小專題(九)用概率判斷游戲規(guī)則的公平性一個游戲規(guī)則是否公平,關(guān)鍵是看游戲雙方獲勝的概率是否相等,若相等則公平,否則不公平.要解決這類問題,先要算出雙方獲勝的概率,再判斷.另外,設(shè)計新規(guī)則,方案不唯一,只要使雙方獲勝的概率相等即可.類型1判斷游戲是否公平1.下列游戲公平的是(A)A.擲一個硬幣兩次,出現(xiàn)兩次正面甲勝,出現(xiàn)兩次反面乙勝B.擲一個硬幣兩次,出現(xiàn)一次正面甲勝,出現(xiàn)兩次反面乙勝C.擲一個硬幣兩次,至少出現(xiàn)一次正面甲勝,出現(xiàn)一次反面一次正面乙勝D.擲一個硬幣兩次,出現(xiàn)相同面甲勝,至少出現(xiàn)一次正面乙勝2.小玲與小麗兩人各擲一個正方體骰子,規(guī)定兩人擲的點數(shù)和為偶數(shù),則小玲勝;點數(shù)和為奇數(shù),則小麗勝,下列說法正確的是(C)A.此規(guī)則有利于小玲B.此規(guī)則有利于小麗C.此規(guī)則對兩人是公平的D.無法判斷3.在聯(lián)歡會上,有A,B,C三名選手站在一個三角形的三個頂點的位置上,他們在玩搶凳子游戲,要求在他們中間放一個木凳,誰先搶到凳子誰獲勝,為使游戲公平,則凳子應(yīng)放的最適當(dāng)?shù)奈恢檬窃贏BC的(B)A.三邊中線的交點B.三邊垂直平分線的交點C.三條角平分線的交點D.三邊上高的交點4.甲和乙一起做游戲,下列游戲規(guī)則對雙方公平的是(B)A.在一個裝有2個紅球和3個白球(每個球除顏色外都相同)的袋中任意摸出一球,摸到紅球甲獲勝,摸到白球乙獲勝;B.從標(biāo)有號數(shù)1到100的100張卡片中,隨意抽取一張,抽到號數(shù)為奇數(shù)甲獲勝,否則乙獲勝;C.任意擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,擲出的點數(shù)小于4則甲獲勝,擲出的點數(shù)大于4則乙獲勝;D.讓小球在如圖所示的地板上自由地滾動,并隨機地停在某塊方塊上,若小球停在黑色區(qū)域則甲獲勝,若停在白色區(qū)域則乙獲勝5.王紅和劉芳兩人在玩轉(zhuǎn)盤游戲,如圖,把轉(zhuǎn)盤甲、乙分別分成3等份,并在每一份內(nèi)標(biāo)上數(shù)字,游戲規(guī)則:轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤停止后,指針?biāo)傅膬蓚€數(shù)字之和為7時,王紅勝;數(shù)字之和為8時,劉芳勝.那么這二人中獲勝可能性較大的是王紅.6.(泉州中考)A,B兩組卡片共5張,A中三張分別寫有數(shù)字2,4,6,B中兩張分別寫有3,5,它們除數(shù)字外沒有任何區(qū)別.(1)隨機地從A中抽取一張,求抽到數(shù)字為2的概率;(2)隨機地分別從A,B中各抽取一張,請你用畫樹狀圖或列表的方法表示所有等可能的結(jié)果.現(xiàn)制定這樣一個游戲規(guī)則:若所選出的兩數(shù)之積為3的倍數(shù),則甲獲勝;否則乙獲勝.請問這樣的游戲規(guī)則對甲乙雙方公平嗎?為什么?解:(1)P=.(2)由題意畫出樹狀圖如圖,一共有6種情況,甲獲勝的情況有4種,P=;乙獲勝的情況有2種,P=,所以這樣的游戲規(guī)則對甲乙雙方不公平.類型2修改游戲規(guī)則7.現(xiàn)有游戲規(guī)則如下:第一個人先說“1”或“1、2”,第二個人要接著往下說一個或兩個數(shù),然后又輪到第一個人,再接著往下說一個或兩個數(shù),這樣兩人反復(fù)輪流,每次每人說一個或兩個數(shù)都可以,但是不可以連說三個數(shù),誰先說到“38”,誰就得勝.在這個游戲中,若采取合理的策略,你認(rèn)為(C)A.后報者可能勝B.后報者必勝C.先報者必勝D.不分勝負8.四張質(zhì)地相同的卡片如圖1所示,將卡片洗勻后,背面朝上放置在桌面上.(1)求隨機抽取一張卡片,恰好得到數(shù)字2的概率.(2)小貝和小晶想用這四張卡片做游戲,游戲規(guī)則見圖2.你認(rèn)為這個游戲公平嗎?請用列表法或畫樹狀圖法說明理由.若不公平,請你修改規(guī)則,使游戲變得公平.解:(1)P(隨機抽取一張卡片,恰好得到數(shù)字2)=.(2)畫樹狀圖如下:從樹狀圖中可以看出所有等可能的結(jié)果共有16種,組成的兩位數(shù)不超過32的有10種,P(組成的兩位數(shù)不超過32)=,P(小貝勝)>P(小晶勝),游戲規(guī)則不公平.修改規(guī)則:法一:將游戲規(guī)則中的32換成2631(包括26和31)之間的任何一個數(shù)都能使游戲公平.法二:游戲規(guī)則改為:組成的兩位數(shù)中,若個位數(shù)字是2,則小貝勝,反之小晶勝.(答案不唯一,合理即可)類型3設(shè)計公平的游戲9.三個籌碼,第一個一面畫上,另一面畫上;第二個一面畫上,另一面畫上#;第三個一面畫上#,另一面畫上.甲、乙兩人玩拋擲三個籌碼的游戲,其游戲規(guī)則定為“擲出的三個籌碼中有一對或一對#(答案不唯一,合理即可),則甲方贏;否則,乙方贏”時,這個游戲是公平的.10.一個不透明的布袋里裝有16個只有顏色不同的球,其中紅球有x個,白球有2x個,其他均為黃球,現(xiàn)甲從布袋中隨機摸出一個球,若是紅球則甲同學(xué)獲勝,甲同學(xué)把摸出的球放回并攪勻,由乙同學(xué)隨機摸出一個球,若為黃球,則乙同學(xué)獲勝.(1)當(dāng)x=3時,誰獲勝的可能性大?(2)當(dāng)x為何值時,游戲?qū)﹄p方是公平的?解:(1)當(dāng)x=3時,有紅球3個,白球6個,黃球7個,故甲同學(xué)獲勝概率為,乙同學(xué)獲勝概率為,因為,當(dāng)x=3時,乙同學(xué)獲勝可能性大.(2)游戲?qū)﹄p方公平必須有,解得x=4,當(dāng)x=4時,游戲?qū)﹄p方是公平的.11.在一副撲克牌中,拿出紅桃2、紅桃3、紅桃4、紅桃5四張牌,洗勻后,小明從中隨機摸出一張,記下牌面上的數(shù)字為x,然后放回并洗勻,再由小華隨機摸出一張,記下牌面上的數(shù)字為y,組成一對數(shù)(x,y).(1)用列表法或樹狀圖表示出(x,y)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.(2)求小明、小華各摸一次撲克牌所確定的一對數(shù)滿足x+y=5的概率.(3)小明、小華玩游戲,規(guī)則如下:組成數(shù)對和為偶數(shù)小明贏,組成數(shù)對和為奇數(shù)小華贏.你認(rèn)為這個游戲公平嗎?若不公平,請重新設(shè)計一個對小明、小華都公平的游戲.解:(1)由列表或樹狀圖(略)可得共有16種等可能的結(jié)果.(2)滿足所確定的一對數(shù)滿足x+y=5的結(jié)果有2種:(2,3),(3,2),此事件記作A,則P(A)=.(3)組成數(shù)對和為偶數(shù)的概率是,組成數(shù)對和為奇數(shù)的概率是,所以游戲公平.