2.3垂徑定理基礎(chǔ)題知識點(diǎn)1垂徑定理1(長沙中考改編)如圖，在O中，弦AB6，圓心O到AB的距離OC2，則O的半徑長為(B)A. B. C2 D42如圖，AB是O的弦，ODAB于D，交O于E，則下列說法錯(cuò)誤的是(D)AADBD BAOEBOEC. DODDE3如圖，在O中，直徑CD垂直于弦AB.若C25，則BOD的度數(shù)是(D)A25 B30 C40 D50 4如圖，AB是O的弦，半徑OCAB于點(diǎn)D.若O的半徑為5，AB8，則CD的長是(A)A2 B3 C4 D55如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)E，OC5 cm，CD6 cm，則OE4cm. 6(教材P59例1變式)如圖，在O中，直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)M，AM18，BM8，則CD的長為247如圖，AB是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)E，點(diǎn)M在O上，MD恰好經(jīng)過圓心O，連接MB.若CD16，BE4，求O的直徑解：ABCD，CD16，CEDE8.設(shè)OBx，BE4，x2(x4)282.解得x10.O的直徑是20.知識點(diǎn)2垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用8(教材P60習(xí)題T1變式)一條排水管的截面如圖所示已知排水管的截面圓半徑OB10，截面圓圓心O到水面的距離OC是6，則水面寬AB是(A)A16B10C8D69如圖所示，某窗戶是由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB3 m，弓形的高EF1 m，現(xiàn)計(jì)劃安裝玻璃，請幫工程師求出所在圓O的半徑r.解：由題意，知OAOEr.EF1，OFr1.OEAB，AFAB31.5.在RtOAF中，OF2AF2OA2，即(r1)21.52r2.解得r.圓O的半徑為 m.易錯(cuò)點(diǎn)忽略垂徑定理的推論中的條件“不是直徑”10下列說法正確的是(D)A過弦的中點(diǎn)的直徑平分弦所對的兩條弧B弦的垂直平分線平分它所對的兩條弧，但不一定過圓心C過弦的中點(diǎn)的直徑垂直于弦D平分弦所對的兩條弧的直徑平分弦中檔題11如圖，將半徑為2 cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，則折痕AB的長為(C)A2 cm B. cm C2 cm D2 cm 12(xx棗莊)如圖，AB是O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P，AP2，BP6，APC30.則CD的長為(C)A. B2 C2 D8提示：過點(diǎn)O作OHPD于H，連接OD.AP2，BP6，則AOBO4，則PO2，又OPHAPC30，OH1，ODOB4，在RtHOD中，HD，CD2HD2.13如圖，以點(diǎn)P為圓心的圓弧與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，2)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0) 14(xx黃岡)如圖，ABC內(nèi)接于O，AB為O的直徑，CAB60，弦AD平分CAB.若AD6，則AC215(xx孝感)已知O的半徑為10 cm，AB，CD是O的兩條弦，ABCD，AB16 cm，CD12 cm，則弦AB和CD之間的距離是2或14cm.16(xx安徽)如圖，O為銳角ABC的外接圓，半徑為5.(1)用尺規(guī)作圖作出BAC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E；(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)若(1)中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3，求弦CE的長解：(1)畫圖如圖所示(2)AE平分BAC，.連接OE，OC，EC，則OEBC于點(diǎn)F，EF3.在RtOFC中，由勾股定理可得，F(xiàn)C.在RtEFC中，由勾股定理可得，CE.17如圖，CD為O的直徑，弦AB交CD于點(diǎn)E，連接BD，OB.(1)求證：AECDEB；(2)若CDAB，AB8，DE2，求O的半徑解：(1)證明：根據(jù)“同弧所對的圓周角相等”，得AD，CABD，AECDEB.(2)CDAB，O為圓心，BEAB4.設(shè)O的半徑為r，DE2，則OEr2.在RtOEB中，由勾股定理，得OE2EB2OB2，即(r2)242r2，解得r5.O的半徑為5.綜合題18如圖，已知MAN30，O為邊AN上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，2為半徑作O，交AN于D，E兩點(diǎn)，設(shè)ADx.當(dāng)x為何值時(shí)，O與AM相交于B，C兩點(diǎn)，且BOC90？解：過點(diǎn)O作OFBC于點(diǎn)F.BOC90，OBOC2，OBC45，BC2.OFBC，BFBC，BOF45.OBFBOF.OFBF.MAN30，OA2OF2.AD22，即當(dāng)x22時(shí)，BOC90.小專題(五)與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明1已知：如圖，A，B，C，D是O上的點(diǎn)，12，AC3 cm.(1)求證：；(2)求BD的長解：(1)證明：12，.(2)，ACBD.AC3 cm，BD3 cm.2A，B是O上的兩個(gè)定點(diǎn)，P是O上的動(dòng)點(diǎn)(P不與A，B重合)，我們稱APB是O上關(guān)于點(diǎn)A，B的滑動(dòng)角已知APB是O上關(guān)于點(diǎn)A，B的滑動(dòng)角(1)若AB是O的直徑，則APB90；(2)如圖，若O的半徑是1，AB，求APB的度數(shù)解：連接OA，OB，AB.O的半徑是1，即OAOB1，又AB，OA2OB2AB2.由勾股定理的逆定理可得，AOB90.APBAOB45.3如圖，AB是O的直徑，C，D兩點(diǎn)在O上若C45.(1)求ABD的度數(shù)；(2)若CDB30，BC3，求O的半徑解：(1)連接AD.BCD45，DABBCD45.AB是O的直徑，ADB90.ABD45.(2)連接AC.AB是O的直徑，ACB90.CABCDB30，BC3，AB6.O的半徑為3.4如圖，A，P，B，C是圓上的四個(gè)點(diǎn)，APCCPB60，AP，CB的延長線相交于點(diǎn)D.(1)求證：ABC是等邊三角形；(2)若PAC90，AB2，求PD的長解：(1)證明：A，P，B，C是圓上的四個(gè)點(diǎn)，ABCAPC，CPBBAC.APCCPB60，ABCBAC60.ACB60.ABC是等邊三角形(2)ABC是等邊三角形，ACB60，ACABBC2.PAC90，DABD30.BDAB2.四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，PAC90，PBCPBD90.在RtPBD中，PD4.5如圖，一圓弧形橋拱的圓心為E，拱橋的水面跨度AB80米，橋拱到水面的最大高度為20米求：(1)橋拱的半徑；(2)現(xiàn)水面上漲后水面跨度為60米，求水面上漲的高度為多少米？解：(1)過點(diǎn)E作EFAB于點(diǎn)F，延長EF交圓于點(diǎn)D，則由題意得DF20.由垂徑定理知，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AFFBAB40米，EFEDFDAEDF，由勾股定理知，AE2AF2EF2AF2(AEDF)2.設(shè)圓的半徑是r，則r2402(r20)2，解得r50.即橋拱的半徑為50米(2)設(shè)水面上漲后水面跨度MN為60米，MN交ED于H，連接EM，則MHNHMN30米，EH40(米)EF502030(米)，HFEHEF10米6已知ABC，以AB為直徑的O分別交AC，BC于點(diǎn)D，E，連接ED.若EDEC.(1)求證：ABAC；(2)若AB4，BC2，求CD的長解：(1)證明：EDEC，EDCC.EDCADE180，ADEB180，EDCB.BC.ABAC.(2)連接AE，AB為直徑，AEBC.由(1)知，ABAC，BECEBC.在ABC與EDC中，CC，CDEB，ABCEDC.CECBCDCA.ACAB4，24CD.CD.7如圖，在ABC中，ABBC2，以AB為直徑的O分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，且點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)(1)求證：ABC為等邊三角形；(2)求DE的長；(3)在線段AB的延長線上是否存在一點(diǎn)P，使PBDAED，若存在，請求出PB的長；若不存在，請說明理由解：(1)證明：連接AD.AB是O的直徑，ADB90.點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，AD是線段BC的垂直平分線ABAC.ABBC，ABBCAC.ABC為等邊三角形(2)連接BE.AB是直徑，AEB90.BEAC.ABC是等邊三角形，AEEC，即E為AC的中點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，故DE為ABC的中位線，DEAB21.(3)存在點(diǎn)P使PBDAED，由(1)(2)知，BDED，BAC60，DEAB，AED120.ABC60，PBD120.PBDAED.要使PBDAED，只需PBAE1.