23 與角相關(guān)的問題閱讀與思考角也是一種基本的幾何圖形，凡是由直線組成的圖形都出現(xiàn)角. 角既可以看成有公共端點的兩條射線組成的圖形，也可以看成是一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形.按角的大小可以分成銳角、直角和鈍角. 由于直角和平角在角中顯得特別重要，所以處于不同位置，但兩角的和是一個直角或是一個平角的角仍然得到我們的特別關(guān)注. 兩角之和為直角的，這兩個角叫做互為余角；而兩角之和為平角的，這兩個角叫做互為補(bǔ)角，余角和補(bǔ)角的概念及其應(yīng)用在幾何計算和證明中都有十分重要的地位.解與角有關(guān)的問題常用到以下知識與方法：1. 角的分類；2. 角平分線的概念；3. 互余、互補(bǔ)等數(shù)量關(guān)系角；4. 用方程的觀點來進(jìn)行角的計算.例題與求解 【例1】如圖，在33的網(wǎng)格上標(biāo)出了1和2，則 .（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：對圖形進(jìn)行恰當(dāng)?shù)奶幚?，通過拼補(bǔ)求出的值.【例2】如果與互補(bǔ)，且，則下列表示的余角的式子中：；. 其中正確的有（ ） A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個 （xx年浙江省衢江市數(shù)學(xué)競賽試題）解題思路：彼此互余的角只要滿足一定的數(shù)量關(guān)系即可，而與位置無關(guān). 【例3】已知，OC是不在直線OA，OB上的任一條射線. OM，ON分別平分AOC，BOC. 求MON的大小.（題目中考慮的角都小于平角） （湖北省武漢市武昌區(qū)調(diào)考試題）解題思路：因OC位置不確定，故分類討論是解本例的關(guān)鍵. 【例4】鐘表在12點鐘時三針重合，經(jīng)過x分鐘秒針第一次將分鐘和時針?biāo)鶌A的銳角平分，求x的值. （湖北省黃岡市競賽試題）解題思路：把秒針第一次將分鐘和時針?biāo)鶌A的銳角平分所得的兩個角用x的代數(shù)式表示，通過解方程求出x的值. 【例5】（1）現(xiàn)有一個19的“模板”（如圖），請你設(shè)計一種辦法，只用這個“模板”和鉛筆在紙上畫出1的角來. （2）現(xiàn)有一個17的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1的角來？ （3）用一個21的“模板”與鉛筆，你能否在紙上畫出一個1的角來？對（2）（3）兩問，如果能，請你簡述畫法步驟；如果不能，請你說明理由.（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：若只連續(xù)使用模板，則得到的是一個19（或17或21）的整數(shù)倍的角，其實，解題的關(guān)鍵是在于能否找到19（或17或21）的一個倍數(shù)與某個特殊角的某個倍數(shù)相差1. 【例6】如圖所示，O是直線AB上的一點，COD是直角，OE平分BOC.（1）如圖，若，求DOE的度數(shù)；（2）在圖中，若，直接寫出DOE的度數(shù) （用含的代數(shù)式表示）；（3）將圖中的DOC繞頂點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖的位置. 探究AOC和DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由； 在AOC的內(nèi)部有一條射線OF，滿足，試確定AOF與DOE的度數(shù)之間的關(guān)系，說明理由 圖 圖 （湖北省武漢市模擬試題）解題思路：（1）利用互余、互補(bǔ)關(guān)系易求出DOE的度數(shù)；（2）先根據(jù)DOE與COE的互余關(guān)系列出相應(yīng)的關(guān)系式，然后用BOC表示出COE，再根據(jù)互補(bǔ)角的關(guān)系用表示出所求角的度數(shù)；（3）可設(shè)BOC為一個未知數(shù)，分別表示出AOC與DOE，可得相應(yīng)關(guān)系；結(jié)合把所給等式整理為只含所求角的關(guān)系式即可.能力訓(xùn)練A 級1. 已知一個角的補(bǔ)角等于這個角余角的6倍，那么這個角等于 . （“祖沖之杯”邀請賽試題）2. 如圖，那么不大于90的角有 個，它們的度數(shù)之和是 .（“希望杯”邀請賽試題）3. 如圖，若，則等于 .4. 如圖，O是直線AB上一點，OE平分BOD，則圖中彼此互補(bǔ)的角有 對.（北京市“迎春杯”競賽試題）5. 一個角的補(bǔ)角的是6，則這個角是（ ）A. 68 B. 78 C. 88 D. 98（“希望杯”邀請賽試題）6. 用一副三角板可以畫出大于0且小于176的不同角度有（ ）種A. 9 B. 10 C. 11 D. 127. 如圖，若，1是銳角，則1的余角是（ ）A. B. C. D.（甘肅省蘭州市競賽試題）8. 如圖，OD是COB的平分線，OE是AOC的平分線，設(shè)，則與的余角相等的角是（ ）A.COD B.COE C.DOA D.COA9. 如圖，已知，OD平分AOB，且，求AOB的度數(shù).（北京市“迎春杯”競賽試題） 10. 如圖，已知AOB與BOC互為補(bǔ)角，OD是AOB的平分線，OE在BOC內(nèi)，. 求EOC的度數(shù).11. 已知，OC平分AOB，OE平分COD. 求AOE的大小.12. 如圖，已知OB，OC，OD為AOE內(nèi)三條射線. （1）圖中共有多少個角？ （2）若OB，OC，OD為AOE四等分線，且圖中所有銳角的和為400，求AOE的度數(shù). （3）若，求圖中所有銳角的和.B 級1. 已知一個角的補(bǔ)角比這個角余角的3倍大10，則這個角的度數(shù)是 . （浙江省杭州市競賽試題）2. ，中有兩個銳角和一個鈍角，其數(shù)值已經(jīng)給出，在計算的值時，有三位同學(xué)分別算出了23，24，25這三個不同的結(jié)果. 其中只有一個是正確的答案，則 . （江蘇省競賽試題）3. 如圖，點O在直線AB上，OC，OD，OE，OF是位于AB同一側(cè)的射線，那么在這個圖形中，不大于平角的角共有 個. （五城市聯(lián)賽試題）4. 如圖，射線OC，OD，OE，OF分別平分AOB，COB，AOC，EOC，若，則 .（xx年“希望杯”數(shù)學(xué)邀請賽試題）5. 4點鐘后，從時針到分針第二次成90角，共經(jīng)過（ ）分鐘（答案四舍五入到整數(shù)）A. 60 B. 30 C. 40 D. 33（“五羊杯”競賽試題）6. 如圖是一個33的正方形，則圖中的和等于（ ）A. 270 B. 315 C. 360 D. 405（廣西省競賽試題）7. 已知，OM，ON，OP分別是AOB，BOC，AOC的平分線，則下列各式中成立的是（ ）A. B. C. D.以上情況都有可能8. 如圖，AOC是直角，且OB，OD分別是AOC，BOE的平分線，則AOE等于（ ）A. 111.5 B. 138 C. 134.5 D. 178 （五城市聯(lián)賽試題）9. 如圖，在直線AB上取一點O，在AB同側(cè)引射線OC，OD，OE，OF，使COE和BOE互余，射線OF和OD分別平分COE和BOE. 求證：.10. 如圖，A1OA11是一個平角，. 求的度數(shù). （山東省競賽試題）11. 在一個圓形時鐘的表面，OA表示秒針，OB表示分針（O為兩針的選擇中心）. 若現(xiàn)在時間恰好是12點整，問經(jīng)過多少秒后，OAB的面積第一次達(dá)到最大？（“CASIO杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）專題23 與角相關(guān)的問題例145 提示：如圖，通過拼補(bǔ)得1+2=45.例2B提示：（90）+=90符合；（90）+=+90=18090=90符合；符合.故能表示的余角.13OM、ON平分AOC，BOC，AOM=COM=，CON=BON=（1）如圖，若OC在AOB內(nèi)，設(shè)BOC=x，則 圖 圖 圖例6 （1），且與互為相反數(shù)。 且。，即， （2）有兩種情況，如圖 當(dāng)在上時， ；當(dāng)在的延長線上時， ，綜上可 知，（3） 作圖如圖，結(jié)論正確，設(shè)，則， ，當(dāng)然對于我們也不難找出其值不為 定值的原因。，變化，其值也變化 A級1 或 提示：當(dāng)，在點兩側(cè)時，；當(dāng)，在同一側(cè) 時，2 203 41.6 提示：所有線段長度總和為AOC80x，MONMOCNOC40（2）如圖，若OC在AOB內(nèi)，設(shè)BOCx，則AOC80xMONMOCNOC40（3）如圖，若OC在AOB內(nèi)，設(shè)BOCx，則 AOC280xMONMOCNOC140（4）如圖，若OC在AOB內(nèi)，設(shè)BOCx，則AOCx80MONNOCMOC40綜上所述：MON40或 140例4 x 提示：顯然x的值大于1小于2， 依題意得6x360(x1)360(x1)0. 5x例5 提示：設(shè)“模板”角度為，假設(shè)可由k個角與t個 180角畫出1的角來，即k，t滿足等式k180t1（1）當(dāng)19時，取k19，t2，即用模板連續(xù)畫出19個19的角，得到361的角，去掉360的周角， 即得1的角（2）當(dāng)17時，即17k一180t1，此時，k53，t5是一組解，即用模板連續(xù)畫53個17的角，得到901的角，除去兩個周角和一個平角，即得1的角（3）當(dāng)21時，即21k180t1無整數(shù)解，不能用21的模板與鉛筆畫出1的角例6 (1) BOC180AOC18030150又QE 平分BOC，COEBOC75， DOE907515（2）DOE90（3）AOC1802COE1802(90DOE)2DOE；設(shè)DOEx，AOFy則 AOC4AOF2DOE4AOF2x4y2BOEAOF2COEAOF2 ( 90DOE) AOF2 ( 90一 x )y180一2xy故 2x4y1802x y，即 4x5y180所以 4DOE5AOF180A級172210 450 提示：一共有10個角，其中AOE90， BOD45，AOB十BOE90，AOCCOE90，AODDOE90，BOCCOD45故這10個角的度數(shù)和為9044523609045033046 提示：AOC 和BOC，AOD 和BOD，AOE和BOE，AOE 和DOE ，AOE和COD，AOD 和COE5B 6A 7C 8B9114 提示：設(shè)AOCx，是BOC2x，AOD(x)，COD(x)，AOBAOCBOC11410設(shè)AODBODx，則BOC1802x又BOEEOC，BOEBOC(1802x)又BODBOEDOE72，x(1802x)72，解得x36則EOCBOC(1802x)7211（1）如圖，若 OD在AOB 內(nèi)時，AOCBOCAOB40，COEDOECOD30，AOEAOCCOE70（2）如圖，若OD在AOB內(nèi)時，同理，AOC40，OOE30，AOEAOCCOE10綜上所述：AOE70或1012（1）共有：432l10 個角 （2）AOE80 （3）所有銳角度數(shù)和為：416B級150 2345 315464 提示：設(shè)EOFCOFx，則AOE2xBOCAOC2xxx4x，CODBODBOC2x，又FODFOCCODx2x3x24，x80，AOB8x645D6D 沿AB對折，上下圖形能夠完全重合，則194826907B 8D9提示：COEBOE90，DOF45，AOFBOD13510由題中條件知A3OA2A2OA12，A4OA3A3OA22 ，A5OA4A4OA32， A11OA10A10OA92，以上9個等式相加得A11OA10A2 OA1 9218.即A11OA10A2OA118由題設(shè)知，A1OA11A2OA1A3OA2 A4OA3A11OA10(A2OA1A11OA10)10180A2OA1A11OA1036，A11OA102711經(jīng)過x秒時，OA與OB第一次垂直由(60. 1)x90得x15