29 歸納與猜想閱讀與思考 當一個問題涉及相當多的乃至無窮多的情形時，可從問題的簡單情形或特殊情況人手，通過對簡單情形或特殊情況的試驗，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑或方法，這種研究問題的方法叫歸納猜想法. 歸納是建立在細致而深刻的觀察基礎上，發(fā)現(xiàn)往往是從觀察開始的，觀察是解決問題的先導，解題中的觀察活動主要有三條途徑： 1數(shù)與式的特征觀察 2幾何圖形的結構觀察 3通過對簡單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況. 需要注意的是，用歸納猜想法得到的結果，常常具有或然性，它可能是成功的發(fā)現(xiàn)，也可能是失敗的嘗試，需用合乎邏輯的推理步驟把它寫成無懈可擊的證明 【例1】下圖是飛行棋的一顆骰子，根據(jù)圖中A，B，C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，推出“？”處的數(shù)字是_.（“東方航空杯”上海市競賽試題） (A) (B) (C) 解題思路：認真觀察A，B，C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出推斷。 【例2】如圖，依次連結第一個正方形各邊的中點得到第二個正方形，再依次連結第二個正方形各邊的中點得到第三個正方形，按此方法繼續(xù)下去，若第一個正方形邊長為1，則第n個正方形的面積是_ （湖北省武漢市競賽試題）解題思路：從觀察分析圖形的面積入手，先考察n1，2，3，4時的簡單情形，進而作出猜想【例3】如圖，平面內有公共端點的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7， (1)“17”在射線_上 (2) 請任意寫出三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律 (3)“2 007”在哪條射線上？ （貴州省貴陽市中考試題）解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)每條射線上的數(shù)除以6的余數(shù)相同【例4】觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：，() (1)在()中，從左起第m個數(shù)記為F(m)，當F(m)時，求m的值和這m個數(shù)的積 (2)在()中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c它后面的一個數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個數(shù)c和d，使cd2 001 000? 如果存在，求出c和d；如果不存在，請說明理由 （湖北省競賽試題） 解題思路：按分母遞減而分子遞增的變化規(guī)律，對原數(shù)列恰當分組，明確每組中數(shù)的個數(shù)與分母的關系、未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)在每組中的位置，這是解本例的關鍵， 【例5】在2,3兩個數(shù)之間，第一次寫上5，第二次在2.5之間和5，3之間分別寫上和4，如圖所示： 第k次操作是在上一次操作的基礎上，在每兩個相鄰的數(shù)之間寫上這兩個數(shù)的和的 (1)請寫出第3次操作后所得到的9個數(shù)，并求出它們的和 (2)經(jīng)過k次操作后所有的數(shù)的和記為Sk，第k1次操作后所有數(shù)的和記為Sk1，寫出Sk1與Sk之間的關系式 (3)求S6的值 （“希望杯”邀請賽試題） 解題思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9個數(shù)，再把它們相加即可 (2)找到規(guī)律，即毒次操作幾個數(shù)的時候，除了頭尾兩個數(shù)2和3之外，中間的n2個數(shù)均重復計算了2次，用Sk表示出Sk1(3)根據(jù)(1)，(2)可算出S6的值能力訓練1有數(shù)組(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，則第100組的三個數(shù)之和為 （廣東省廣州市競賽試題）2如圖有一長條型鏈子，其外形由邊長為1 cm的正六邊形排列而成其中每個黑色六邊形與6個白色六邊形相鄰，若鏈子上有35個黑色六邊形，則此鏈子有_個白色六邊形（xx年“實中杯”數(shù)學競賽試題） 3按一定規(guī)律排列的一串數(shù)： ，中，第98個數(shù)是_. （山東省競賽試題）4給出下列麗列數(shù)2，4，6，8，10,，1 9946，13, 20, 27, 34,，1 994則這兩列數(shù)中，相同的數(shù)的個數(shù)是( ) A142 B143 C284（浙江省競賽試題）5 如圖，AOB45，對OA上到點的距離分別為1，3，5，7，9，11，的點作OA的垂線且與OB相交，得到并標出一組黑色梯形，面積分別為S1，S2，S3，則S10.6一條直線分一張平面為兩部分，二條直線最多分一張平面為4部分，設五條直線最多分平面為部分，則n等于( ) A16 B1824 D31 （北京市“迎春杯”競賽試題）7觀察下列正方形的四個頂點所標的數(shù)字規(guī)律那么xx這個數(shù)標在( )A第503個正方形的左下角 B第503個正方形的右下角C第504個正方形的左下角 D第504個正方形的右下角 （xx年浙江省衢江市競賽試題）8自然數(shù)按下表的規(guī)律排列： (1)求上起第10行，左起第13列的數(shù)(2)數(shù)127應在上起第幾行，左起第幾列 （北京市“迎春杯”競賽試題）9一串數(shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55 問：這串數(shù)的前100個數(shù)中（包括第100個數(shù)）有多少個偶數(shù)？ （“華羅庚金杯”競賽試題）10.將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由 （“五羊杯”競賽試題）11.下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：第1個數(shù)： ；第2個數(shù)：；第3個數(shù)：；第n個數(shù)：那么，在第10個數(shù)，第11個數(shù)，第12個數(shù)，第13個數(shù)中，最大的數(shù)是哪一個？ 12.有依次排列的3個數(shù)：3，9，8對任相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，6，9，1，8，這稱為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：3，3，6，3，9，10,1，9，8，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串3，9，8開始操作第一百次以后所產(chǎn)生的那個新數(shù)串的所有數(shù)之和是多少？專題29 歸納與猜想例1 6 提示：5的對面是2，4的對面是3，1的對面是6例2 提示：1，進而推出例3 （1）OE （2）射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律：6n5（n為自然數(shù)，下同）；射線OB上數(shù)字的排列規(guī)律：6n4；射線OC上數(shù)字的排列規(guī)律：6n3；射線OD上數(shù)字的排列規(guī)律：6n2；射線OE上數(shù)字的排列規(guī)律：6n1；射線OF上數(shù)字的排列規(guī)律：6n （3）在6條射線的數(shù)字規(guī)律中，只有6n3xx有整數(shù)解，解圍n335，故“2007”在射線OC上例4 （1）可分組為（），（，），（，），（，），（，），可知各組數(shù)的個數(shù)依次為1，2，3，當F（m）時，m（122001）22003003，這2003003個數(shù)的積為例5 （1）第3次操作后所得到的9個數(shù)為：2，5，3，4，3 它們的和為25343 （2）由條件知5，則 （3）因故40；55，【能力訓練】11010100 2142 提示：若有n個黑色六邊形，則白色六邊形個數(shù)為4n2故35時，4n2435142個3 4B576 黑色梯形的規(guī)律明顯：每個梯形的高都為2，上底分別對OA上的1，5，9，下底分別對應OA上的3，7，11，而上、下底的長度恰好和它在OA上對應的數(shù)值是一樣的以上底為例，11，5141，9142，故第10個梯形的上底對應OA上的數(shù)為14937，下底的長正好為39，于是766A7D 提示：xx45031，故在第504個正方形右下角8（1）第1列的每個數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在的行數(shù)的平方第10行起，左起第13列，應該是第13列的第10個數(shù)，即1014410154（2）數(shù)127滿足關系式12766，即127在左起第12列，上起第6行的位置9觀察已經(jīng)寫出的數(shù)，發(fā)現(xiàn)每三個連續(xù)數(shù)中恰好有一個偶數(shù)，在前100項中，第100項是奇數(shù)，前99項中有33個偶數(shù)10設至少要畫k條直線k條直線最多將圓分成11234k塊，當k9時，1123946，當k10時，11231056，故至少要畫10條直線，可以將圓紙片分成不小于50塊11若對前三個先進行計算： 第1個數(shù)：（1）0； 第2個數(shù)：（1）11； 第3個數(shù)：（1）1111； 按此規(guī)律，第n個數(shù)：（1）111 由此可知n越大，第n個數(shù)越小，那么在第10個數(shù)，第11個數(shù)，第12個數(shù)，第13個數(shù)中，最大的數(shù)是第10個數(shù)12一個依次排列的n個數(shù)組成一個數(shù)串：，依題設操作方法可得新增的數(shù)為：，新增數(shù)之和為（）（）（）（）（*）原數(shù)串為3個數(shù)：3，9，8第一次操作根據(jù)（*）可知，新增4項之和為6（1）583；第二次操作后所得數(shù)串為：3，3，6，3，9，10，1，9，8根據(jù)（*）可知，新增4項之和為33（10）9583按這個規(guī)律下去，第100次操作后所得新數(shù)串所有數(shù)的和為：（398）100（83）520