.1設 都是 n 階方陣，則下列命題正確的是(A BA,)A 2向量組的秩是（B ） B. 3 3 元線性方程組 有解AXb的充分必要條件是（A） A. )(r4. 袋中有 3 個紅球，2 個白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，則兩球都是紅球的概率是（D ） D. 9/255設 是來自正態(tài)總體 的樣xn1, N,2本，則（C ）是 無偏估計 C. 315x6若 是對稱矩陣，則等式（B ）成立 B. 7 （ D ） D. 1543748若（A）成立，則 元線性方程組 有唯一nAXO解A. r()9. 若條件（ C）成立，則隨機事件 ， 互為對立事B件 C. 且BU10對來自正態(tài)總體 （ 未知）的一N(,)2個樣本 ，記 ，則下列各式中（CX123,1i）不是統(tǒng)計量 C. 211. 設 為 矩陣， 為 矩陣，當 為（B）A45矩陣時，乘積 有意義B . 12. 向量組 的極大線性123401,無關組是（ A ） A13. 若線性方程組的增廣矩陣為 ，則當2（ D）時線性方程組有無窮多解 D1/2 14. 擲兩顆均勻的骰子，事件“點數(shù)之和為 4”的概率是（C ）.C.1/1215. 在對單正態(tài)總體 的假設檢驗問題中， 檢N(,)2T驗法解決的問題是（B ） B. 未知方差，檢驗均值16. 若 都是 n 階矩陣，則等式（B）成立 B. A,17. 向量組 的秩是（C 3,210,142） C. 318. 設線性方程組 有惟一解，則相應的齊次方程bX組 （A ） A. 只有 0 解 O19. 設 為隨機事件，下列等式成立的是（D） D. B,)(P1設 為三階可逆矩陣，且 ，則下式(B )成,k立 B A2下列命題正確的是（C ） C向量組 , ,O21s的秩至多是 s3設 ，那么 A 的特征值是(D ) D-4，6154矩陣 A 適合條件（ D ）時，它的秩為 r DA 中線性無關的列有且最多達 r 列 5下列命題中不正確的是（ D ） DA 的特征向量的線性組合仍為 A 的特征向量6. 擲兩顆均勻的骰子，事件“點數(shù)之和為 3”的概率是（ B ） B1/18 7若事件 與 互斥，則下列等式中正確的是AP()8. 若事件 A，B 滿足 ，則 A 與 B 一定1)(P（A ） A不互斥 9設 , 是兩個相互獨立的事件，已知則（B ）)(PB 2/3 10設 是來自正態(tài)總體nx,21的樣本，則（ B ）是統(tǒng)計量 B)(ni11. 若 ，則 （A0352x） A.3 2. 已知 2 維向量組 ，則4321,至多是（B） B 2),(431r3. 設 為 階矩陣，則下列等式成立的n是（C） C. 4. 若 滿足（ B） ，則 與 是相A,互獨立 B. )(P5. 若隨機變量 的期望和方差分別為X和 ，則等式（D ）成立 D. )E21設 均為 階可逆矩陣，則下列等,n式成立的是( ) A 12方程組 相容的充分必要條件是312ax()，其中 ， B0i),(23設矩陣 的特征值為 0，2，A則 3A 的特征值為 ( ) B0，6 4. 設 A，B 是兩事件，則下列等式中（ ）是不正確的 C. ，其中PA，B 互不相容5若隨機變量 X 與 Y 相互獨立，則方差=（ ） D)3(96設 A 是 矩陣， 是 矩nmts陣，且 有意義，則 是(B )C矩陣 7若 X1、X 2 是線性方程組 AX=B 的解，而是方程組 AX = O 的解，則（ 、）是 AX=B 的解A 2138設矩陣，則 A 的對應于特征值 的一個特征向量 =()C1，1,09. 下列事 件運算關系正確的是（ ） A B10若隨機變量 ，則隨機變量)1,0(NX（ N2.,3） ） D 23Y11設 是來自正態(tài)總體 的1,x2樣本，則（）是 的無偏估計 C32512對給定的正態(tài)總體 的一個樣),(2本 ， 未知，求 的置信,(1nx區(qū)間，選用的樣本函數(shù)服從（ ） Bt 分布 設 ，則abc123（D123） D. 6若，則 （A） A. 1/2 a乘積矩陣 中元素 C. 10 405c23設 均為 階可逆矩陣，則下列運算,n關系正確的是（B） B. ()B1設 均為 階方陣， 且 ，Ak則下列等式正確的是（D） D. An下列結論正確的是（A） A. 若 是正交矩陣，則 也是正交矩陣1矩陣 的伴隨矩陣為（） C. 325方陣 可逆的充分必要條件是（B） B.A設 均為 階可逆矩陣，則C,n（ D） D. ()1()1設 均為 階可逆矩陣，則下列等式成立的是 A. AB22用消元法得 的解 為（Cx13401） C. ,線性方程組 （B） B. 有x1236唯一解 向量組 的秩為（A） A. 3 04,設向量組為 ，則（B1234,）是極大無關組B. 與 分別代表一個線性方程組的系數(shù)矩A陣和增廣矩陣，若這個方程組無解，則（D） D. 秩 秩()1若某個線性方程組相應的齊次線性方程組只有零解，則該線性方程組（A） 可能無解 以下結論正確的是（D） D. 齊次線性方程組一定有解若向量組 線性相關，則向量組12, s內(nèi)（A）可被該向量組內(nèi)其余向量線性表出 A. 至少有一個向量 9設 A，為 階矩陣， 既是又是的特征值，n既是又是的屬于 的特征向量，則結論（）成x立 是 A+B 的屬于 的特征向量10設，為 階矩陣，若等式（）成立，則稱和相似 BP1 為兩個事件，則（B）成立 B. A,()如果（C）成立，則事件 與 互為對立事件 C. 且 U10 張獎券中含有 3 張中獎的獎券，每人購買 1 張，則前 3 個購買者中恰有 1 人中獎的概率為（D） D. 072.4. 對于事件 ，命題（C）是正確的 C. 如果AB,對立，則 對立某隨機試驗的成功率為 ,則在 3 次重復)1(p試驗中至少失敗 1 次的概率為（D） D. )()23p6.設隨機變量 ，且XBn,，則參數(shù) 與 分別是（AE.48096） A. 6, 0.8 7.設 為連續(xù)型隨機變量 的密度函數(shù)，則對任fx()意的 ，ab,EX()（A） A. xfd8.在下列函數(shù)中可以作為分布密度函數(shù)的是（B） B. 9.設連續(xù)型隨機變量 的密度函數(shù)為 ，分布函數(shù)Xfx()為 ，則對任意的區(qū)間 ，則Fx(),ab（D） D. aPfd10.設 為隨機變量， ，E(),2當（C）時，有 C. Y01X設 是來自正態(tài)總體 （xn12, N(,)2均未知）的樣本，則（ A）是統(tǒng)計量 A. x1設 是來自正態(tài)總體 （3均未知）的樣本，則統(tǒng)計量（D）不是 的,2無偏估計 D. x1二、填空題（每小題 3 分，共 15 分） 1設 均為 3 階方陣， ，則BA,2,-182設 為 n 階方陣，若存在數(shù)和非零 n 維向量 ，X使得 ，則稱為 的特征值 X3)(7,001a其 它,02sin)(f.3 設隨機變量 ，則 a =0.3 012.5X4設 為隨機變量，已知 ，此時3)(D27 ()5設 是未知參數(shù) 的一個無偏估計量，則有 E6設 均為 3 階方陣， ，則BA,6,81()7設 為 n 階方陣，若存在數(shù) 和非零 n 維向量 ，使X得 ，則稱 為 相應于特征值 的特征向量 X8若 ，則 0.3 5.0)(,P9如果隨機變量 的期望 ， ，那2E9)(么 202D10不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量11. 設 均為 3 階矩陣，且 ，則BA,-8112.設 ， 2074_)(r13. 設 是三個事件，那么 發(fā)生，但 至少有ABC,B,一個不發(fā)生的事件表示為 .)(14. 設隨機變量 ，則 1515,XE15. 設 是來自正態(tài)總體 的一個樣nx,21 N,2本， ，則i)(D16. 設 是 3 階矩陣，其中 ，則BA,121217. 當 =1 時，方程組 有無窮多解 21x18. 若 ，則5.0)(,69.)(P0.2)ABP19. 若連續(xù)型隨機變量 的密度函數(shù)的是X，則 2/3其 它,012(xf)(E20. 若參數(shù) 的估計量 滿足 ，則稱 為 的無偏估計 n21行列式 的元素 的代數(shù)余子式 的值為= -7056831a21A562已知矩陣 滿足 ，則 與nsijcCB)(,分別是 階矩陣3設 均為二階可逆矩陣，則 A,1OAB4線性方程組 一般解的自由未知32641x量的個數(shù)為 25設 4 元線性方程組 AX=B 有解且 r（A）=1，那么 AX=B 的相應齊次方程組的基礎解系含有 3 個解向量 6 設 A，B 為兩個事件，若 P（AB ）= P（A ） P（B） ，則稱 A 與 B 相互獨立 7設隨機變量 的概率分布為X則 a = 0.3 8設隨機變量 ，則3.04210.9EX()9設 為隨機變量，已知 ，那么)(D8 )72(10礦砂的 5 個樣本中，經(jīng)測得其銅含量為， ， ， ， （百分數(shù)） ，1x2345x設銅含量服從 N（ ， ） ， 未知，2在 下，檢驗 ，則取統(tǒng)計量 0.05sxt1. 設 均為 n 階可逆矩陣，逆矩陣分別BA,為 ，則 11)()(2. 向量組 ),0(,0,32k線性相關，則 ._k3. 已知 ，則)(8)P(BA64. 已知隨機變量 ，那么5.0132X)(E4.5. 設 是來自正態(tài)總體21,x的一個樣本，則 N10i)4,(1設 ，則 的根是 2)(xf0)(f,2設向量 可由向量組線性表示，則表示方法唯n1一的充分必要條件是 線性n,21無關3若事件 A，B 滿足 ，則 P（A - B）= )(P4 設隨機變量的概率密度函數(shù)為，則常數(shù) k =其 它,01)(2xf45若樣本 來自總體n,，且 ，則NXi1x),0(7設三階矩陣 的行列式 ，則A2=218若向量組： ， ，1302，能構成 R3 一個基，則數(shù) k 3k 9設 4 元線性方程組 AX=B 有解且 r（A）=1，那么 AX=B 的相應齊次方程組的基礎解系含有 3 個解向量10設 互不相容，且 ，,P()0則 0 ()11若隨機變量 X ，則 2,UD1/312設 是未知參數(shù) 的一個估計，且滿足，則 稱為 的無偏估計)(E 7 14 是關于 的一個一次多項式，x則該多項式一次項的系數(shù)是 2 若 為 矩陣， 為 矩陣，A4B5切乘積 有意義，則 為 5×4 矩C陣二階矩陣 10設 ，則AB243,()8156設 均為 3 階矩陣，且,，則 72 2設 均為 3 階矩陣，且AB，則1,3 2()若 為正交矩陣，則 a00 矩陣 的秩為 2 1403設 是兩個可逆矩陣，則A2,OA1212O當 1 時，齊次線性方程組 有非零x120解向量組 線性 相關 120,向量組 的30秩 設齊次線性方程組的系數(shù)行列式123x，則這個方程組有 無窮多 解，0且系數(shù)列向量 是線性 相關 的,向量組的極1230,大線性無關組是 1,向量組 的秩與矩陣 s的秩 相同 12,設線性方程組 中有 5 個未知量，且秩AX，則其基礎解系中線性無關的解向量有 2 ()3個設線性方程組 有解， 是它的一個特解，b0且 的基礎解系為 ，則 的12,通解為 0Xk9若 是的特征值，則 是方程 的AI根10若矩陣滿足 ，則稱為正交矩1陣從數(shù)字 1,2,3,4,5 中任取 3 個，組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則這個三位數(shù)是偶數(shù)的概率為 2/52.已知 ，則當事件PAB().,.05互不相容時， 0.8 ，,)0.3 3. 為兩個事件，且 ，則()4. 已知 ，則PABp(,)P(15. 若事件 相互獨立，且，則q(),()p6. 已知 ，則當事件.035相互獨立時， 0.65 ，AB,P()0.3 ()7.設隨機變量 ，則 的分布函數(shù)XU,1Fx0kx0 1 2pa 0.2 0.5.8.若 ，則 6 XB(,.)203E(9.若 ，則NP)10. 稱為二維隨機變量Y()(的 協(xié)方差 ,1統(tǒng)計量就是不含未知參數(shù)的樣本函數(shù) 2參數(shù)估計的兩種方法是 點估計 和 區(qū)間估計 常用的參數(shù)點估計有 矩估計法 和最大似然估 兩種方法3比較估計量好壞的兩個重要標準是無偏性，有效性 4設 是來自正態(tài)總體 （xn12, N(,)2已知）的樣本值，按給定的顯著性水平 檢驗，需選取統(tǒng)計量H010:;:nxU/5假設檢驗中的顯著性水平 為事件（u 為臨界值）發(fā)生的概率|0三、 （每小題 16 分，共 64 分）A1設矩陣 ，且有AB12354,，求 X解：利用初等行變換得120315即 由矩陣乘法和轉置運算得A1207XB362.設矩陣 ，求 502,31BAA1解：利用初等行變換得 242160351即 由矩A陣乘法得5201846351BA3.已知 ，其中 ，求X3,7B解：利用初等行變換得1052310857364即6125A由矩陣乘法運算得28350461BX4.設矩陣 ，1,372A是 3 階單位矩陣，且有I，求 BX)(1. 解：由矩陣減法運算得94372180AI利用初等行變換得1327490231即1()IA30由矩陣乘法運算得65192403)(1BIX5設矩陣 ，求,A（1） ；（ 2） （1）I)(=307425120（2）因為 =)(AI034所以 =BI)(12 093546設矩陣 ，65312,40BA解矩陣方程 X解：因為 1207341205，得 12341A所以 BX75 1329687 設矩陣 ，求（1） ，45A（2） 解11） 023（2）利用初等行變換得1451020597即 A1258 .,3XB，求且BAXI求且己 知例 于 是得 出 18305274)(1、9設矩陣 ，求：,（1） ；（2） 1解：（1）因為 203A121B所以 （2）因為 103IA所以 2/102/310已知矩陣方程 ，其中 ，BAX301，求 35021B解：因為 ，且XAI)(10201即 2)(1AI所以 3450)(1BIX11設向量組 ， ，)1,42(，),68(， ，求這53， 3，個向量組的秩以及它的一個極大線性無關組解：因為（ ）=1234456823071所以，r( ) = 3 42,它的一個極大線性無關組是 （或41,） 32,1設 ，求ABC0,.解： 1024630)(CBA13 寫出 4 階行列式中元素 的代數(shù)余子式，并求其值126530a14,： )(1453062)(414 求矩陣 的秩23解 01012344rr3)(AR15用消元法解線性方程組 x1234685261093784231025rrA 687934rrr方 101053424rr 程組解為 432xA2求線性方程組的全部解解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形 04623184730方程組的一般解為（其中 為自由未知量） x14235令 =0，得到方程的一個特解 . )01(0X方程組相應的齊方程的一般解為（其中 為自由未知量）43215x令 =1，得到方程的一個基礎解系x4. )15(X于是，方程組的全部解為 （其中10kX為任意常數(shù)） k2.當 取何值時，線性方程組4796321x有解，在有解的情況下求方程組的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 190258401由此可知當 時，方程組無解。當時，方程組有解。7 分此時齊次方程組化為432159x分別令 及 ，得0,1,齊次方程組的一個基礎解系54,192X令 ，得非齊次方程組的x34一個特解080由此得原方程組的全部解為k12（其中 為任意常數(shù)） 1612,分3.求線性方程組的全部解解： 將方程組的增廣矩陣化為階梯形0462318721方程組的一般解為 （其x435中 為自由未知量） 4令 =0，得到方程的一個特解. )01(X方程組相應的齊次方程的一般解為（其中 為自由未知量）43215x令 =1，得到方程的一個基礎解系. )15(1X于是，方程組的全部解為（其中 為任意常數(shù)） 0k4.求線性方程組8325941x的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形 2413058293021此時相應齊次方程組的一般解為是自由未知4321x量令 ，得齊次方程組的一個基礎解系411X令 ，得非齊次方程組的一個特解0x2由此得原方程組的全部解為（其中10k為任意常數(shù)）k5設齊次線性方程組 的系數(shù)矩AX陣經(jīng)過初等行變換，得 求此齊次2013線性方程組的一個基礎解系和通解 因為 012/3得一般解： （其4321x是自由元） 43,x令 ，得 ；01X令 ，,43得 2所以， 是方程組的一個基21,礎解系 方程組的通解為： X，其中 是任意常數(shù) 21k1,6設齊次線性方程組 ， 為083521x何值時方程組有非零解？在有非零解時，解：因為 A = 8352610301時， ，5即當 3)(Ar所以方程組有非零解 方程組的一般解為： ，其中 為321x自由元令 =1 得 X1= ，則方程組的基礎解3x),(系為X 1通解為 k1X1，其中 k1 為任意常數(shù) 求出通解 7. 當 取何值時，線性方程組253421x有解，在有解的情況下求方程組的全部解解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形0123由此可知當 時，方程組無解。當 時，3方程組有解。8 分此時相應齊次方程組的一般解為（ 是自由未知量）x134243,分別令 及 ，得0x1齊次方程組的一個基礎解系X12,令 ，得非齊次方程組的一個特解x34,0由此得原方程組的全部解為8.k 為何值時，線性方程組 且 方 程 組 的 一 般 解 為方 程 組 有 解時當 為 階 梯 形將 方 程 組 的 增 廣 矩 陣 化解 并 求 出 一 般 解有 解 ，kAx5,037241:3421281743x843721x.),(573614432為 自 由 未 知 量其 中 xx9求齊次線性方程組 的通0295314x解解： A= 62103一般解為 ，其中 x2，x 4 是自由元 543令 x2 = 1，x 4 = 0，得 X1 = ；),(x2 = 0，x 4 = 3，得 X2 =,(所以原方程組的一個基礎解系為 X1，X 2 原方程組的通解為： ，其中 k1，k 2 是任意常數(shù) 10設有線性方程組12xyz為何值時，方程組有唯一解?或有無窮多解?解： 2322)1(0333rrA當 且 時，方程組有唯一解)(R當 時， ，方程組有無)(A窮多解11判斷向量 能否由向量組 線性表出，123,若能，寫出一種表出方式其中 837105623,解：向量 能否由向量組 線性表出，321,當且僅當方程組有解321xx這里 5710470658,321A)(R方程組無解不能由向量線性表出321,12計算下列向量組的秩，并且（1）判斷該向量組是否線性相關 123478906,解： 018236314,321該向量組線性相關13求齊次線性方程組x123405的一個基礎解系解： 307142540531223rrA 23134321rrr方程組的一般解為 令014532x，得基礎解系13x04514求下列線性方程組的全部解 x123459756解： 02871456031574922rrA方程組一般解為 0221r9432x令 ， ，這里 ， 為1k21k2任意常數(shù)，得方程組通解A3設 ，試求: (1)4,3(NX；(2) （已知95P7）,81.08.0,2.解：1 )()1574.39.(2 )(7XP)28.2.設 ，試求：(1) ；N(,4()1(2) （已知)75）9.03,.解：(1) PX(12()84).(2 ()537).109153.設 ，求 和2,NXP.（其中(,6)(, ）84)7.3解：設 )10(2Y84.5XP)2(= .().= 170693.14.設 ，試求 ；N(,2 （已知PX)58,4.）,7.0解： (13().0987 P)852(.4155某射手射擊一次命中靶心的概率是 0.8，該射手連續(xù)射擊 5 次，求：（1）命中靶心的概率； （2）至少 4 次命中靶心的概率解：射手連續(xù)射擊 5 次，命中靶心的次數(shù)（1）設 ：“命中靶心” ，則XB(,.)AP()0 239685C.（2）設 ：“至少 4 次命中靶心” ，則BXP()()5545087328.6設 是兩個隨機事件，已知 ，BA,4.0)(AP， ，求：5.0)(P4.（1） ； （2） )(解（1） = = = )(.018（2 BA)(P.850.7設隨機變量 X 的密度函數(shù)為，求：(1) k； (2) E(X )，D(X)解：（1）因為 1= = = 3 k， 所以 xfd)(22k = 3(2) E(X) = = = 21dx2145E( ) = =23D(X) = E( ) - = 8058設隨機變量 X N（8，4） 求 )1(P和 ( ，69.)， )13.072解：因為 X N（ 8，4） ，則 YN（0，1） 所以 = =)(P5.02)5.2(= = = =0.381(69.3 = = .)2(X8P730)2(9. 設 ，試求4,N； （已知9）,413.0)(9.)(.解： 325XP174.08.)(237X)(9110.假設 A,B 為兩件事件，己知 P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B| )=0.4, 求 P(A+B)A其 它(2kf.解：P( )=P( )P(B| )=0.5 0.4=0.2P(AB)BA=P(B)P( B)=0.60.2=0.4P(A+B)=P(A)+P(B)P(AB)=0.7。11設隨機變量 （1）求 ；),4(NX)2(P（2）若 ，求 k 的值 （已知93.0） 58,7.)(解：（1） 1)(= 1 1 （ ）4P= 2（1 ）0.045 (（2） )kX11 5.1(93.0()4k即k4 = -1.5， k2.512罐中有 12 顆圍棋子，其中 8 顆白子，4 顆黑子若從中任取 3 顆，求：（1）取到 3 顆棋子中至少有一顆黑子的概率；（2）取到 3 顆棋子顏色相同的概率解：設 =“取到 3 顆棋子中至少有一顆黑子” ，1A=“取到的都是白子 ”， =“取到的都是黑子 ”，2B =“取到 3 顆棋子顏色相同” ，則（1） )(1)(2P （2）745.0328C)()(32AP.1.312413設隨機變量 X N（3， 4） 求：（1）P（1 1.96 ，所以拒絕237|0H11某零件長度服從正態(tài)分布，過去的均值為20.0，現(xiàn)換了新材料，從產(chǎn)品中隨機抽取 8 個樣品，測得的長度為（單位：cm）：20.0, 20.2, 20.1, 20.0, 20.2, 20.3, 19.8, 19.5問用新材料做的零件平均長度是否起了變化（） 5.解：由已知條件可求得：12.067.s135.9|8/|/|0T2).,(5.,tnt | T | < 2.62 接受 H0即用新材料做的零件平均長度沒有變化。四、證明題（本題 6 分）1設 是 階對稱矩陣，試證：BA,也是對稱矩陣證明： 是同階矩陣，由矩陣的運算性質可知)(已知 是對稱矩陣，故有,，即BA)(由此可知 也是對稱矩陣，證畢2 設隨機事件 , 相互獨立，試證：也相互獨立,證明： )(1)()(APBPBA所以 也相互獨立證畢 ,3、設 , 為隨機事件，試證：)(證明：由事件的關系可知 )(U而 ，故由概率的性質可知ABP()即 )(證畢4 設 是線性無關的，證明, 321也線性無關1.證明：設有一組數(shù) ，使得2,k0)()(321k成立，即 )()(3213k，由已知 線性無關，故有2,031k該方程組只有零解，得 ，0321k故 是線性無關21,的證畢5設 n 階矩陣 A 滿足 ，)(I則 A 為可逆矩陣證明： 因為 ，即 0)(2IAII2所以，A 為可逆矩陣 6.設 , 為隨機事件，試證：BP證明：由事件的關系可知UAB()()而 ，故由概率的性質可知ABP()()7設 n 階矩陣 A 滿足 ，則 A 為0I可逆矩陣證明： 因為 ，即)(2I； 所以 ，A 為可逆矩陣 I28設向量組 ，若,1m2 ,1線性相關，證明 線)(,2s ,2性相關證明：因為向量組 線性相關，1s,2故存在一組不全為 0 的數(shù) ，使k21sk成立于是存在不全為 0 的數(shù)，使,21s sm1sk9若 也 是 正 交 矩 陣是 正 交 矩 陣 ， 試 證 'A證明：因為所以','1I可 逆 且因 而是 正 交 陣 ， 故有 ')()'(1即， 是 正 交 陣10.設 , 是兩個隨機事件，試證：ABP()()證明：由事件的關系可知 U而 ，故由加法公式和乘法公式)(可知證畢 BAPBA()11.設 是同階對稱矩陣，試證： 也是,對稱矩陣證明：因12證 畢 。故 可 知 是 對 稱 矩 陣 ，)(設 是 n 階矩陣，若 = 0，則A321I證明：因為 )(.= 32AI= = 3所以 1)(I13設向量組 線性無關，令2,， ，1314，證明向量組 線性無關。證明：設 ，即021k)()(1321k因為4213線性無關，所以 2,0321k解得 k1=0, k2=0, k3=0，從而 線性無關 ,14 對任意方陣 ，試證 是對稱矩陣A證明： '')('是對稱矩陣15 若 是 階方陣，且 ，試證 或nI11證明： 是 階方陣，且A2I或 116 若 是正交矩陣，試證 也是正交矩陣A證明： 是正交矩陣1)()(A即 是正交矩陣1試證：任一維向量 都可由向4321,a量組， ， ，01234線性表示，且表示方式唯一，寫出這種表示方式證明：012012334任一維向量可唯一表示為)(34214321aa)(1試證：線性方程組有解時，它有唯一解的充分必要條件是：相應的齊次線性方程組只有零解證明：設 為含 個未知量的線性方程組BAXn該方程組有解，即 R)(從而 有唯一解當且僅當而相應齊次線性方程組 只有零解的充分必0要條件是 n)(有唯一解的充分必要條件是：相應的齊次BAX線性方程組 只有零解19設 是可逆矩陣的特征值，且，試證： 是矩陣 的特征011A值證明： 是可逆矩陣的特征值 存在向量 ，使11)()(IA即 是矩陣 的特征值120用配方法將二次型 43212431xxf化為標準型解： 423214321)()(fxx令 ，y， ，423234y即 41yx則將二次型化為標準型 231f.