提分專練(五)以三角形為背景的中檔計算題與證明題|類型1|與特殊三角形相關(guān)的計算、證明題1.如圖T5-1,在ABC中,點D在AB上,且CD=CB,點E為BD的中點,點F為AC的中點,連接EF交CD于點M,連接AM.(1)求證:EF=12AC;(2)若BAC=45,求線段AM,DM,BC之間的數(shù)量關(guān)系.圖T5-12.xx連云港 如圖T5-2,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,且AD=AE,連接BE,CD,交于點F.(1)判斷ABE與ACD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;(2)求證:過點A,F的直線垂直平分線段BC.圖T5-2|類型2|與全等三角形相關(guān)的計算、證明題3.如圖T5-3,在ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,AEBC,CEAE,垂足為E.(1)求證:ABDCAE.(2)連接DE,線段DE與AB之間有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系?請證明你的結(jié)論.圖T5-34.xx寧波 如圖T5-4,在ABC中,ACB=90,AC=BC,D是AB邊上一點(點D與A,B不重合),連接CD,將線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90得到線段CE,連接DE交BC于點F,連接BE.(1)求證:ACDBCE;(2)當AD=BF時,求BEF的度數(shù).圖T5-4|類型3|與相似三角形相關(guān)的計算、證明題5.如圖T5-5,在ABC中,ADBC,BEAC,垂足分別為D,E,AD與BE相交于點F.(1)求證:ACDBFD;(2)當tanABD=1,AC=3時,求BF的長.圖T5-56.xx東營 (1)某學?！爸腔鄯綀@”數(shù)學社團遇到這樣一個題目:如圖T5-6,在ABC中,點O在線段BC上,BAO=30,OAC=75,AO=33,BOCO=13,求AB的長.經(jīng)過社團成員討論發(fā)現(xiàn),過點B作BDAC,交AO的延長線于點D,通過構(gòu)造ABD就可以解決問題(如圖).請回答:ADB=,AB=.(2)請參考以上解題思路,解決下列問題:如圖,在四邊形ABCD中,對角線AC與BD相交于點O,ACAD,AO=33,ABC=ACB=75,BOOD=13,求DC的長.圖T5-6參考答案1.解:(1)證明:連接CE.CD=CB,點E為BD的中點,CEBD.點F為AC的中點,EF=12AC.(2)BAC=45,CEBD,AEC是等腰直角三角形.點F為AC的中點,EF垂直平分AC,AM=CM.CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,BC=AM+DM.2.解:(1)ABE=ACD.理由如下:因為AB=AC,BAE=CAD,AE=AD,所以ABEACD,所以ABE=ACD.(2)證明:因為AB=AC,所以ABC=ACB.由(1)可知ABE=ACD,所以FBC=FCB,所以FB=FC.又因為AB=AC,所以點A,F均在線段BC的垂直平分線上,即直線AF垂直平分線段BC.3.解:(1)證明:AB=AC,B=ACD.AEBC,EAC=ACD,B=EAC.AD是BC邊上的中線,ADBC.CEAE,ADB=AEC=90.在ABD和CAE中,B=EAC,ADB=AEC,AB=CA,ABDCAE(AAS).(2)AB平行且等于DE.證明:由(1)知ABDCAE,AE=BD.又AEBD,四邊形ABDE為平行四邊形,AB平行且等于DE.4.解:(1)證明:線段CD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90得到線段CE,DCE=90,CD=CE.又ACB=90,ACB=DCE,ACD=BCE.在ACD和BCE中,CD=CE,ACD=BCE,AC=BC,ACDBCE.(2)ACB=90,AC=BC,A=45,ACDBCE,AD=BE,CBE=A=45.又AD=BF,BE=BF,BEF=BFE=180-452=67.5.5.解:(1)證明:ADBC,BEAC,BDF=ADC=BEC=90,C+DBF=90,C+DAC=90,DBF=DAC,ACDBFD.(2)ADB=90,tanABD=1,tanABD=ADBD=1,AD=BD.ACDBFD,ACBF=ADBD=1,BF=AC=3.6.解析 (1)利用兩直線平行,內(nèi)錯角相等,可得ADB=OAC=75和AOC與DOB相似,于是得DO=3,再利用三角形內(nèi)角和定理可求得ABD=75,所以AB=AD=43.(2)同理,可過B作AD的平行線,利用相似可求得DC的長.解:(1)BDAC,ADB=OAC=75.又DOB=AOC,DOBAOC,DOAO=BOCO=13.AO=33,DO=3,AD=AO+DO=33+3=43.在ABD中,BAO=30,ADB=75,ABD=180-BAO-ADB=180-30-75=75,ABD=ADB,AB=AD=43.(2)過點B作BEAD交AC于點E.ACAD,DAC=BEA=90.又AOD=EOB,AODEOB,BODO=EOAO=BEDA.BOOD=13,EOAO=BEDA=13.AO=33,EO=3,AE=43.ABC=ACB=75,BAC=30,AB=AC,AB=2BE.在RtAEB中,AE2+BE2=AB2,即(43)2+BE2=(2BE)2,得BE=4,AB=AC=8,AD=12.在RtCAD中,AC2+AD2=CD2,即82+122=CD2,得CD=413.