根與系數(shù)的關(guān)系1.已知，是關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m20的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且滿足：，則m的值是（ ）A3 B1 C3或1 D3或12.已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2x+k+10的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2，且x1，x2滿足x1+x2x1x2<1，則k的取值范圍在數(shù)軸上表示為（ ）3.設(shè)方程x2+x20的兩個(gè)根分別為，那么(1)(1)的值等于（ ）A4 B2 C0 D24.已知，是方程x25x20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則2+2的值是（ ）A1 B9 C23 D275.有兩個(gè)一元二次方程：M：ax2+bx+c0，N：cx2+bx+a0，其中a+c0，以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（ ）A如果方程M有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B如果方程M有兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根D如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x16.若關(guān)于x的一元二次方程x2(a+5)x+8a0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為2和b，則ab_.7.已知一元二次方程x26x50的兩根分別為a，b，則a1+b1_.8.已知m，n是關(guān)于x的一元二次方程x23x+a0的兩個(gè)解，若(m1)(n1)6，則a的值為_.9.設(shè)x1，x2是一元二次方程x2+5x40的兩個(gè)根，若，則m_.10.（一題多法）已知方程2x2+mx40的一根為2，求它的另一根和m的值.11.已知關(guān)于x的方程x22(k1)x+k20有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2.（1）求k的取值范圍；（2）若，求k的值.12.已知一元二次方程x2+3x10的兩根分別是x1，x2，請(qǐng)利用根與系數(shù)的關(guān)系求：（1）；（2）.13.已知x1，x2是一元二次方程(a6)x2+2ax+a0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.（1）是否存在實(shí)數(shù)a，使x1+x1x24+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由.（2）求使(x1+1)(x2+1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值.14.已知兩個(gè)數(shù)的和為10，積為8，求這兩個(gè)數(shù).15.已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程4x2+4(m1)x+m20的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問(wèn)：x1和x2能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的m的取值范圍；若不能同號(hào)，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案1.A 解析 易得+(2m+3)，m2，即m22m30，由解得m3.2.C 解析 由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x22，x1x2k+1.x1+x2x1x2<1，2k1<1，解得k>2.方程有實(shí)數(shù)根，b24ac0，即2241(k+1)0，解得k0，2<k0.3.C 解析 依題意得+1，2，(1)(1)(+)+12+1+10.4.D 解析 由根與系數(shù)的關(guān)系可得+5，2，2+2(+)225+227.5.D 解析 A選項(xiàng)，M有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，>0，即b24ac>0，而此時(shí)方程N(yùn)的根的判別式b24ac>0，故它也有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.B選項(xiàng)中方程M的兩根符號(hào)相同，即，而方程N(yùn)的兩根之積，也大于0，故方程N(yùn)的兩個(gè)根也是同號(hào)的.C選項(xiàng)中如果5是方程M的一個(gè)根，則有25a+5b+c0，我們只需要考慮將代入方程N(yùn)看是否成立即可，代入得，比較與，可知式是由式兩邊同時(shí)除以25得到的，故式成立.D選項(xiàng)中設(shè)方程M和方程N(yùn)的一個(gè)相同的根為x0，則有，整理，得，即.因?yàn)閍x2+bx+c0是一元二次方程，所以a0，所以，所以x01，所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選擇D6.4 解析 把x2代入方程x2(a+5)x+8a0得42(a+5)+8a0，解得a1，根據(jù)x1+x2a+5可得2+ba+56，所以b4，故ab4.7. 解析 由根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b6，ab5，.8.4 解析 由根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n3，mnA(m1)(n1)6，mnmn+16，即mn(m+n)7，a37，解得a4.9.10 解析 由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x25，x1x24.，8x2488x1+m2，8(x1+x2)48+m2，4048+m2，解得m10.10.解法1：將方程的根x2代入方程，得2(2)2+m(2)40，m2.將m2代入原方程得2x2+2x40，即x2+x20，解得x12，x21.即方程的另一根為1.解法2：設(shè)方程的另一根為x1，則根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得，解得x11，m2.11.分析：（1）由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得b24ac0，據(jù)此可求出k的取值范圍；（2）結(jié)合（1）中k的取值范圍去掉的絕對(duì)值號(hào)，可得出k的值.解：（1）由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得b24ac4(k1)24k20，解得.（2）依題意可得，x1+x22(k1)，由（1）可知，2(k1)<0.由，得2(k1)k21，解得k11（舍去），k23，k的值是3.12.解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x23，x1x21.（1）.（2）.點(diǎn)撥：若方程x2+px+q0的兩根分別是x1，x2，則x1+x2p，x1x2q.分別對(duì)和進(jìn)行恒等變形，將它們分別化為含有x1+x2和x1x2的代數(shù)式，然后求解.13.思路建立 （1）要求判斷符合題意的a的值是否存在，需先根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系用含a的式子分別表示出x1+x2和x1x2，假設(shè)x1+x1x24+x2成立，將其變形，把其中的x1x2及x1+x2用含a的代數(shù)式表示出來(lái)，得到關(guān)于a的方程，解方程即可；（2）先將式子變形為x1x2+(x1+x2)+1，再把x1+x2和x1x2用含a的式子表示后根據(jù)題意討論，從而得到a的值.解：（1）存在.x1，x2是一元二次方程(a6)x2+2ax+a0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，. 一元二次方程(a6)x2+2ax+a0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，4a24(a6)a0，且a60，解得a0且a6.x1+x1x24+x2，x1x24+(x1+x2)，即，解得a24，存在實(shí)數(shù)a，使x+x1x24+x2成立，a的值是24.（2），當(dāng)(x1+1)(x2+1)為負(fù)整數(shù)且a為整數(shù)時(shí)，有a66，a63，a62，a61，a12，9，8，7，使(x1+1)(x2+1)為負(fù)整數(shù)的實(shí)數(shù)a的整數(shù)值有12，9，8，7. 14.思路建立 要求出這兩個(gè)數(shù)，我們可以設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為x1和x2，則有x1+x210，x1x28，再逆用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系寫出相應(yīng)的一元二次方程，然后解方程即可.解：設(shè)這兩個(gè)數(shù)分別為x1和x2，則有x1+x210，x1x28，所以以這兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程為x210x+80，解這個(gè)方程得， .答：這兩個(gè)數(shù)分別為和.點(diǎn)撥：本題也可以先設(shè)一個(gè)未知數(shù)，然后列一元二次方程求解.15.思路建立 求兩根同號(hào)時(shí)m的取值范圍，首先應(yīng)根據(jù)方程有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，得到0，且m20，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到關(guān)于m的不等式組，從而求得m的取值范圍.解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次方程4x2+4(m1)x+m20有兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，則有：4(m1)244m232m+160，且m20，且m0.又x1，x2是方程4x2+4(m1)x+m20的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得x1+x2(m1)，.假設(shè)x1，x2同號(hào)，則有兩種可能：x1<0，x2<0；x1>0，x2>0.（1）若x1<0，x2<0，則有即.解這個(gè)不等式組，得m>1.且m0時(shí)方程才有實(shí)數(shù)根，此種情況不成立.（2）若x1>0，x2>0，則有即解這個(gè)不等式組，得m<1.又且m0，當(dāng)且m0時(shí)，兩根能同號(hào).