2.5.4三角形的內(nèi)切圓知|識|目|標(biāo)1經(jīng)過觀察、討論、猜想教材“議一議”與“動腦筋”，理解三角形的內(nèi)切圓的概念及其作法2結(jié)合方程思想，會求直角三角形內(nèi)切圓的半徑. 目標(biāo)一掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)與內(nèi)切圓的畫法例1 教材補(bǔ)充例題某新建小區(qū)要在一塊等邊三角形的公共區(qū)域內(nèi)修建一個圓形花壇(1)若要使花壇面積最大，請你在這塊公共區(qū)域(如圖2517)內(nèi)確定圓形花壇的圓心P；(2)若這個等邊三角形的邊長為18米，請計算出花壇的面積圖2517【歸納總結(jié)】對三角形的內(nèi)切圓的理解及內(nèi)切圓的作圖步驟：(1)任何一個三角形都只有唯一的內(nèi)切圓，而一個圓可以有無數(shù)個外切三角形(2)三角形內(nèi)切圓的作圖步驟：分別作三角形任意兩個內(nèi)角的平分線，設(shè)兩條內(nèi)角平分線相交于點I；過交點I作三角形任意一邊的垂線段；以交點I為圓心，以中垂線段長為半徑作圓，則所作的圓為三角形的內(nèi)切圓(3)三角形的內(nèi)切圓是三角形內(nèi)所作的最大的圓，也是三角形能夠覆蓋的最大的圓，在材料的使用率最大上直接得到體現(xiàn)目標(biāo)二會進(jìn)行三角形內(nèi)切圓的有關(guān)計算例2 教材例6針對訓(xùn)練如圖2518，在ABC中，內(nèi)切圓I和邊BC，CA，AB分別相切于點D，F(xiàn)，E.求證：(1)FDE90A；(2)BIC90A.圖2518【歸納總結(jié)】三角形內(nèi)切圓的有關(guān)計算：(1)三角形的內(nèi)切圓與三角形的三邊都相切，因此三邊所在直線均是內(nèi)切圓的切線，連接圓心與切點，即可構(gòu)造直角三角形；圖2519(2)設(shè)三角形的內(nèi)心為I，則內(nèi)心I向三角形一邊張開的角的度數(shù)等于這邊的對角的一半加上90.即如圖2519，I90.例3 高頻考題如圖2520，在RtABC中，C90，AC3，BC4，AB5.O是ABC的內(nèi)切圓，與三邊分別相切于點E，F(xiàn)，G.(1)求證：內(nèi)切圓的半徑r1；(2)連接OA，求tanOAG的值圖2520【歸納總結(jié)】三角形內(nèi)切圓半徑的計算方法：(1)若三角形的三邊長分別為a，b，c，內(nèi)切圓的半徑為r內(nèi)，三角形的面積為S，則有：S(abc)r內(nèi)；r內(nèi).(2)直角三角形中，a，b為直角邊長，c為斜邊長，內(nèi)切圓半徑為r內(nèi)，則有r內(nèi).知識點三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心1三角形的內(nèi)切圓是指與三角形各邊都相切的圓；三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形_的交點，叫作三角形的內(nèi)心2(1)“內(nèi)切”“外切”只不過是相對位置的內(nèi)與外，“內(nèi)”是相對三角形而言，“外”是相對圓而言(2)正確區(qū)分三角形的外接圓與內(nèi)切圓、接與切、外心與內(nèi)心這三組概念：若三角形的三個頂點在圓上，則圓在三角形的外部，這個圓叫作三角形的外接圓若三角形的三邊都和圓相切，則圓在三角形的內(nèi)部，這個圓叫作三角形的內(nèi)切圓三角形的頂點都在圓上叫作 “接”，三角形的邊都與圓相切叫作“切”內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點，而外心是三角形三邊垂直平分線的交點3三角形的外接圓與內(nèi)切圓以及外心與內(nèi)心的性質(zhì)對比如下：圖形點O的名稱ABC的名稱圓心O的確定“心”的性質(zhì)ABC的外心O的內(nèi)接三角形三角形三邊垂直平分線的交點到三角形的三個頂點的距離相等ABC的內(nèi)心O的外切三角形三角形三條角平分線的交點到三角形三條邊的距離相等如圖2521，ABC是一張周長為17 cm的三角形紙片，BC5 cm，O是它的內(nèi)切圓，小明準(zhǔn)備用剪刀在O的右側(cè)沿著與O相切的任意一條直線MN剪下AMN，小明認(rèn)為剪下的三角形的周長隨直線MN的變化而變化你認(rèn)為他的看法正確嗎？如果你有不同的意見，請說出你的理由圖2521教師詳解詳析【目標(biāo)突破】例1解析 由題意可知三角形為正三角形，設(shè)計方案可根據(jù)內(nèi)切圓性質(zhì)及正三角形的性質(zhì)，在三角形內(nèi)作內(nèi)切圓使圓形花壇面積最大，然后由圓的性質(zhì)求出內(nèi)切圓的半徑，再求出其面積解：(1)要使花壇面積最大，需在ABC內(nèi)作一個內(nèi)切圓，則此圓面積最大，圖中的點P即為所求(2)如圖，過點P作PDBC，垂足為D，連接PB.由題意，知在RtBPD中，BD9米，PBD30，tan30，PDBDtan3093 ，花壇的面積為(3 )227(米2)例2解析 (1)欲證FDE90A，觀察圖形，聯(lián)想切線的性質(zhì)、圓周角定理、四邊形的內(nèi)角和定理，需連接IE，IF，則AEIAFI90.因此，在四邊形AEIF中，有EIF180A，所以FDEEIF(180A)，問題得證；(2)在IBC中，BIC180(12)因為BI，CI分別是ABC，ACB的平分線，所以1ABC，2ACB.再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論證明：(1)如圖，連接IE，IF.AB，AC是I的切線，AEIAFI90.AAEIEIFAFI360，AEIF180，EIF180A.FDEEIF，F(xiàn)DE(180A)，F(xiàn)DE90A.(2)點I是ABC的內(nèi)心，1ABC，2ACB.12BIC180，BIC180(ABCACB)ABCACB180A，BIC180(180A)，即BIC90A.例3解析 (1)如圖，連接OE，OF，OG.由O是ABC的內(nèi)切圓，C90，得到四邊形CEOF是正方形，根據(jù)切線長定理列方程得到結(jié)果；(2)連接OA，在RtAOG中，由銳角三角函數(shù)得到結(jié)果解：(1)證明：如圖，連接OE，OF，OG.O是ABC的內(nèi)切圓，C90，易證四邊形CEOF是正方形，CECFr.由切線長定理知AGAE3r，BGBF4r.AGBG5，(3r)(4r)5，解得r1.(2)連接OA.在RtAOG中，r1，AG3r2，tanOAG.備選目標(biāo)三角形的內(nèi)心與各頂點的連線平分三角形內(nèi)角性質(zhì)的應(yīng)用例如圖所示，O為RtABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，C90，ABc，ACb，BCa.設(shè)O的半徑為r.求證：r.解析 連接OA，OB，OC，則SABCSOACSOBCSOABACBC.證明：連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，則ODAC，OEBC，OFAB.ODOEOFr，SOACACODbr.同理SOBCar，SOABcr.SABCSOACSOBCSOAB(abc)r.又SABCACBCab，(abc)rab，r.歸納總結(jié) (1)內(nèi)心是三角形三個內(nèi)角平分線的交點，因此，內(nèi)心與各頂點的連線一定平分該內(nèi)角；內(nèi)心到各邊的距離相等，這個距離即是內(nèi)切圓的半徑(2)若在ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，內(nèi)切圓的半徑為r，由以上性質(zhì)可推出SABC(abc)r；直角三角形內(nèi)切圓的半徑r(a，b分別是直角三角形兩直角邊的長，c為斜邊長)【總結(jié)反思】小結(jié) 知識點1.三條角平分線反思 小明的看法錯誤，理由略