第15講全等三角形與尺規(guī)作圖A組基礎(chǔ)題組一、選擇題1.用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖如下,則說明CAD=BAD的依據(jù)是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2.(xx河北)尺規(guī)作圖要求:.過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線;.作線段的垂直平分線;.過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線;.作角的平分線.下圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖:則正確的配對是()A.,B.,C.,D.,3.(xx浙江麗水)用直尺和圓規(guī)作RtABC斜邊AB上的高線CD,以下四個(gè)作圖中,作法錯(cuò)誤的是()4.在ABC中,ABC=45,AC=4,H是高AD和BE的交點(diǎn),則線段BH的長度為()A.6B.4C.23D.55.如圖,在ABC中,C=90,B=30,邊AB的垂直平分線DE交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,CD=3,則BC的長為()A.6B.63C.9D.336.如圖,AD是ABC的角平分線,DE,DF分別是ABD和ACD的高,得到下列四個(gè)結(jié)論:OA=OD;ADEF;當(dāng)BAC=90時(shí),四邊形AEDF是正方形;AE+DF=AF+DE.其中正確的是()A.B.C.D.7.兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“箏形”,如圖,四邊形ABCD是一個(gè)箏形,其中AD=CD,AB=CB,某同學(xué)在探究箏形的性質(zhì)時(shí),得到如下結(jié)論:ACBD;AO=CO=12AC;ABDCBD.其中正確的結(jié)論有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)二、填空題8.(xx德州)如圖,OC為AOB的平分線.CMOB,OC=5,OM=4.則點(diǎn)C到射線OA的距離為.9.如圖,AB=12 m,CAAB于A,DBAB于B,且AC=4 m,P點(diǎn)從B向A運(yùn)動(dòng),每分鐘走1 m,Q點(diǎn)從B向D運(yùn)動(dòng),每分鐘走2 m,P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),運(yùn)動(dòng)分鐘后CAP與PQB全等.10.(xx江蘇淮安)如圖,在RtABC中,ACB=90,點(diǎn)D、E分別是AB,AC的中點(diǎn),點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).若AB=8,則EF=.三、解答題11.(xx河北,23,9分)如圖,A=B=50,P為AB中點(diǎn),點(diǎn)M為射線AC上(不與點(diǎn)A重合)的任意一點(diǎn),連接MP,并使MP的延長線交射線BD于點(diǎn)N,設(shè)BPN=.(1)求證:APMBPN;(2)當(dāng)MN=2BN時(shí),求的度數(shù);(3)若BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,直接寫出的取值范圍.12.(xx泰安)如圖,ABC中,D是AB上一點(diǎn),DEAC于點(diǎn)E,F是AD的中點(diǎn),FGBC于點(diǎn)G,與DE交于點(diǎn)H,若FG=AF,AG平分CAB,連接GE,GD.(1)求證:ECGGHD;(2)小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):AD=AC+EC.請你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論;(3)若B=30,判定四邊形AEGF是不是菱形,并說明理由.B組提升題組一、選擇題1.(xx南京)如圖,ABCD,且AB=CD,E、F是AD上兩點(diǎn),CEAD,BFAD.若CE=a,BF=b,EF=c,則AD的長為()A.a+cB.b+cC.a-b+cD.a+b-c2.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,四位同學(xué)圍繞作圖問題“如圖,已知直線l和直線l外一點(diǎn)P,用直尺和圓規(guī)作直線PQ,使PQl于點(diǎn)Q”.分別作出了下列四個(gè)圖形.其中作法錯(cuò)誤的是()3.如圖,G,E分別是正方形ABCD的邊AB,BC的點(diǎn),且AG=CE,AEEF,AE=EF,現(xiàn)有如下結(jié)論:BE=12GE;AGEECF;FCD=45;GBEECH.其中,正確的結(jié)論有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)二、填空題4.如圖,RtABC中,A=90,C=30,BD平分ABC且與AC邊交于點(diǎn)D,AD=2,則點(diǎn)D到邊BC的距離是.5.如圖,ABC中,ADBC,CEAB,垂足分別為D、E,AD、CE交于點(diǎn)H,請你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件:,使AEHCEB.6.如圖,在正方形ABCD中,對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,E為BC上一點(diǎn),CE=5,F為DE的中點(diǎn).若CEF的周長為18,則OF的長為.三、解答題7.如圖,ABC是直角三角形,且ABC=90,四邊形BCDE是平行四邊形,E為AC中點(diǎn),BD平分ABC,點(diǎn)F在AB上,且BF=BC.求證:(1)DF=AE;(2)DFAC.第15講全等三角形與尺規(guī)作圖A組基礎(chǔ)題組一、選擇題1.A從角平分線的作法可得,AFD與AED的三邊全部相等,則AFDAED.故選A.2.D根據(jù)尺規(guī)作圖的方法可知正確的配對是,.故選D.3.DA.根據(jù)作圖的方法可知,CD是RtABC斜邊AB上的高線,不符合題意.B.根據(jù)“直徑所對的圓周角是直角”知CD是RtABC斜邊AB上的高線,不符合題意.C.根據(jù)相交圓的公共弦的性質(zhì)可知CD是斜邊AB上的高線,不符合題意.D.無法證明CD是RtABC斜邊上的高線,符合題意.故選D.4.BABC=45,ADBC,在等腰直角三角形ABD中,AD=BD,又ADB=ADC=90,BHD+DBH=90=EBC+C,BHD=C,BHDACD,BH=AC=4.5.C由垂直平分線的性質(zhì)定理得BD=AD,B=BAD=30,AD平分BAC.在RtADC中,AD=2CD=6,即BD=6.BC=BD+CD=9.6.D如果OA=OD,則結(jié)合已知條件易證得四邊形AEDF是矩形,則BAC=90,但由題中條件得不到BAC=90,所以不正確.首先根據(jù)全等三角形的判定方法,判斷出AEDAFD,則AE=AF,DE=DF.然后根據(jù)全等三角形的判定方法,判斷出AEOAFO,則AOE=AOF=90,即ADEF,所以正確.如果BAC=90,則四邊形AEDF的四個(gè)角都是直角,四邊形AEDF是矩形,結(jié)合DE=DF,判斷出四邊形AEDF是正方形,故正確.根據(jù)AEDAFD,得到AE=AF,DE=DF,進(jìn)而得到AE+DF=AF+DE,故正確.故選D.7.D在ABD與CBD中,AD=CD,AB=CB,DB=DB,ABDCBD(SSS),故正確.ADB=CDB,在AOD與COD中,AD=CD,ADB=CDB,OD=OD,AODCOD(SAS),AOD=COD=90,AO=OC=12AC,ACBD,故正確.故選D.二、填空題8.答案3解析過C作CFAO.OC為AOB的平分線,CMOB,CM=CF.OC=5,OM=4,CM=3,CF=3.故答案為3.9.答案4解析CAAB于A,DBAB于B,A=B=90,設(shè)運(yùn)動(dòng)x分鐘后CAP與PQB全等,則BP=x m,BQ=2x m,AP=(12-x)m,分兩種情況:若BP=AC,則x=4,此時(shí)AP=12-4=8 m,BQ=8 m,AP=BQ,CAPPBQ(SAS);若BP=AP,則12-x=x,解得x=6,此時(shí)BQ=12 m,BQAC,CAP與PQB不全等.綜上所述:運(yùn)動(dòng)4分鐘后CAP與PQB全等.10.答案2解析D為AB的中點(diǎn),AB=8,在RtABC中,CD=4,又E、F分別為AC,AD的中點(diǎn),根據(jù)三角形中位線定理,得EF=2.三、解答題11.解析(1)證明:P為AB中點(diǎn),PA=PB.又A=B,MPA=NPB,APMBPN.(2)由(1)得PM=PN,MN=2PN,又MN=2BN,PN=BN,=B=50.(3)40<<90.BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,BPN是銳角三角形,BPN和BNP都為銳角,又B=50,40<BPN<90,即40<<90.12.解析(1)證明:AF=FG,FAG=FGA,AG平分CAB,CAG=FAG,CAG=FGA,ACFG.又DEAC,FGDE,又FGBC,DEBC,ACBC,C=DHG=90,CGE=GED,F是AD的中點(diǎn),FGAE,H是ED的中點(diǎn),FG是線段ED的垂直平分線,GE=GD,GDE=GED,CGE=GDE,ECGGHD.(2)證明:過點(diǎn)G作GPAB于點(diǎn)P,GC=GP,CAGPAG,AC=AP.由(1)得EG=DG,RtECGRtGPD,EC=PD,AD=AP+PD=AC+EC.(3)四邊形AEGF是菱形,理由如下:B=30,ADE=30,AE=12AD,AE=AF=FG.由(1)得AEFG,四邊形AEGF是菱形.B組提升題組一、選擇題1.D2.A根據(jù)垂線的作法,選項(xiàng)A錯(cuò)誤.故選A.3.B四邊形ABCD是正方形,B=DCB=90,AB=BC,AG=CE,BG=BE,由勾股定理得:BE=22GE,錯(cuò)誤;BG=BE,B=90,BGE=BEG=45,AGE=135,GAE+AEG=45,AEEF,AEF=90,BEG=45,AEG+FEC=45,GAE=FEC,在GAE和CEF中,AG=EC,GAE=CEF,AE=EF,GAECEF,正確;AGE=ECF=135,FCD=135-90=45,正確;BGE=BEG=45,AEG+FEC=45,FEC<45,GBE和ECH不相似,錯(cuò)誤.故選B.二、填空題4.答案2解析過D作DEBC于E.BD平分ABC,A=90,DE=AD=2.故點(diǎn)D到邊BC的距離為2.5.答案AH=CB(或EH=EB或AE=CE)解析ADBC,CEAB,垂足分別為D、E,AEC=BEC=ADB=90,B+BCE=90,B+BAD=90,BCE=BAD,AH=CB或EH=EB或AE=CE,可證AEHCEB.6.答案72解析四邊形ABCD是正方形,BO=DO,BC=CD,BCD=90.在RtDCE中,F為DE的中點(diǎn),CF=12DE=EF=DF.CEF的周長為18,CE+CF+EF=18.又CE=5,CF+EF=18-5=13,DE=DF+EF=13,DC=132-52=12,BC=12,BE=12-5=7.在BDE中,BO=DO,F為DE的中點(diǎn),OF為BDE的中位線,OF=12BE=72.三、解答題7.證明(1)延長DE交AB于點(diǎn)G,連接AD.四邊形BCDE是平行四邊形,EDBC,ED=BC.點(diǎn)E是AC的中點(diǎn),ABC=90,AG=BG,DGAB.AD=BD,BAD=ABD.BD平分ABC,ABD=BAD=45,即BDE=ADE=45.又BF=BC,BF=DE.在AED與DFB中,AD=BD,ADE=DBF,ED=FB,AEDDFB(SAS),AE=DF,即DF=AE.(2)設(shè)AC與FD交于點(diǎn)O.由(1)知,AEDDFB,AED=DFB,DEO=DFG.DFG+FDG=90,DEO+EDO=90,EOD=90,即DFAC.