,1998,45-50.4宋慶:函數(shù)列一致收斂性判別法的再推廣J.中等數(shù)學(xué),2006,45(5):29-31.5蔣昌林:也談一類函數(shù)列一致收斂性的統(tǒng)一證明J.數(shù)學(xué)通報(bào),2005,15(2):75-79. 6張新全.函數(shù)列一致收斂性的證明J.數(shù)學(xué)通報(bào),2006,45(4):54-55.參考文獻(xiàn)：參考文獻(xiàn)：1 孫 濤：數(shù)學(xué)分析經(jīng)典習(xí)題解析M，高等教育出版社，2004.2 孫清華：數(shù)學(xué)分析內(nèi)容、方法與技巧M，華中科技大學(xué)出版社，2003.3 謝惠民：數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義M，高等教育出版社，2003.4 陳傳璋：數(shù)學(xué)分析M，人民教育出版社，1980.5 黃先開,曹顯兵：歷屆考研試題M，世界圖書出版公司, 2004.8英文摘要英文摘要Uniform Convergence Of Function Sequence Of Discriminant MethodXuYueAbstract: Higher Mathematics in uniform convergence of function sequence is one of the important properties, effective discriminant function uniformly convergence method, to study the properties of sequence of functions play an important role. The method of defining method, a sufficient and necessary condition of guidelines, and other important method, through the study of these proven methods, which can help us to solve some practical problems, developing logical reasoning ability and abstract thinking ability, and the various methods to summarize, in order to scholars of skilled and flexible use.Keywords: function list; uniform convergence; discriminant method 9論文評(píng)閱人意見論文（設(shè)計(jì)）題目論文（設(shè)計(jì)）題目函數(shù)列一致收斂性判別法函數(shù)列一致收斂性判別法作作 者者許月許月評(píng)閱人評(píng)閱人房維維房維維評(píng)閱人職稱評(píng)閱人職稱講師講師意意 見見評(píng)閱人評(píng)閱人簽字簽字評(píng)閱意見評(píng)閱意見論文評(píng)閱人意見論文（設(shè)計(jì)）題目論文（設(shè)計(jì)）題目函數(shù)列一致收斂性判別法函數(shù)列一致收斂性判別法作作 者者許月許月評(píng)閱人評(píng)閱人職稱職稱意意 見見評(píng)閱人評(píng)閱人簽字簽字評(píng)閱意見評(píng)閱意見指導(dǎo)教師評(píng)語頁(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目論文（設(shè)計(jì)）題目函數(shù)列一致收斂性判別法函數(shù)列一致收斂性判別法作作 者者許月許月指導(dǎo)教師指導(dǎo)教師房維維房維維職職 稱稱講師講師評(píng)評(píng) 語語指導(dǎo)教師指導(dǎo)教師簽字簽字論文等級(jí)論文等級(jí)本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯過程記錄院系 數(shù)學(xué)系 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級(jí) 2008 級(jí) 答辯人姓名 許月 學(xué)號(hào) 2008210977 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題目 函數(shù)列一致收斂性判別法 畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯過程記錄：答辯是否通過：通過（ ） 未通過（ ）記錄員 答辯小組組長(zhǎng)簽字 年 月 日 年 月 日本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）答辯登記表院（系）： 數(shù)學(xué)系 專業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級(jí)：2007論文（設(shè)計(jì)）題目：函數(shù)列一致收斂性判別法答辯人：許月學(xué)號(hào)：2008210977評(píng)閱人：指導(dǎo)教師： 房維維 論文（設(shè)計(jì)）等級(jí)：答辯小組成員：答辯小組意見：秘書簽名： 年 月 日論文（設(shè)計(jì)）答辯是否通過：通過（ ） 未通過（ ）論文（設(shè)計(jì)）最終等級(jí)：答辯小組組長(zhǎng)簽名：答辯委員會(huì)主席簽名：