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26 奇偶分析 閱讀與思考 整數(shù)可以分為奇數(shù)和偶數(shù)，一個整數(shù)要么是奇數(shù)，要么是偶數(shù)，因此奇偶性是一個整數(shù)的固有屬性，即奇數(shù)≠偶數(shù)． 由于奇偶性是整數(shù)的固有屬性，因此可以說奇偶性是整數(shù)的一種不變性，通過分析整數(shù)的奇偶性來解決問題的方法叫奇偶分析． 運用奇偶分析解題，常常要用到奇數(shù)和偶數(shù)的基本性質(zhì)： 1.奇數(shù)≠偶數(shù). 2.奇數(shù)奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)的和是奇數(shù)，偶數(shù)個奇數(shù)的和為偶數(shù)，若干個偶數(shù)的和是偶數(shù). 3.若干個奇數(shù)之積是奇數(shù)，偶數(shù)與任意整數(shù)之積是偶數(shù). 4.若是整數(shù)，則與，，（為自然數(shù)）有相同的奇偶性. 5.設，是整數(shù)，則，，，都有相同的奇偶數(shù). 6.偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)，奇數(shù)的平方是4的倍數(shù)加1. 例題與求解 【例1】 數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…的排列規(guī)律是：前兩個數(shù)是1，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)是它前面兩個數(shù)的和，這個數(shù)列叫做斐波那契數(shù)列，在斐波那契數(shù)列的前2 004個數(shù)中共有____個偶數(shù)． (“希望杯”邀請賽試題) 解題思路：本例關鍵是發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列的各項奇偶性的規(guī)律. 【例2】 如果，，都是正整數(shù)，且，是奇數(shù)，則是( ). A．只當為奇數(shù)時，其值為奇數(shù) B．只當為偶數(shù)時，其值為奇數(shù) C．只當為3的倍數(shù)時，其值為奇數(shù) D．無論為任意正整數(shù)時，其值均為奇數(shù) （五城市聯(lián)賽試題） 解題思路：直接運用奇數(shù)偶數(shù)的性質(zhì)作出選擇． 【例3】 能否找到自然數(shù)和，使. （“華羅庚金杯”邀請賽試題） 解題思路：假設存在自然數(shù)和，使等式成立，則，從，的奇偶性展開推理． 【例4】 在6張紙片的正面分別寫上整數(shù)1，2，3，4，5，6，打亂次序后，將紙片翻過來，在它們的反面也隨意寫上1~6這6個整數(shù)，然后計算每張紙片正面與反面所寫數(shù)字之差的絕對值，得出6個數(shù)，請你證明：所得的6個數(shù)中至少有兩個是相同的. （北京市競賽試題） 解題思路：從反面入手，即設這6個數(shù)兩兩都不相等，利用與=1，2，3，4，5，6的奇偶性相同，引入字母進行推理證明. 【例5】 表甲是一個英文字母電子顯示盤，每一次操作可以使某一行4個字母同時改變，或者使某一列4個字母同時改變，改變的規(guī)則是：按照英文字母表的順序，每個英文字母變成它下一個字母（即A變成B，B變成C…最后字母Z變成A）.問：能否經(jīng)過若干次操作，使表甲變成表乙？如果能，請寫出變化過程，如不能，說明理由. S O B R K B D S T Z E P H E X G H O C N R T B S A D V X C F Y A 表甲 表乙 （“祖沖之杯”邀請賽試題） 解題思路：表甲與表乙看上去沒有規(guī)律，似乎不太容易將表甲變?yōu)楸硪遥梢栽囈辉嚕?，看是否能成功？如果是不能，就應找出不能的理由，解題的關鍵是如何將問題“數(shù)字化”，挖掘操作變化過程中的不變量或不變性. 【例6】 設，，…為＋1或－1，并且 .證明能被4整除. 解題思路：應用整數(shù)的奇偶性解題，常需變化角度去考察問題，從而化難為易． 能力訓練 1．若按奇偶分類，則是______數(shù). 2．已知是質(zhì)數(shù)，是奇數(shù)，且，則_______. （江蘇省競賽試題） 3．若質(zhì)數(shù)，滿足，則的值為____________. （河北省競賽試題） 4．在12，22，32，…，952這95個數(shù)中，十位數(shù)字為奇數(shù)的數(shù)共有____________個. （全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題） 5．將1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，那么，滿足要求的排法有( )種. A.2 B.3 C.4 D.5 6．設，為整數(shù)，給出下列四個結(jié)論 （1）若是偶數(shù)，則是偶數(shù) （2）若是偶數(shù)，則是奇數(shù) （3）若是奇數(shù)，則是偶數(shù) （4）若是奇數(shù)，則是奇數(shù) 其中正確結(jié)論的個數(shù)是 ( )． A.0 B.2 C.4 D.1或3 （“五羊杯”競賽試題） 7．如果，，是三個任意整數(shù)，那么，，( )． A.都不是整數(shù) B.至少有兩個是整數(shù) C.至少有一個是整數(shù) D.都是正數(shù) （“T1杯”全國競賽試題） 8．將1 000到1 997這998個自然數(shù)任意排成一行，然后依次地求出三個相鄰數(shù)的和，在這些和中，奇數(shù)的個數(shù)至多有( )． A.499個 B.496個 C.996個 D.995個 9．設，，…是1，2，3，…，1999的一個排列，求證：為偶數(shù). 10．在黑板上記上數(shù)1，2，3，…，1 974，允許擦去任意兩個數(shù)，且寫上它們的和或差.重復這樣的操作手續(xù)，直至在黑板上留下一個數(shù)為止.求證：這個數(shù)不可能為零． （數(shù)學奧林匹克競賽試題） 11．你能找到三個整數(shù)，，，使得關系式成立嗎？如果能找到，請舉一例；如果找不到，請說明理由. （“希望杯”邀請賽試題） 12．設標有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G記號的七盞燈順次排成一行，每盞燈安裝一個開關.現(xiàn)在A，C，E，G四盞燈開著，其余三盞燈是關的，小剛從燈A開始，順次拉動開關，即從A到G，再從A開始順次拉動開關，即又從A到G，…，他這樣拉動了1 999次開關后，問哪幾盞是開的？ 專題25 圖形面積的計算 例1 196 提示：28（28+14）-2828=2814=287=196. 例2 D 提示：設△ABC底邊上的高為h，則BCh=24 故h====. 設△ABC底邊DE上的高為，△BDE底邊DE上的高為，則h=.∴=+=+）===6. 例3 2cm.提示：設△ABE的AE邊上的高為hcm，DE長為xcm，則，解得DE=2.例4 提示： , , ,. 例5 ，.設，則， 于是 ①+②，得， ∴，即. 例6 設，因為E,F分別是AB,BC的中點，所以. ∴.如圖，連接EF,DF，則.所以. 設，則.由得. ∴ . ∴. 連接AC，又∵AQ∥PC，， ∴. ∴.連接PB，則. 由， 得.∴，從而，.于是. ∴. A級 1. 提示：,. 2. 48. 3. 4. 15.625. 5. B. 6. C. 7. B. 8. C. 9. 35 提示:連接EF，,. 10. 解法一：將△DEK的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積之和或差.如圖,延長AE交PK的延長線于點H.設正方形ABCD，正方形PKPF的邊長分別a，b.則 = = =16. 解法二：運用等積變形轉(zhuǎn)化問題，連接DB,GE,FK.則∠DBA=∠GEB=45, ∴DB∥GE,得，同理GE∥FK，得. ∴. B級 1. （或）. 2. 120 提示：設AB=a，AD=b，CE=c，CF=d.則BE=b-c-，DF=a-d，c= b，d= a，cd=8. 3. 18.75（≈3）. 4. 8.5 提示：連HD. 5. 48 提示：“生長”n次后得到邊形，面積為原面積的倍. 6. B. 7. B 提示：過點K作KH⊥AB. ∵AB=8，BE=6，∴AE=8+6=14.又∵∠KAE=∠KEA=45, ∴KH=AE=7. . 8. B 提示：根據(jù)正方形的對稱性，只需考慮它的部分即可. 9. B. 10. ⑴當a＞1時，即B在OA上方時，如圖. ，∴，解得a=6. ⑵當0≦a＜1時，即B在OA于x軸之間時，依題意，有，解得a=-4（不合題意，舍去）. ⑶當a＜0時，即B在x軸下方時，有，解得a=-4. 綜上所述，當a=-4或a=6時，. 11. . ∵為公共部分, ∴.又因為△AMG與△AMD的高的高相等（以A為頂點作高），△MCG與△MCD的高相等（以C為頂點作高），∴,即，解得：.∴. 連BG，設,，.則 解得 同理可得： 又 S，得 .∴ 故 .