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2.3　垂徑定理 基礎題　　　　　　　　　　　　　　　 知識點1　垂徑定理 1．(長沙中考改編)如圖，在⊙O中，弦AB＝6，圓心O到AB的距離OC＝2，則⊙O的半徑長為(B) A. B. C．2 D．4 　 2．如圖，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，交⊙O于E，則下列說法錯誤的是(D) A．AD＝BD B．∠AOE＝∠BOE C.＝ D．OD＝DE 3．如圖，在⊙O中，直徑CD垂直于弦AB.若∠C＝25，則∠BOD的度數是(D) A．25 B．30 C．40 D．50 4．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D.若⊙O的半徑為5，AB＝8，則CD的長是(A) A．2 B．3 C．4 D．5 5．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OC＝5 cm，CD＝6 cm，則OE＝4cm. 6．(教材P59例1變式)如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點M，AM＝18，BM＝8，則CD的長為24． 7．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點M在⊙O上，MD恰好經過圓心O，連接MB.若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直徑． 解：∵AB⊥CD，CD＝16， ∴CE＝DE＝8. 設OB＝x，∵BE＝4， ∴x2＝(x－4)2＋82. 解得x＝10. ∴⊙O的直徑是20. 知識點2　垂徑定理的實際應用 8．(教材P60習題T1變式)一條排水管的截面如圖所示．已知排水管的截面圓半徑OB＝10，截面圓圓心O到水面的距離OC是6，則水面寬AB是(A) A．16 B．10 C．8 D．6 9．如圖所示，某窗戶是由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，現計劃安裝玻璃，請幫工程師求出所在圓O的半徑r. 解：由題意，知OA＝OE＝r. ∵EF＝1，∴OF＝r－1. ∵OE⊥AB， ∴AF＝AB＝3＝1.5. 在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2， 即(r－1)2＋1.52＝r2.解得r＝. ∴圓O的半徑為 m. 易錯點　忽略垂徑定理的推論中的條件“不是直徑” 10．下列說法正確的是(D) A．過弦的中點的直徑平分弦所對的兩條弧 B．弦的垂直平分線平分它所對的兩條弧，但不一定過圓心 C．過弦的中點的直徑垂直于弦 D．平分弦所對的兩條弧的直徑平分弦 中檔題 11．如圖，將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經過圓心O，則折痕AB的長為(C) A．2 cm B. cm C．2 cm D．2 cm 12．(xx棗莊)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30.則CD的長為(C) A. B．2 C．2 D．8 提示：過點O作OH⊥PD于H，連接OD.AP＝2，BP＝6，則AO＝BO＝4，則PO＝2，又∠OPH＝∠APC＝30，∴OH＝1，OD＝OB＝4，在Rt△HOD中，HD＝＝，∴CD＝2HD＝2. 13．如圖，以點P為圓心的圓弧與x軸交于A，B兩點，點P的坐標為(4，2)，點A的坐標為(2，0)，則點B的坐標為(6，0)． 14．(xx黃岡)如圖，△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，∠CAB＝60，弦AD平分∠CAB.若AD＝6，則AC＝2． 15．(xx孝感)已知⊙O的半徑為10 cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，則弦AB和CD之間的距離是2或14cm. 16．(xx安徽)如圖，⊙O為銳角△ABC的外接圓，半徑為5. (1)用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線，并標出它與劣弧BC的交點E；(保留作圖痕跡，不寫作法) (2)若(1)中的點E到弦BC的距離為3，求弦CE的長． 解：(1)畫圖如圖所示． (2)∵AE平分∠BAC， ∴＝. 連接OE，OC，EC，則OE⊥BC于點F，EF＝3. 在Rt△OFC中，由勾股定理可得， FC＝＝＝. 在Rt△EFC中，由勾股定理可得， CE＝＝＝. 17．如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB交CD于點E，連接BD，OB. (1)求證：△AEC∽△DEB； (2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半徑． 解：(1)證明：根據“同弧所對的圓周角相等”， 得∠A＝∠D，∠C＝∠ABD， ∴△AEC∽△DEB. (2)∵CD⊥AB，O為圓心， ∴BE＝AB＝4. 設⊙O的半徑為r，∵DE＝2，則OE＝r－2. ∴在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE2＋EB2＝OB2， 即(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5. ∴⊙O的半徑為5. 綜合題 18．如圖，已知∠MAN＝30，O為邊AN上一點，以O為圓心，2為半徑作⊙O，交AN于D，E兩點，設AD＝x.當x為何值時，⊙O與AM相交于B，C兩點，且∠BOC＝90？ 解：過點O作OF⊥BC于點F. ∵∠BOC＝90，OB＝OC＝2， ∴∠OBC＝45， BC＝＝2. ∵OF⊥BC，∴BF＝BC＝，∠BOF＝45. ∴∠OBF＝∠BOF. ∴OF＝BF＝. ∵∠MAN＝30，∴OA＝2OF＝2. ∴AD＝2－2， 即當x＝2－2時，∠BOC＝90. 小專題(五)　與圓的基本性質有關的計算與證明 1．已知：如圖，A，B，C，D是⊙O上的點，∠1＝∠2，AC＝3 cm. (1)求證：＝； (2)求BD的長． 解：(1)證明：∵∠1＝∠2， ∴＝， ∴＋＝＋. ∴＝. (2)∵＝， ∴AC＝BD. ∵AC＝3 cm， ∴BD＝3 cm. 2．A，B是⊙O上的兩個定點，P是⊙O上的動點(P不與A，B重合)，我們稱∠APB是⊙O上關于點A，B的滑動角．已知∠APB是⊙O上關于點A，B的滑動角． (1)若AB是⊙O的直徑，則∠APB＝90； (2)如圖，若⊙O的半徑是1，AB＝，求∠APB的度數． 解：連接OA，OB，AB. ∵⊙O的半徑是1，即OA＝OB＝1， 又∵AB＝， ∴OA2＋OB2＝AB2. 由勾股定理的逆定理可得，∠AOB＝90. ∴∠APB＝∠AOB＝45. 3．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D兩點在⊙O上．若∠C＝45. (1)求∠ABD的度數； (2)若∠CDB＝30，BC＝3，求⊙O的半徑． 解：(1)連接AD. ∵∠BCD＝45， ∴∠DAB＝∠BCD＝45. ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90. ∴∠ABD＝45. (2)連接AC. ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90. ∵∠CAB＝∠CDB＝30，BC＝3， ∴AB＝6. ∴⊙O的半徑為3. 4．如圖，A，P，B，C是圓上的四個點，∠APC＝∠CPB＝60，AP，CB的延長線相交于點D. (1)求證：△ABC是等邊三角形； (2)若∠PAC＝90，AB＝2，求PD的長． 解：(1)證明：∵A，P，B，C是圓上的四個點， ∴∠ABC＝∠APC，∠CPB＝∠BAC. ∵∠APC＝∠CPB＝60， ∴∠ABC＝∠BAC＝60. ∴∠ACB＝60. ∴△ABC是等邊三角形． (2)∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB＝60，AC＝AB＝BC＝2. ∵∠PAC＝90，∴∠DAB＝∠D＝30. ∴BD＝AB＝2. ∵四邊形APBC是圓內接四邊形，∠PAC＝90， ∴∠PBC＝∠PBD＝90. 在Rt△PBD中，PD＝＝＝4. 5．如圖，一圓弧形橋拱的圓心為E，拱橋的水面跨度AB＝80米，橋拱到水面的最大高度為20米．求： (1)橋拱的半徑； (2)現水面上漲后水面跨度為60米，求水面上漲的高度為多少米？ 解：(1)過點E作EF⊥AB于點F，延長EF交圓于點D，則由題意得DF＝20. 由垂徑定理知， 點F是AB的中點，AF＝FB＝AB＝40米， EF＝ED－FD＝AE－DF， 由勾股定理知，AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2. 設圓的半徑是r， 則r2＝402＋(r－20)2， 解得r＝50. 即橋拱的半徑為50米． (2)設水面上漲后水面跨度MN為60米， MN交ED于H，連接EM， 則MH＝NH＝MN＝30米， ∴EH＝＝40(米)． ∵EF＝50－20＝30(米)， ∴HF＝EH－EF＝10米． 6．已知△ABC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，連接ED.若ED＝EC. (1)求證：AB＝AC； (2)若AB＝4，BC＝2，求CD的長． 解：(1)證明：∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠C. ∵∠EDC＋∠ADE＝180，∠ADE＋∠B＝180， ∴∠EDC＝∠B. ∴∠B＝∠C.∴AB＝AC. (2)連接AE，∵AB為直徑， ∴AE⊥BC. 由(1)知，AB＝AC， ∴BE＝CE＝BC＝. 在△ABC與△EDC中， ∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B， ∴△ABC∽△EDC. ∴＝. ∴CECB＝CDCA. ∵AC＝AB＝4， ∴2＝4CD. ∴CD＝. 7．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點D，E，且點D為BC的中點． (1)求證：△ABC為等邊三角形； (2)求DE的長； (3)在線段AB的延長線上是否存在一點P，使△PBD≌△AED，若存在，請求出PB的長；若不存在，請說明理由． 解：(1)證明：連接AD. ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90. ∵點D是BC的中點， ∴AD是線段BC的垂直平分線． ∴AB＝AC. ∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC. ∴△ABC為等邊三角形． (2)連接BE. ∵AB是直徑，∴∠AEB＝90. ∴BE⊥AC. ∵△ABC是等邊三角形， ∴AE＝EC，即E為AC的中點． ∵D是BC的中點，故DE為△ABC的中位線， ∴DE＝AB＝2＝1. (3)存在點P使△PBD≌△AED， 由(1)(2)知，BD＝ED， ∵∠BAC＝60，DE∥AB，∴∠AED＝120. ∵∠ABC＝60，∴∠PBD＝120. ∴∠PBD＝∠AED. 要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1.