3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例,第3章離散傅里葉變換(DFT),一.引言,3.1離散傅里葉變換的定義,我們已經(jīng)學(xué)習了連續(xù)時間傅里葉變換、連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)、離散時間傅里葉變換，他們都是信號處理領(lǐng)域中重要的數(shù)學(xué)變換。本章討論離散傅里葉變換(DFT)，其開辟了頻域離散化的道路，使數(shù)字信號處理可以在頻域進行。DFT存在快速算法，使信號的實時處理得以實現(xiàn)。DFT不僅在理論上有重要意義，在各種信號處理中也起著核心作用。,二.四種信號傅里葉表示,(1)周期為T的連續(xù)時間周期信號,時域周期頻域離散。頻譜特點:離散非周期譜,(2)連續(xù)時間非周期信號,,時域非周期頻域連續(xù)。頻譜特點：連續(xù)非周期譜,(3)離散非周期信號,時域離散頻域周期。頻譜特點：周期為2?的連續(xù)譜,(4)周期為N的離散周期信號,時域離散周期頻域周期離散。頻譜特點:周期為N的離散譜,四種傅立葉變換:,時域,頻域,1.連續(xù)非周期連續(xù)非周期(?)FT2.連續(xù)周期離散非周期(?)FS3.離散非周期連續(xù)周期（）DTFT4.離散周期離散周期DFS,,,,,？,,切實理解四種FT之間的對應(yīng)關(guān)系,三.離散付里葉級數(shù)(DFS),為了便于更好地理解DFT的概念，先討論周期序列及其離散傅里葉級數(shù)（DFS）表示。然后討論可作為周期函數(shù)一個周期的有限長序列的離散傅里葉變換(DFT)。,周期序列,因為周期序列不滿足條件：。因此它的DTFT不存在。但是，正象連續(xù)時間周期信號可用傅氏級數(shù)表達，周期序列也可用離散的傅氏級數(shù)來表示。,(1)DFS定義,正變換：,反變換：,一般記：,(2)周期序列的離散傅里葉級數(shù)推導(dǎo),由,可以展成傅里葉級數(shù)：,？,將上式兩邊乘以，并對n在一個周期N上求和得,,令k=m,,令,依同樣方法可推出：,所以，時域上周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上仍是一個周期序列,(3)周期序列的傅里葉變換表示,因為周期序列不滿足條件：。因此它的DTFT不存在。但是，通過引入奇異函數(shù)δ其DTFT可以用公式表示。,四.離散付里葉變換,周期序列實際上只有有限個序列值才有意義，因而它的離散傅里葉級數(shù)表示式也適用于有限長序列,這就得到有限長序列的傅里葉變換(DFT)。,(1)時域周期序列看作是有限長序列x(n)的周期延拓,(2)頻域周期序列看作是有限長序列X(k)的周期延拓,(3)把周期序列DFS的定義式（時域、頻域）各取主值區(qū)間，就得到關(guān)于有限長序列時頻域的對應(yīng)變換對。（前面已證：時域上周期序列的離散傅里葉級數(shù)在頻域上仍是同周期序列）,具體而言，即：,(1)周期序列的主值區(qū)間與主值序列,對于周期序列，定義其第一個周期n=0~N-1，為的“主值區(qū)間”，主值區(qū)間上的序列為主值序列x(n)。,x(n)與的關(guān)系可描述為：,數(shù)學(xué)表示：,表示先對n進行模N運算，然后對所得結(jié)果進行函數(shù)運算,7,,,...,...,n,0,N-1,定義從n=0到(N-1)的第一個周期為主值序列或區(qū)間。,(2)從DFS到離散傅里葉變換,如果x(n)的長度為N，且，則可寫出的離散傅里葉級數(shù)表示為：,從上式可知，DFS，IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間進行。,因此可得到新的定義，即有限序列的離散傅氏變換(DFT)的定義。,有限長序列隱含著周期性。,(3)離散傅里葉變換的矩陣方程,例3.1.1x(n)=R4(n)，求x(n)的8點和16點DFT。,設(shè)變換區(qū)間N=8，則,解：DFT定義式為：,設(shè)變換區(qū)間N=16，則,比較上面二式可得關(guān)系式:,(4)DFT和Z變換的關(guān)系,序列x(n)的N點DFT是x(n)的Z變換在單位圓上的N點等間隔采樣,序列x(n)的N點DFT是x(n)的DTFT在[0，2π]上的N點等間隔采樣,圖3.1.1X(k)與X(z),X(ejω)的關(guān)系,3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì),一.基本概念,1.序列的圓周移位,序列x(n)，長度為N，則x(n)的圓周移位定義為：,圓周移位的實質(zhì)是將序列x(n)移位，移出主值區(qū)間的序列值又依次由另一側(cè)進入主值區(qū)。,循環(huán)移位過程：,circshift(a,[0,-1]),圖3.2.1循環(huán)移位過程示意圖,2.序列的圓周卷積,設(shè)和是兩個具有相同長度N的有限長序列(若不等，對序列補零使其為N點，)，定義圓周卷積：,圓周卷積過程：,圓周卷積的矩陣表示：,循環(huán)右移,圓周卷積與線性卷積比較：,有限長序列x1(n),0≤n≤N1-1;x2(n),0≤n≤N2-1則線性卷積為：,N(N≥max(N1,N2))點圓周卷積為：,,序列的N點圓周卷積是序列線性卷積(以N為周期)周期延拓序列的主值序列。故，當N≥[N1+N2-1]時，線性卷積與圓周卷積相同。,圖3.4.2線性卷積與圓周卷積,3.有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列,有限長共軛對稱序列和共軛反對稱序列分別定義為：,當N為偶數(shù)時，將上式中的n換成N/2-n可得到：,圖3.2.3共軛對稱與共軛反對稱序列示意圖,任何有限長序列x(n)都可以表示成其共軛對稱分量和共軛反對稱分量之和，即：,將上式中的n換成N-n，并取復(fù)共軛得：,(1)式減(2)式,(1)式加(2)式，并整理得：,二.線性性質(zhì),設(shè)x1(n)，x2(n)是長度為N的有限長序列。它們的N點DFT分別為：,三.時域圓周移位定理,證明：,四.頻域圓周移位定理,設(shè)和是兩個具有相同長度N的有限長序列，,五.時域圓周卷積定理,證明：,六.頻域循環(huán)卷積定理,七.復(fù)共軛序列的DFT,,八.DFT的共軛對稱性,如果x(n)的DFT為X(k),則x(n)的實部和虛部(包括j)的DFT分別為X(k)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量；而x(n)的共軛對稱分量和共軛反對稱分量的DFT分別為X(k)的實部和虛部乘以j,設(shè)x(n)為實序列，X(k)=DFT[x(n)]。則有:,(2)若x(n)=x(N-n)，則X(k)=X(N-k),(3)若x(n)=-x(N-n)，則X(k)=-X(N-k),對實序列進行DFT時，利用以上性質(zhì)可減少運算量，提高運算效率。,九、Parseval定理,證明：,(1)X(k)=X*(N-k),則：,,表明：一個序列在時域計算的能量與在頻域計算的能量是相等的,3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例,第3章離散傅里葉變換(DFT),3.3頻率域采樣,一.引言,(1)能否由頻域離散采樣X(k)恢復(fù)序列x(n)？,(2)能否由頻域抽樣X(k)恢復(fù)原頻率函數(shù)或X(z)？,(3)若能恢復(fù)其條件是什么？,與時域采樣相類比，我們提出以下幾個問題？,(4)如何推導(dǎo)內(nèi)插恢復(fù)公式?,若要回答這些問題，首先讓我們回想下時域樣定理確定采樣頻率的方法？,(1)計算時域采樣信號的頻譜,(2)分析時域采樣信號頻譜與原信號頻譜關(guān)系（以采樣頻率周期延拓）,(3)從而確定采樣頻率與被采樣信號頻譜這間關(guān)系，得到時域采樣定理,二.頻域采樣后能不失真恢復(fù)原序列的條件？,設(shè)的長度為（沒有限制）,欲恢復(fù)原信號，即,頻域采樣序列的離散付立葉逆變換:,由該式可知：是原序列的周期延拓，然后取主值,,,結(jié)論：若序列長度為M，頻域采樣點數(shù)（或DFT的長度）為N，且MN，會產(chǎn)生時域混疊頻域采樣后不能不失真地恢復(fù)原序列,,利用頻域采樣X(k)表示X(z),三.內(nèi)插公式,稱為內(nèi)插函數(shù),3.1離散傅里葉變換的定義3.2離散傅里葉變換的基本性質(zhì)3.3頻率域采樣3.4DFT的應(yīng)用舉例,第3章離散傅里葉變換(DFT),3.4DFT的應(yīng)用舉例,一.引言,DFT的應(yīng)用使數(shù)字信號處理可以在頻域進行，由于DFT的快速算法FFT的出現(xiàn)，使DFT在數(shù)字通信、語言信號處理、圖像處理、功率譜估計、仿真、系統(tǒng)分析、雷達理論、光學(xué)、醫(yī)學(xué)、地震以及數(shù)值分析等各個領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用。然而，各種應(yīng)用一般都以卷積和相關(guān)運算的具體處理為依據(jù)，或者以DFT作為連續(xù)FT的近似為基礎(chǔ)。,二、用DFT計算線性卷積,(1)DFT計算循環(huán)卷積,可用上式計算循環(huán)卷積。從另一方面看：,所以，可按下面的計算框圖從頻域計算循環(huán)卷積,圖3.4.1用DFT計算循環(huán)卷積,很多情況下需要計算兩個序列的線性卷積，為了提高運算速度，希望用DFT(FFT)計算。而DFT只能直接用來計算循環(huán)卷積，什么時候循環(huán)卷積與線性卷積相等呢？,循環(huán)卷積與線性卷積相等條件：L≥M+N-1。所以，如果取L=M+N-1，則可用DFT（FFT）計算線性卷積。計算框圖如下：,圖3.4.3用DFT計算線性卷積框圖,(2)DFT計算線性卷積,(2)長序列的分段卷積,沒有全部進入，如何實現(xiàn)卷積，全部進入再卷積，又如何保證實時實現(xiàn)？,數(shù)字信號處理的優(yōu)勢是“實時實現(xiàn)”，即信號進來后，經(jīng)處理后馬上輸出出去。然而：,？,較短（FIR：長度在20～50之間），可能很長，也不適宜直接卷積。,另外：,解決方法：分段卷積,設(shè)序列h(n)長度為N，x(n)為無限長。將x(n)均勻分段，每段長度取M，則:,重疊相加法,,,,,分段卷積重疊,分段卷積相加,,圖3.4.4重疊相加法卷積示意圖,三、用DFT對信號進行譜分析,1.用DFT對連續(xù)信號進行譜分析,●若信號持續(xù)時間有限長，則其頻譜無限寬。若信號的頻譜有限寬，則其持續(xù)時間無限長。,●按采樣定理采樣時，以上兩種情況的采樣序列均應(yīng)無限長，不滿足DFT條件。,●所以，對頻譜很寬的信號一般用預(yù)濾波法濾除幅度較小的高頻成分。對持續(xù)時間很長的信號只好截取有限點進行DFT。,●所以，用DFT對連續(xù)信號進行譜分析必然是近似的，近似程序與信號帶寬、采樣頻率和截取長度有關(guān)。,●實際上從工程角度，濾除幅度很小的高頻成分和截去幅度很小的部分時間信號是允許的。,假設(shè)xa(t)是經(jīng)過預(yù)濾波和截取處理的有限長帶限信號。以下分析連續(xù)信號頻譜特性的DFT近似。,設(shè)xa(t)持續(xù)時間為Tp，最高頻率為fc。其傅立葉變換為：,共采樣N點，則Tp=NT。并對表示Xa(jf)的積分作零階近似(t=nT,dt=T)得：,,對X(jf)在區(qū)間[0,fs]上等間隔采樣N點,采樣間隔為F。,同理，由,可推出,,,連續(xù)信號的頻譜特性可以通過對連續(xù)信號采樣并進行DFT再乘以T來近似。,柵欄效應(yīng)：DFT逼近連續(xù)時間信號的傅里葉變換,其頻譜將不再是連續(xù)函數(shù)。只能看到N個離散采樣點的譜特性。,由以上分析可以看出利用DFT對連續(xù)信號進行譜分析，最主要的兩個問題就是：1、譜分析范圍；2、頻率分辨率。,(1)譜分析范圍,指信號的最高頻率fc，受采樣定理限制。fc<fs/2,(2)頻率分辨率（物理分辨率，計算分辨率）,指將信號中兩個靠的很近的譜峰區(qū)分開的能力，用頻率采樣間隔F描述。F=fs/N（矩形窗情況）,(3)譜分析參數(shù)確定,N不變，要提高頻率分辨率，必須降低fs，會導(dǎo)致譜分析范圍減小。同時T增大，因NT=Tp，故Tp增大。,fs不變，要提高頻率分辨率，必須增加N。因NT=Tp，T=1/fs，故Tp必須增加。,因此，若要增加頻率分辨率必須增加信號記錄時間Tp,,頻率分辨率：通過頻域窗觀察到的頻率寬度；也可定義為將信號中兩個靠的很近的譜峰區(qū)分開的能力,時間分辨率：通過時域窗觀察到的時間寬度；,希望：窗函數(shù)的“寬度”越小越好,窗口在時域無窮大，在頻域無窮小,時域加窗后，窗口由時域窗長決定。在頻域，窗口由主瓣寬度決定，主瓣寬度決定頻率分辨率（物理分辨率）。距離小于主瓣寬度的兩個頻率無法區(qū)分開。,例：,試確定將三個譜峰分開所需要的數(shù)據(jù)的長度。,在本例中，最小的,即要想分辨出這三個譜峰，數(shù)據(jù)的長度至少要大于500，從DFT的角度看，若令N=512，則：,下圖，N分別等于256和512，可見，N=256時無法分辨三個譜峰。,例3.4.1對實信號進行譜分析，要求譜分辨率F≤10Hz，信號最高頻率fc=2.5kHz，試確定最小記錄時間TPmin，最大的采樣間隔Tmax，最少的采樣點數(shù)Nmin。如果fc不變，要求譜分辨率增加一倍，最少的采樣點N和最小的記錄時間是多少?,解：,譜分辨率增加一倍，F(xiàn)=5Hz,2.用DFT對序列進行譜分析,序列x(n)的N點DFT是x(n)的DTFT在[0,2π]上的N點等間隔采樣。因此序列的傅立葉變換可利用DFT來計算。,DFT是由周期序列DFS取主值區(qū)間得到的一種變換。因此，DFT可用于周期序列的譜結(jié)構(gòu)分析。,DFT進行譜分析的步驟：,DFT和線性卷積是信號處理中兩個最重要的基本運算，有快速算法，且二者是“相通”的。,DFT實現(xiàn)連續(xù)信號譜分析的過程,3.用DFT進行譜分析的誤差問題,(1)混疊現(xiàn)象,(2)柵欄效應(yīng),(3)截斷效應(yīng),周期延拓,(1)混疊現(xiàn)象,●實際應(yīng)用中，通常取fs=(3~5)fh種。對fs確定情況，一般在采樣前進行預(yù)濾波，濾除高于折疊頻率fs/2的頻率成分，以免發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。,●如果采樣頻率fs小于連續(xù)信號最高頻率fh，會在ω=π處發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象，對于模擬頻率，即在fs/2附近發(fā)生頻譜混疊現(xiàn)象。,●用DFT對連續(xù)信號進行譜分析，首先要按采樣定理對其采樣。,(2)柵欄效應(yīng),N點DFT是在頻率區(qū)間[0，2π]上對信號的頻譜進行N點等間隔采樣，而采樣點之間頻譜函數(shù)值是不知道的。,用DFT計算頻譜,就如通過一個柵欄觀看信號的頻譜情況，僅得到柵欄縫隙中看到的頻譜函數(shù)值。,由于柵欄效應(yīng)，有可能漏掉（擋?。┐蟮念l譜分量。,可以采用在原序列尾部補零的方法改變DFT變換區(qū)間長度，使原來漏掉的頻譜分量被檢測出來。,補零的方法能使柵欄效應(yīng)得到改善（計算分辨率提高），但不能改變頻率分辨率（物理分辨率），即原來無法分開的兩個頻率，并不能通過補零而分開。,(3)截斷效應(yīng),●序列可能是無限長的，用DFT對其進行譜分析時必須截短成有限長序列。,●截斷后序列的頻譜與原序列頻譜必然有差別，這種差別對譜分析的影響主要有：,①泄漏，原來譜分量為零的地方出現(xiàn)了譜分量,②譜間干擾，由于窗旁瓣的存在，引起不同頻率分量間的干擾。,增加矩形窗的窗長N，可使其主瓣變窄，提高頻率分辨率，但旁瓣個數(shù)和相對幅度并不減小。所以，為了減小譜間干擾，應(yīng)用其它形狀的窗函數(shù)代替矩形窗。在FIR濾波器設(shè)計中對窗函數(shù)進行研究。,截短影響分析：,由上式可知，截斷效應(yīng)是由于窗譜與信號譜卷積造成的。,四、線性調(diào)頻Z變換,1、引言,ZT與DFT關(guān)系,？,若分析窄帶信號，我們當然希望在信號頻帶內(nèi)進行密集采樣。以很好的反映信號的頻域性質(zhì)。,系統(tǒng)零極點分析時，希望清楚的識別出極點對應(yīng)的頻率。但當極點位置離單位圓較遠時，就需要抽樣點在接近這些極點的曲線上。,如何解決DFT信號分析存在的以上問題呢？,2、Chirp-Z變換（CZT）,圖3.4.9Chirpz變換計算框圖,Chirpz變換計算框圖中的：,式中A0和W0為實數(shù)。zk為分析點,k=0,1,…,M-1。當k=0時有：,所以，A決定譜分析的起始點位置，W0決定分析路徑的盤旋趨勢，表示兩相鄰分析點之間的夾角。,3、如何得到Chirp-Z變換,,,4、Chirp-Z變換步驟,(2),(3),(5)計算,(6),(7),(4),(1),與標準DFT(FFT)算法相比較，Chirp-Z變換有以下特點：(1)輸入序列長度N和輸出序列長度不需要相等，且二者均可以素數(shù)。(2)分析頻率點zk的起始點z0及相鄰兩點的夾角φ0是任意的(即頻率分辨率是任意的)，因此可從任意頻率上開始，對輸入數(shù)據(jù)進行窄帶高分辨率的譜分析。(3)譜分析路徑可以是螺旋形的。(4)當A=1，M=N，時，zk均勻分布在單位圓上，此時Chirp-Z變換就是序列的DFT。,