課時訓練(十五)二次函數(shù)與一元二次方程及不等式(限時:30分鐘)|夯實基礎|1. xx無錫梁溪區(qū)初三模擬 已知m,n(m<n)是關(guān)于x的方程(x-a)(x-b)=2的兩根,若a<b,則下列判斷正確的是() A. a<m<b<nB. m<a<n<b C. a<m<n<bD. m<a<b<n2. 如圖K15-1,已知頂點為(-3,-6)的拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(-1,-4). 則下列結(jié)論中錯誤的是()圖K15-1 A. b2>4ac B. ax2+bx+c-6 C. 若點(-2,m),(-5,n)在拋物線上,則m>n D. 關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的兩根為-5和-13. 若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象經(jīng)過點(2,0),且其對稱軸為直線x=-1,則使函數(shù)值y>0成立的x的取值范圍是 () A. x<-4或x>2B. -4x2 C. x-4或x2D. -4<x<24. 若函數(shù)y=(a-1)x2-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點,則a的值為. 5. 函數(shù)y=x2+2x+1,當y=0時,x=;當1<x<2時,y隨x的增大而(填寫“增大”或“減小”). 6. 關(guān)于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的兩個不相等的實數(shù)根都在-1和0之間(不包括-1和0),則a的取值范圍 是. 7. xx樂山 已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+(1-5m)x-5=0(m0). (1)求證:無論m為任何非零實數(shù),此方程總有兩個實數(shù)根; (2)若拋物線y=mx2+(1-5m)x-5與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點,且|x1-x2|=6,求m的值; (3)若m>0,點P(a,b)與Q(a+n,b)在(2)中的拋物線上(點P,Q不重合),求代數(shù)式4a2-n2+8n的值. 8. xx北京 在平面直角坐標系xOy中,直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A,將點 B向右平移5個單位長度,得到點C. (1)求點C的坐標; (2)求拋物線的對稱軸; (3)若拋物線與線段BC恰有一個公共點,結(jié)合函數(shù)圖象,求a的取值范圍. 9. xx南京 已知二次函數(shù)y=2(x-1)(x-m-3)(m為常數(shù)). (1)求證:不論m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點; (2)當m取什么值時,該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸的上方?|拓展提升|10. xx貴陽 已知二次函數(shù)y=-x2+x+6及一次函數(shù)y=-x+m,將該二次函數(shù)在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方, 圖象的其余部分不變,得到一個新函數(shù)(如圖K15-2所示),當直線y=-x+m與新圖象有4個交點時,m的取值范圍是 ()圖K15-2 A. -254<m<3B. -254<m<2 C. -2<m<3D. -6<m<-211. xx日照 在平面直角坐標系中,我們把橫、縱坐標均為整數(shù)的點叫做整點. 已知反比例函數(shù)y=mx(m<0)的圖象與 y=x2-4的圖象在第四象限內(nèi)圍成的封閉圖形(包括邊界)內(nèi)的整點的個數(shù)為2,則實數(shù)m的取值范圍為. 12. xx舟山 已知,點M為二次函數(shù)y=-(x-b)2+4b+1圖象的頂點,直線y=mx+5分別交x軸正半軸,y軸于點A,B. (1)判斷頂點M是否在直線y=4x+1上,并說明理由. (2)如圖,若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點A,B,且mx+5>-(x-b)2+4b+1. 根據(jù)圖象,寫出x的取值范圍. (3)如圖,點A坐標為(5,0),點M在AOB內(nèi),若點C14,y1,D34,y2都在二次函數(shù)圖象上,試比較y1與y2的大小. 圖K15-3參考答案1. D2. C解析 點(-2,m)關(guān)于對稱軸的對稱點是(-4,m),在對稱軸x=-3左側(cè),圖象從左向右下降,所以點(-5,n)在點(-4,m)的上方,所以n>m,故選C. 3. D解析 根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,0),且對稱軸為直線x=-1,可得函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為(-4,0),由于a<0,所以拋物線開口向下,當y>0時,函數(shù)圖象在x軸上方,由圖象可知x的取值范圍是-4<x<2,故選D. 4. -1或2或1解析 函數(shù)y=(a-1)x2-4x+2a的圖象與x軸有且只有一個交點,當函數(shù)為二次函數(shù)時,b2-4ac=16-4(a-1)2a=0,解得a1=-1,a2=2,當函數(shù)為一次函數(shù)時,a-1=0,解得a=1. 故答案為-1或2或1. 5. -1增大解析 當y=0時,即x2+2x+1=0,解得x1=x2=-1,可得二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=-1. 因為二次項系數(shù)a=1>0,所以拋物線開口向上,在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大. 故答案為-1增大. 6. -94<a<-2解析 ax2-3x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根,=9+4a>0. a>-94. 又兩個不相等的實數(shù)根都在-1和0之間,當x=-1和x=0時的函數(shù)y=ax2-3x-1的值同號. 當x=-1時,y=a+2;當x=0時,y=-1. a+2<0,即a<-2. 綜上所述a的取值范圍為-94<a<-2. 7. 解:(1)證明:由題意得:=(1-5m)2-4m(-5)=(5m+1)20,無論m為任何非零實數(shù),此方程總有兩個實數(shù)根. (2)解方程mx2+(1-5m)x-5=0,得x1=-1m,x2=5. 由|x1-x2|=6,得-1m-5=6. 解得m=1或m=-111. (3)由(2)得,當m>0時,m=1. 此時拋物線解析式為y=x2-4x-5,其對稱軸為直線x=2. 由題意知,P,Q關(guān)于直線x=2對稱. a+a+n2=2,2a=4-n. 4a2-n2+8n=(4-n)2-n2+8n=16. 8. 解:(1)直線y=4x+4與x軸、y軸分別交于點A,B,A(-1,0),B(0,4). 將點B向右平移5個單位長度,得到點C,C(0+5,4),即C(5,4). (2)拋物線y=ax2+bx-3a經(jīng)過點A,a-b-3a=0. b=-2a. 拋物線的對稱軸為直線x=-b2a=-2a2a=1,即對稱軸為直線x=1. (3)易知拋物線過點(-1,0),(3,0). 若a>0,如圖所示,易知拋物線過點(5,12a),若拋物線與線段BC恰有一個公共點,滿足12a4即可,可知a的取值范圍是a13. 若a<0,如圖所示,易知拋物線與y軸交于(0,-3a),要使該拋物線與線段BC只有一個公共點,就必須-3a>4,此時a<-43. 若拋物線的頂點在線段BC上,此時頂點坐標為(1,4),從而解析式為y=a(x-1)2+4,將A(-1,0)代入,解得a=-1,如圖所示:綜上,a的取值范圍是a13或a<-43或a=-1. 9. 解:(1)證明:當y=0時,2(x-1)(x-m-3)=0,解得x1=1,x2=m+3. 當m+3=1,即m=-2時,方程有兩個相等的實數(shù)根;當m+31,即m-2時,方程有兩個不相等的實數(shù)根. 所以,不論m為何值,該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點. (2)當x=0時,y=2m+6,即該函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標是2m+6. 當2m+6>0,即m>-3時,該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸的上方. 10. D解析 在拋物線y=-x2+x+6中,令y=0時,即-x2+x+6=0,解得x1=-2,x2=3,即拋物線y=-x2+x+6與x軸交點坐標分別為(-2,0),(3,0). 拋物線y=-x2+x+6沿x軸翻折到x軸下方,此時新拋物線y=x2-x-6(y<0)與y軸交點坐標為(0,-6). 當直線y=-x+m過(-2,0),(0,-2)時,m=-2. 此時直線y=-x+m與x軸下方圖象只有三個交點. 如圖所示,要使直線y=-x+m與新圖象有4個交點,需y=-x+m與y=x2-x-6有兩個交點,則-x+m=x2-x-6有兩個不同解,整理得x2=m+6,所以m>-6時,直線y=-x+m與拋物線y=x2-x-6有兩個交點,m的取值范圍是-6<m<-2. 11. -2m<-1解析 當x=1時,y=x2-4=1-4=-3. 所以在第四象限內(nèi)在二次函數(shù)y=x2-4的圖象上和圖象上方的整點有3個,坐標為(1,-1),(1,-2),(1,-3). 當反比例函數(shù)y=mx(m<0)的圖象經(jīng)過點(1,-2),即m=xy=-2時,在第四象限內(nèi)圍成的封閉圖形(包括邊界)內(nèi)的整點的個數(shù)為2個,當反比例函數(shù)y=mx(m<0)的圖象經(jīng)過點(1,-1),即m=xy=-1時,在第四象限內(nèi)圍成的封閉圖形(包括邊界)內(nèi)的整點的個數(shù)為3個,在第四象限內(nèi)圍成的封閉圖形(包括邊界)內(nèi)的整點的個數(shù)為2,m的取值范圍為-2m<-1. 12. 解析 (1)根據(jù)二次函數(shù)頂點式可以知道M(b,4b+1),將坐標代入y=4x+1,問題得解;(2)由題意知B(0,5),二次函數(shù)圖象過點B,代入解析式可求得b的值,求得A點坐標,再利用函數(shù)圖象比較大小;(3)先通過點M在AOB內(nèi)得到b的取值范圍,再根據(jù)拋物線的對稱性和增減性解決y1,y2大小關(guān)系. 解:(1)點M坐標是(b,4b+1),把x=b代入y=4x+1,得y=4b+1,點M在直線y=4x+1上. (2)如圖,直線y=mx+5與y軸交于點B,點B坐標為(0,5). 又B(0,5)在拋物線上,5=-(0-b)2+4b+1,解得b1=b2=2,二次函數(shù)的表達式為y=-(x-2)2+9,當y=0時,得x1=5,x2=-1. A(5,0). 觀察圖象可得,當mx+5>-(x-b)2+4b+1時,x的取值范圍為x<0或x>5. (3)如圖,設直線y=4x+1與直線AB交于點E,與y軸交于點F,而直線AB表達式為y=-x+5,解方程組y=4x+1,y=-x+5,得x=45,y=215,點E45,215,又F(0,1). 點M在AOB內(nèi),0<b<45. 當點C,D關(guān)于拋物線對稱軸(直線x=b)對稱時,b-14=34-b,b=12. 且二次函數(shù)圖象的開口向下,根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性和增減性可知. 當0<b<12時,y1>y2;當b=12時,y1=y2;當12<b<45時,y1<y2.