經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)中的諧振子,學(xué)生姓名：辛**指導(dǎo)教師：陳**,1.經(jīng)典力學(xué)中的諧振子,1.1簡諧振子1.2受驅(qū)諧振子1.3阻尼諧振子1.4受驅(qū)阻尼振子1.5完整數(shù)學(xué)描述1.6經(jīng)典諧振子的計算,1.1簡諧振子,簡諧振子不受驅(qū)動力和摩擦力，其合力為：由牛頓第二定律，且加速度等于x對t的二次微分導(dǎo)數(shù)，得：若定義，則方程可以寫為：其一般解為：,,,,,,,1.2受驅(qū)諧振子,一受驅(qū)諧振子滿足如下非齊次二階線性微分方程：其中A0是驅(qū)動振幅，ω是驅(qū)動頻率，針對的是一弦波式的驅(qū)動機制。這樣的系統(tǒng)出現(xiàn)在交流LC（電感L-電容C）電路以及理想化的彈簧系統(tǒng)（沒有內(nèi)部力學(xué)阻力或外部的空氣阻力）。,,1.3阻尼諧振子,阻尼諧振子滿足如下二階微分方程：其中b是阻尼常數(shù)，滿足關(guān)系式。滿足此方程的一個例子為置于水中的加權(quán)彈簧，假設(shè)水所施的阻尼力與速度v呈線性比例關(guān)系。,,,1.4受驅(qū)阻尼振子,受驅(qū)阻尼振子滿足方程:其一般解為兩個解的和，一個為暫態(tài)解,與初始條件相關(guān)；另一個為穩(wěn)態(tài)解為：總結(jié)來說，在穩(wěn)態(tài)時，振動頻率等同于驅(qū)動力的頻率,但振動與驅(qū)動力在相位上有偏移，且振幅大小與驅(qū)動頻率相關(guān)；當驅(qū)動頻率與振動系統(tǒng)偏好（共振）頻率相同時，振幅達到最大。,,,1.5完整數(shù)學(xué)描述,多數(shù)諧振子，基本上滿足以下的微分方程：其中t是時間，b是阻尼常數(shù)，是本征角頻率，而代表驅(qū)動系統(tǒng)的某種事物，其振幅為，角頻率為ω，x是進行振蕩的被測量量，可以是位置、電流或其他任何可能的物理量。角頻率與頻率f有關(guān)，關(guān)系式為：,,,,1.6經(jīng)典諧振子的計算,一質(zhì)量為m的質(zhì)點沿ox軸運動，它所受到的回復(fù)力可從勢函數(shù)的微商得到。勢函數(shù)為：力的表達式為：i是沿ox軸的單位矢量。運動方程可以寫成：,,,,令，上式可變?yōu)椋浩浣饩哂邢铝行问剑核硎疽粋€正弦運動，其振幅為，相位為，角頻率為，相應(yīng)的頻率是：只與質(zhì)點的質(zhì)量m和恢復(fù)力常數(shù)k有關(guān)，而振幅和相位都與運動初始條件有關(guān)。振子的總能量：,,,,,,,動能和勢能的表達式為：由上兩式可知：當時，勢能有最小值0，而此時動能具有最大值；而當時，勢能具有最大值，而此時動能值最小為0。顯然總能量在運動中是不變的，即,,,,,,,,進一步，對于經(jīng)典振子：經(jīng)典振子的速度v為：利用，且已知：其中為振幅，平衡點為原點。當時，由上式知，此時經(jīng)典振子的速度v有最大值，即經(jīng)典振子在X=0處逗留時間最短，出現(xiàn)的幾率最小。,,,,,,,,,,2.量子力學(xué)中的諧振子,2.1一維諧振子2.1.1哈密頓算符與能量本征態(tài)2.1.2階梯算符方法2.1.3自然長度與自然能量2.2三維諧振子2.3諧振子的相干態(tài)2.3.1降算符的本征態(tài)2.3.2相干態(tài)的性質(zhì),2.1一維諧振子,2.1.1哈密頓算符和能量本征態(tài)一維諧振子的哈密頓量為：用冪級數(shù)方法在座標基底下解定態(tài)薛定諤方程：得到的諧振子的能級為：引入厄米多項式，我們最后得到諧振子對應(yīng)于能量本征值的能量本征函數(shù)為：,,,,,,2.1.2階梯算符方法首先，我們定義算符與其伴隨算符：利用可觀測量算符x、p可以被表示為階梯算符的線性組合：由x、p正則對易關(guān)系，并引進厄米算符，證明等式：得：表示態(tài)的能量本征值為：,,,,,,,,,2.1.3自然長度與自然能量量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度，可以用來簡化問題。這可以透過無量綱化來實現(xiàn)。如果我們以為單位來測量能量，以及為單位來測量距離，則薛定諤方程變成：且能量本征態(tài)與本征值變成：,,,,,,2.2三維諧振子,三位諧振子的能量本征值方程為：其中為諧振子的勢。引進無量綱參數(shù)整理得體系的能量本征值：其基態(tài)能量：,,,,,,2.3諧振子的相干態(tài),2.3.1降算符的本征態(tài)做一維運動的粒子，坐標與動量的差方平均值滿足下列不確定關(guān)系：對于線諧振子而言，在粒子數(shù)表象中，基態(tài)下的不確定關(guān)系為：而是降算符的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為0，即于是，可以推測降算符的本征態(tài)為最小不確定態(tài)，即相干態(tài)。經(jīng)計算，得到的降算符的本征態(tài)為：,,,,,,,,2.3.2相干態(tài)的性質(zhì),3.經(jīng)典諧振子與量子諧振子的區(qū)別,3.1能級3.1.1能量取值點3.1.2零點能3.2波函數(shù),3.1能級,3.1.1能量取值點由式可知經(jīng)典諧振子的能量取值是連續(xù)的；而由式可知量子諧振子的取值不是連續(xù)的，是分立的，即是量子化的，其中n為量子數(shù)。而且量子諧振子的能級是等間距的，間距是。能量取分立值是由于微觀粒子具有波粒二象性這一量子特征。,,,,3.1.2零點能由式可知當時，經(jīng)典諧振子的最低動能為零；而由式可知，量子諧振子在基態(tài)的能量不為零。即當n=0時，,被稱為零點能。它與無限勢阱總粒子的基態(tài)能量（n=1,2,3…….）不為零是很相似的，這是一種量子效應(yīng),也是由于微觀粒子具有波粒二象性。,,,,,,,3.2波函數(shù),在量子力學(xué)中波函數(shù)本身無意義，但波函數(shù)的絕對值平方與粒子在空間某點出現(xiàn)的幾率成正比。其相應(yīng)的幾率密度為：看出經(jīng)典與量子的兩處不同：a.容易看出其在x=0處，概率擁有最大值：；而經(jīng)典諧振子中，由于在x=0處的速度最大，所以其出現(xiàn)幾率最小。,,,,,b.當經(jīng)典諧振子的能量為時，經(jīng)典回轉(zhuǎn)點，經(jīng)典振子只能處于的區(qū)域中。應(yīng)該在處，勢能，即等于總能量。在這點速度減慢為零，不能再繼續(xù)往外跑。而按照量子力學(xué)計算，粒子在的區(qū)域，仍有不為零的幾率。,,,,,,,致謝,