考點(diǎn)20 等腰三角形、等邊三角形和直角三角形一選擇題（共5小題）1（xx湖州）如圖，AD，CE分別是ABC的中線和角平分線若AB=AC，CAD=20，則ACE的度數(shù)是（）A20B35C40D70【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理求出CAB=2CAD=40，B=ACB=（180CAB）=70再利用角平分線定義即可得出ACE=ACB=35【解答】解：AD是ABC的中線，AB=AC，CAD=20，CAB=2CAD=40，B=ACB=（180CAB）=70CE是ABC的角平分線，ACE=ACB=35故選：B2（xx宿遷）若實(shí)數(shù)m、n滿(mǎn)足等式|m2|+=0，且m、n恰好是等腰ABC的兩條邊的邊長(zhǎng)，則ABC的周長(zhǎng)是（）A12B10C8D6【分析】由已知等式，結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求m、n的值，再根據(jù)m、n分別作為等腰三角形的腰，分類(lèi)求解【解答】解：|m2|+=0，m2=0，n4=0，解得m=2，n=4，當(dāng)m=2作腰時(shí)，三邊為2，2，4，不符合三邊關(guān)系定理；當(dāng)n=4作腰時(shí)，三邊為2，4，4，符合三邊關(guān)系定理，周長(zhǎng)為：2+4+4=10故選：B3（xx揚(yáng)州）在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，CE平分ACD交AB于E，則下列結(jié)論一定成立的是（）ABC=ECBEC=BECBC=BEDAE=EC【分析】根據(jù)同角的余角相等可得出BCD=A，根據(jù)角平分線的定義可得出ACE=DCE，再結(jié)合BEC=A+ACE、BCE=BCD+DCE即可得出BEC=BCE，利用等角對(duì)等邊即可得出BC=BE，此題得解【解答】解：ACB=90，CDAB，ACD+BCD=90，ACD+A=90，BCD=ACE平分ACD，ACE=DCE又BEC=A+ACE，BCE=BCD+DCE，BEC=BCE，BC=BE故選：C4（xx淄博）如圖，在RtABC中，CM平分ACB交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MNBC交AC于點(diǎn)N，且MN平分AMC，若AN=1，則BC的長(zhǎng)為（）A4B6CD8【分析】根據(jù)題意，可以求得B的度數(shù)，然后根據(jù)解直角三角形的知識(shí)可以求得NC的長(zhǎng)，從而可以求得BC的長(zhǎng)【解答】解：在RtABC中，CM平分ACB交AB于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MNBC交AC于點(diǎn)N，且MN平分AMC，AMN=NMC=B，NCM=BCM=NMC，ACB=2B，NM=NC，B=30，AN=1，MN=2，AC=AN+NC=3，BC=6，故選：B5（xx黃岡）如圖，在RtABC中，ACB=90，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線，AD=2，CE=5，則CD=（）A2B3C4D2【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出AE=CE=5，進(jìn)而得出DE=3，利用勾股定理解答即可【解答】解：在RtABC中，ACB=90，CE為AB邊上的中線，CE=5，AE=CE=5，AD=2，DE=3，CD為AB邊上的高，在RtCDE中，CD=，故選：C二填空題（共12小題）6（xx成都）等腰三角形的一個(gè)底角為50，則它的頂角的度數(shù)為80【分析】本題給出了一個(gè)底角為50，利用等腰三角形的性質(zhì)得另一底角的大小，然后利用三角形內(nèi)角和可求頂角的大小【解答】解：等腰三角形底角相等，180502=80，頂角為80故填807（xx長(zhǎng)春）如圖，在ABC中，AB=AC以點(diǎn)C為圓心，以CB長(zhǎng)為半徑作圓弧，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連結(jié)BD若A=32，則CDB的大小為37度【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理在ABC中可求得ACB=ABC=74，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)在BCD中可求得CDB=CBD=ACB=37【解答】解：AB=AC，A=32，ABC=ACB=74，又BC=DC，CDB=CBD=ACB=37故答案為：378（xx哈爾濱）在ABC中，AB=AC，BAC=100，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若ABD為直角三角形，則ADC的度數(shù)為130或90【分析】根據(jù)題意可以求得B和C的度數(shù)，然后根據(jù)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想即可求得ADC的度數(shù)【解答】解：在ABC中，AB=AC，BAC=100，B=C=40，點(diǎn)D在BC邊上，ABD為直角三角形，當(dāng)BAD=90時(shí)，則ADB=50，ADC=130，當(dāng)ADB=90時(shí)，則ADC=90，故答案為：130或909（xx吉林）我們規(guī)定：等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k=，則該等腰三角形的頂角為36度【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出B=C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和已知得出5A=180，求出即可【解答】解：ABC中，AB=AC，B=C，等腰三角形的頂角與一個(gè)底角度數(shù)的比值叫做等腰三角形的“特征值”，記作k，若k=，A：B=1：2，即5A=180，A=36，故答案為：3610（xx淮安）若一個(gè)等腰三角形的頂角等于50，則它的底角等于65【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理直接求得答案【解答】解：等腰三角形的頂角等于50，又等腰三角形的底角相等，底角等于（18050）=65故答案為：6511（xx婁底）如圖，ABC中，AB=AC，ADBC于D點(diǎn)，DEAB于點(diǎn)E，BFAC于點(diǎn)F，DE=3cm，則BF=6cm【分析】先利用HL證明RtADBRtADC，得出SABC=2SABD=2ABDE=ABDE=3AB，又SABC=ACBF，將AC=AB代入即可求出BF【解答】解：在RtADB與RtADC中，RtADBRtADC，SABC=2SABD=2ABDE=ABDE=3AB，SABC=ACBF，ACBF=3AB，AC=AB，BF=3，BF=6故答案為612（xx桂林）如圖，在ABC中，A=36，AB=AC，BD平分ABC，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是3【分析】首先根據(jù)已知條件分別計(jì)算圖中每一個(gè)三角形每個(gè)角的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形的判定：等角對(duì)等邊解答，做題時(shí)要注意，從最明顯的找起，由易到難，不重不漏【解答】解：AB=AC，A=36ABC是等腰三角形，ABC=ACB=72，BD平分ABC，EBD=DBC=36，在ABD中，A=ABD=36，AD=BD，ABD是等腰三角形，在ABC中，C=ABC=72，AB=AC，ABC是等腰三角形，在BDC中，C=BDC=72，BD=BC，BDC是等腰三角形，所以共有3個(gè)等腰三角形故答案為：313（xx徐州）邊長(zhǎng)為a的正三角形的面積等于【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)求解【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作ADBC于點(diǎn)D，ADBCBD=CD=a，AD=a，面積則是： aa=a214（xx黑龍江）如圖，已知等邊ABC的邊長(zhǎng)是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個(gè)等邊AB1C1；再以等邊AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個(gè)等邊AB2C2；再以等邊AB2C2的B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個(gè)等邊AB3C3；，記B1CB2的面積為S1，B2C1B3的面積為S2，B3C2B4的面積為S3，如此下去，則Sn=（）n【分析】由AB1為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B1為BC的中點(diǎn)，求出BB1的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB1的長(zhǎng)，進(jìn)而求出第一個(gè)等邊三角形AB1C1的面積，同理求出第二個(gè)等邊三角形AB2C2的面積，依此類(lèi)推，得到第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積【解答】解：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，AB1BC，BB1=1，AB=2，根據(jù)勾股定理得：AB1=，第一個(gè)等邊三角形AB1C1的面積為（）2=（）1；等邊三角形AB1C1的邊長(zhǎng)為，AB2B1C1，B1B2=，AB1=，根據(jù)勾股定理得：AB2=，第二個(gè)等邊三角形AB2C2的面積為（）2=（）2；依此類(lèi)推，第n個(gè)等邊三角形ABnCn的面積為（）n故答案為：（）n15（xx湘潭）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，則BAD=30【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)和等邊三角形三個(gè)內(nèi)角相等的性質(zhì)填空【解答】解：ABC是等邊三角形，BAC=60，AB=AC又點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，BAD=BAC=30故答案是：3016（xx天津）如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，EFAC于點(diǎn)F，G為EF的中點(diǎn)，連接DG，則DG的長(zhǎng)為【分析】直接利用三角形中位線定理進(jìn)而得出DE=2，且DEAC，再利用勾股定理以及直角三角形的性質(zhì)得出EG以及DG的長(zhǎng)【解答】解：連接DE，在邊長(zhǎng)為4的等邊ABC中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，DE是ABC的中位線，DE=2，且DEAC，BD=BE=EC=2，EFAC于點(diǎn)F，C=60，F(xiàn)EC=30，DEF=EFC=90，F(xiàn)C=EC=1，故EF=，G為EF的中點(diǎn)，EG=，DG=故答案為：17（xx福建）如圖，RtABC中，ACB=90，AB=6，D是AB的中點(diǎn)，則CD=3【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答【解答】解：ACB=90，D為AB的中點(diǎn)，CD=AB=6=3故答案為：3三解答題（共2小題）18（xx紹興）數(shù)學(xué)課上，張老師舉了下面的例題：例1 等腰三角形ABC中，A=110，求B的度數(shù)（答案：35）例2 等腰三角形ABC中，A=40，求B的度數(shù)，（答案：40或70或100）張老師啟發(fā)同學(xué)們進(jìn)行變式，小敏編了如下一題：變式 等腰三角形ABC中，A=80，求B的度數(shù)（1）請(qǐng)你解答以上的變式題（2）解（1）后，小敏發(fā)現(xiàn)，A的度數(shù)不同，得到B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，設(shè)A=x，當(dāng)B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí)，請(qǐng)你探索x的取值范圍【分析】（1）由于等腰三角形的頂角和底角沒(méi)有明確，因此要分類(lèi)討論；（2）分兩種情況：90x180；0x90，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可【解答】解：（1）若A為頂角，則B=（180A）2=50；若A為底角，B為頂角，則B=180280=20；若A為底角，B為底角，則B=80；故B=50或20或80；（2）分兩種情況：當(dāng)90x180時(shí)，A只能為頂角，B的度數(shù)只有一個(gè)；當(dāng)0x90時(shí)，若A為頂角，則B=（）；若A為底角，B為頂角，則B=（1802x）；若A為底角，B為底角，則B=x當(dāng)1802x且1802xx且x，即x60時(shí)，B有三個(gè)不同的度數(shù)綜上所述，可知當(dāng)0x90且x60時(shí)，B有三個(gè)不同的度數(shù)19（xx徐州）（A類(lèi)）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求證：A=C（B類(lèi)）已知如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，A=C，求證：AD=CD【分析】（A類(lèi)）連接AC，由AB=AC、AD=CD知BAC=BCA、DAC=DCA，兩等式相加即可得；（B類(lèi)）由以上過(guò)程反之即可得【解答】證明：（A類(lèi)）連接AC，AB=AC，AD=CD，BAC=BCA，DAC=DCA，BAC+DAC=BCA+DCA，即A=C；（B類(lèi)）AB=AC，BAC=BCA，又A=C，即BAC+DAC=BCA+DCA，DAC=DCA，AD=CD