18.2.3正方形學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正方形的概念、性質(zhì)和判定方法,并會運用它們進行有關(guān)的論證和計算.(難點)2.理解正方形與平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.(重點)學(xué)習(xí)過程一、合作探究閱讀教材P5859內(nèi)容,完成下面問題:1.小學(xué)已學(xué)過正方形四條邊都;正方形四個角都是.正方形定義:有一組鄰邊相等,并且有一個角是直角的平行四邊形.從正方形的定義中看出,有三層意義:;.2.正方形是矩形嗎?是菱形嗎?為什么?正方形具有哪些性質(zhì)呢?只要矩形再有一組鄰邊相等,這樣的特殊矩形是正方形;只要菱形再有一個內(nèi)角為90,這樣的特殊矩形是正方形.3.因此我們說正方形是特殊的矩形,所以具有矩形的所有性質(zhì);它又是菱形,所以它又具有菱形的一切性質(zhì),歸納如下:正方形性質(zhì):(1)邊的性質(zhì):對邊,四條邊都.(2)角的性質(zhì):四個角都是角.即A=B=,ABD=45.(3)對角線的性質(zhì):兩條對角線互相且,每條對角線分一組對角.由ABCD是正方形,可得OA=OD,AC.(4)對稱性:是軸對稱圖形,有()條對稱軸.而矩形、菱形都只有()條對稱軸.(5)邊長與對角線長的關(guān)系:(6)正方形的面積:邊長的兩條對角線.4.平行四邊形、菱形、矩形、正方形四者之間的關(guān)系:5.怎樣判定一個四邊形是正方形呢?把你所想的判定方法寫出來并和同學(xué)們交流、證明.歸納總結(jié)出判定正方形的方法如下:判定方法:(1)從四邊形到正方形:(2)從平行四邊形到正方形:(3)從矩形到正方形:(4)從菱形到正方形:提示判定正方形的一般順序:先證它是平行四邊形,再證有一組鄰邊相等(或一個角是直角),最后證它有一個角是直角(或有一組鄰邊相等).理解成:先證它是矩形,再證有一組鄰邊相等;或先證它是菱形,再證有一個角是直角.二、自主學(xué)習(xí)【例題】已知,如圖,四邊形ABCD是正方形,對角線AC,BD相交于點O.求證:ABO,BCO,CDO,DAO是全等的等腰直角三角形.證明:四邊形ABCD是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO,BCO,CDO,DAO都是等腰直角三角形,并且ABOBCOCDODAO.變式已知:如圖,正方形ABCD,對角線AC,BD交于點O,AC=4.則(1)BAC=,AOB=.(2)與OA相等的線段有,AB=.(3)正方形的周長是,面積是.三、跟蹤練習(xí)1.下列四邊形中,對角線相等且互相垂直平分的是()A.平行四邊形B.正方形C.菱形D.矩形2.在四邊形ABCD中,A=B=C=90,如果再添加一個條件,即可推出該四邊形是正方形,那么這個條件可以是()A.D=90B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD3.(長春中考)如圖,點E在正方形ABCD的邊CD上,若ABE的面積為8,CE=3,則線段BE的長為.4.如圖所示,已知ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,E是BD延長線上的點,且ACE是等邊三角形.(1)求證:四邊形ABCD是菱形;(2)若AED=2EAD,求證:四邊形ABCD是正方形.四、達(dá)標(biāo)檢測1.下列命題,正確的有()對角線相等的菱形是正方形四條邊都相等的四邊形是正方形四個角相等的四邊形是正方形對角線互相垂直的矩形是正方形對角線垂直且相等的四邊形是正方形A.B.C.D.2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是()A.四條邊相等B.對角線互相垂直且平分C.對角線平分一組對角D.對角線相等3.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()A.四個角相等B.對角線互相垂直且平分C.對角線相等D.對角互補4.正方形的四條邊都,四個角都是,對角線.5.如果一個四邊形既是菱形,又是矩形,那么這個四邊形一定是.6.P為正方形ABCD內(nèi)部一點,且PA=PD=AD,則PBC為.7.如圖,在正方形ABCD中,F在CD的延長線上,CEAF交AD于M,則MFD=.8.已知正方形的一邊長為1 cm,則它的周長為,面積為,對角線長為.9.已知正方形的對角線長為2 cm,則它的邊長為.10.如圖,四邊形ABCD是正方形,點G是BC上的任意一點,DEAG于點E,BFDE,交AG于點F,求證:AF-BF=EF.11.如圖,正方形ABCD中,AC與BD交于點O,點M,N分別在AC,BD上,且OM=ON,求證:BM=CN.參考答案一、合作探究答案略二、自主學(xué)習(xí)例題證明:四邊形ABCD是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO,BCO,CDO,DAO都是等腰直角三角形,并且ABOBCOCDODAO.變式(1)4590(2)OB,OD,OC22(3)828三、跟蹤練習(xí)1.B2.D3.54.證明:(1)四邊形ABCD是平行四邊形,AO=CO.又ACE是等邊三角形,EOAC,即DBAC,ABCD是菱形.(2)ACE是等邊三角形,AEC=60.EOAC,AEO=12AEC=30.AED=2EAD,EAD=15,ADO=EAD+AED=45,四邊形ABCD是菱形,ADC=2ADO=90,菱形ABCD是正方形.四、達(dá)標(biāo)檢測1.C2.D3.B4.相等;直角;相等且互相垂直平分5.正方形6.等腰三角形7.458.4 cm;1 cm22cm9.2 cm10.證明:BAF+DAE=90,DEAG,BFDE,BFAG,BAF+ABF=90,ABF=DAE.又AB=DA,AFB=DEA=90,ABFDAE,BF=AE,AF-BF=AF-AE=EF.11.證明:由正方形的性質(zhì)可得:OB=OC,BOM=CON=90,又OM=ON,BOMCON,BM=CN.