課時(shí)訓(xùn)練(十五)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)(二)(限時(shí):50分鐘)|夯實(shí)基礎(chǔ)|1.xx畢節(jié) 將拋物線y=x2向左平移2個(gè)單位,再向下平移5個(gè)單位,平移后所得新拋物線的表達(dá)式為()A.y=(x+2)2-5B.y=(x+2)2+5C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+52.已知拋物線y=x2-x-1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(m,0),則代數(shù)式m2-m+xx的值為()A.xxB.xxC.xxD.20193.xx棗莊 已知函數(shù)y=ax2-2ax-1(a是常數(shù),a0),下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng)a=1時(shí),函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1,1)B.當(dāng)a=-2時(shí),函數(shù)圖象與x軸沒有交點(diǎn)C.若a<0,函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在x軸的下方D.若a>0,則當(dāng)x1時(shí),y隨x的增大而增大4.若拋物線y=x2+2x+m-1與x軸有交點(diǎn),則m的取值范圍是()A.m2B.m<-2C.m>2D.0<m25.若二次函數(shù)y=x2+mx圖象的對稱軸是直線x=2,則關(guān)于x的方程x2+mx=5的解為()A.x1=1,x2=5B.x1=1,x2=3C.x1=1,x2=-5D.x1=-1,x2=56.二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象如圖K15-1,若一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根,則m的最大值為()圖K15-1A.-3B.3C.-6D.97.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖K15-2所示,則|a-b+c|+|2a+b|=()圖K15-2A.a+bB.a-2bC.a-bD.3a8.若二次函數(shù)y=x2+2x+m的圖象與x軸沒有公共點(diǎn),則m的取值范圍是.9.xx淮安 將二次函數(shù)y=x2-1的圖象向上平移3個(gè)單位長度,得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式是.10.xx株洲 如圖K15-3,二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對稱軸在y軸的右側(cè),其圖象與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),點(diǎn)C(x2,0),且與y軸交于點(diǎn)B(0,-2),小強(qiáng)得到以下結(jié)論:0<a<2;-1<b<0;c=-1;當(dāng)|a|=|b|時(shí),x2>5-1.以上結(jié)論中,正確的結(jié)論序號是.圖K15-311.已知拋物線y=(x-m)2-(x-m),其中m是常數(shù).(1)求證:不論m為何值,該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn).(2)若該拋物線的對稱軸為直線x=52.求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;把該拋物線沿y軸向上平移多少個(gè)單位后,得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)?|拓展提升|12.xx永州 如圖K15-4,拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),拋物線與x軸相交于B,C兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)E(0,3).(1)求拋物線的表達(dá)式.(2)已知點(diǎn)F(0,-3),在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)G,使得EG+FG最小?如果存在,求出點(diǎn)G的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.(3)如圖K15-4,連接AB,若點(diǎn)P是線段OE上的一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作線段AB的垂線,分別與線段AB、拋物線相交于點(diǎn)M,N(點(diǎn)M,N都在拋物線對稱軸的右側(cè)),當(dāng)MN最大時(shí),求PON的面積.圖K15-413.xx懷化 如圖K15-5,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn).(1)求拋物線的表達(dá)式和直線AC的表達(dá)式.(2)請?jiān)趛軸上找一點(diǎn)M,使BDM的周長最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo).(3)試探究:在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使以點(diǎn)A,P,C為頂點(diǎn),AC為直角邊的三角形是直角三角形?若存在,請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.圖K15-5參考答案1.A2.D解析 拋物線y=x2-x-1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(m,0),m2-m-1=0,m2-m=1,m2-m+xx=1+xx=2019.3.D解析 將a=1代入原函數(shù)表達(dá)式,令x=-1,求出y=2,由此得出A選項(xiàng)不符合題意;將a=-2代入原函數(shù)表達(dá)式,得y=-2x2+4x-1,令y=0,根據(jù)根的判別式=8>0,可得出當(dāng)a=-2時(shí),函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),即B選項(xiàng)不符合題意;利用公式法找出二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo),令其縱坐標(biāo)小于零,可得出a的取值范圍,由此可得出C選項(xiàng)不符合題意;利用公式法找出二次函數(shù)圖象的對稱軸,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),即可得出D選項(xiàng)符合題意.4.A解析 由題意可知=4-4(m-1)0,m2,故選A.5.D解析 二次函數(shù)y=x2+mx圖象的對稱軸是直線x=2,-m2=2,解得m=-4,關(guān)于x的方程x2+mx=5可化為x2-4x-5=0,即(x+1)(x-5)=0,解得x1=-1,x2=5.6.B解析 拋物線的開口向上,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3,a>0,-b24a=-3,即b2=12a.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+m=0有實(shí)數(shù)根,=b2-4am0,即12a-4am0,即12-4m0,解得m3,m的最大值為3.7.D解析 根據(jù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可知,a>0,又拋物線過坐標(biāo)原點(diǎn),c=0.拋物線的對稱軸為直線x=-b2a,0<-b2a<1,解得-2a<b<0,|a-b+c|=a-b,|2a+b|=2a+b,|a-b+c|+|2a+b|=a-b+2a+b=3a.8.m>1解析 根據(jù)拋物線y=x2+2x+m與x軸沒有公共點(diǎn)可知,方程x2+2x+m=0沒有實(shí)數(shù)根,判別式=22-41m<0,m>1.9.y=x2+210.解析 由圖象可知拋物線開口向上,a>0,由拋物線經(jīng)過A(-1,0),B(0,-2),對稱軸在y軸的右側(cè)可得a-b+c=0,c=-2,-b2a>0,由此可得a-b=2,b<0,故a=2+b<2,綜合可知0<a<2.將a=b+2代入0<a<2中,得0<b+2<2,可得-2<b<0.當(dāng)|a|=|b|時(shí),因?yàn)閍>0,b<0,故有a=-b.又a-b=2,可得a=1,b=-1,故原函數(shù)為y=x2-x-2,當(dāng)y=0時(shí),即有x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2,x2=2>5-1.故答案為.11.解:(1)證明:y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+1)x+m2+m,=(2m+1)2-4(m2+m)=1>0,不論m為何值,該拋物線與x軸一定有兩個(gè)公共點(diǎn).(2)x=-(2m+1)2=52,m=2,拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-5x+6.設(shè)拋物線沿y軸向上平移k個(gè)單位后,得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),則平移后拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=x2-5x+6+k.拋物線y=x2-5x+6+k與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn),=25-4(6+k)=0,k=14,即把該拋物線沿y軸向上平移14個(gè)單位后,得到的拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn).12.解:(1)設(shè)所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a(x-1)2+4,拋物線與y軸交于點(diǎn)E(0,3),a(0-1)2+4=3,解得a=-1,所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.(2)存在一點(diǎn)G,使得EG+FG最小.拋物線的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4),與點(diǎn)E(0,3)關(guān)于拋物線對稱軸x=1成軸對稱的點(diǎn)為E(2,3).如圖,連接EF,設(shè)直線EF的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,2k+b=3,b=-3,解得k=3,b=-3,即y=3x-3,當(dāng)x=1時(shí),y=0,即點(diǎn)G(1,0),使得EG+FG最小.(3)如圖,連接AN,BN,過點(diǎn)N作NTy軸交AB,x軸分別于點(diǎn)S,T.在y=-x2+2x+3中,當(dāng)y=0時(shí),x1=-1,x2=3,則B(3,0).A(1,4),B(3,0),AB=25.設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+t,m+t=4,3m+t=0,解得m=-2,t=6,即y=-2x+6.設(shè)N(n,-n2+2n+3),則S(n,-2n+6),NS=-n2+4n-3.SABN=SANS+SBNS,12ABMN=12NS(3-1),MN=55(-n2+4n-3)=-55(n2-4n+3)=-55(n-2)2+55,當(dāng)n=2,即N(2,3)時(shí),MN最大,為55.PNAB,設(shè)直線PN的函數(shù)表達(dá)式為y=12x+c,且N(2,3),c=2,則y=12x+2,點(diǎn)P(0,2),SOPN=12OPxN=1222=2.13.解析 (1)利用待定系數(shù)法求拋物線和直線的表達(dá)式.(2)根據(jù)軸對稱確定最短路線問題,作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D1,連接BD1,BD1與y軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M,然后求出直線BD1的表達(dá)式,再求解即可.(3)可分兩種情況(以C為直角頂點(diǎn),以A為直角頂點(diǎn))討論,然后根據(jù)兩直線垂直的關(guān)系求出P點(diǎn)所在直線的表達(dá)式,將直線和拋物線的表達(dá)式聯(lián)立求出點(diǎn)P的坐標(biāo).解:(1)將點(diǎn)A(-1,0)和B(3,0)的坐標(biāo)代入拋物線y=ax2+2x+c中,可得a-2+c=0,9a+6+c=0,解得a=-1,c=3,拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3.令x=0,則y=3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b,則-k+b=0,b=3,解得k=3,b=3.直線AC的表達(dá)式為y=3x+3.(2)如圖,作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)D1,連接BD1交y軸于點(diǎn)M,則點(diǎn)M即為所求.由拋物線表達(dá)式可得D點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,4),則D1的坐標(biāo)為(-1,4).設(shè)直線BD1的表達(dá)式為y=k1x+b1,則3k1+b1=0,-k1+b1=4,解得k1=-1,b1=3,則直線BD1的表達(dá)式為y=-x+3,令x=0可得y=3,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,3).(3)存在.如圖,當(dāng)ACP以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時(shí),易得直線CP的表達(dá)式為y=-13x+3.由y=-13x+3,y=-x2+2x+3,得x1=0,y1=3(舍去)x2=73,y2=209,P點(diǎn)坐標(biāo)為73,209.如圖,當(dāng)ACP是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí),易得直線AP的表達(dá)式為y=-13x-13.由y=-13x-13,y=-x2+2x+3,得x1=-1,y1=0(舍去)x2=103,y2=-139,P點(diǎn)坐標(biāo)為103,-139.綜上,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為73,209或103,-139.