第十章 曲線積分與曲面積分 1 對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 計(jì)算公式：無論是對(duì)弧長(zhǎng)還是對(duì)坐標(biāo)的曲線積分重要的是寫出曲線的參數(shù)方程 若，則 若，則 注意：上限一定要大于下限 1． 計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分 （1），其中為圓周； 解：法一： 法二：， （2），其中為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界； A B 解：，其中 ，， （或 ） 故 （3），其中為拋物線上介于與之間的一段弧； 解：由，得 （4），其中為擺線的一拱； 解： （令） （5），其中為圓周； 解：利用對(duì)稱性，其中 （6），其中為曲線，，上相應(yīng)于從0變到2的弧段； 解： （7），其中為空間圓周： . 解：由，得，令 故。故 2． 螺旋形彈簧一圈的方程為： ，設(shè)它的線密度為，求： （1） 它關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）它的重心坐標(biāo). （1） （2） （分子采用分部積分法） = 2 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分 無論是對(duì)弧長(zhǎng)還是對(duì)坐標(biāo)的曲線積分重要的是寫出曲線的參數(shù)方程 1計(jì)算公式：若，（其中分別始點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)），則 若，（其中分別始點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)），則 注意：（1）對(duì)定向曲線才能說對(duì)坐標(biāo)的曲線積；定向曲線的參數(shù)方程與未定向曲線的參數(shù)方程的不同： ① 定向曲線的參數(shù)表示為始點(diǎn)的參數(shù)到終點(diǎn)的參數(shù)而不管誰大誰?。? ② 未定向曲線的參數(shù)方程的參數(shù)表示為不等式： （2）①弧長(zhǎng)的積分轉(zhuǎn)化為定積分時(shí)定積分的上限一定要大于下限 ②對(duì)坐標(biāo)的曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分時(shí)定積分的上限一定是終點(diǎn)的參數(shù)，下限是始點(diǎn)的參數(shù)，而不管上限是否一定要大于下限 2：兩類曲線積分的關(guān)系 （1） 定向曲線的切向量及其方向余弦 若 ①當(dāng)時(shí) 切向量為：； 方向余弦為 ②當(dāng)時(shí) 切向量為：； 方向余弦為 類似可以推廣到空間曲線。 （2） 兩類曲線積分的關(guān)系 其中為定向曲線切向量的方向余弦 注意：把第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為第一類曲線積分其關(guān)鍵是求出切向量。特別要注意始點(diǎn)參數(shù)與終點(diǎn)參數(shù)大小關(guān)系對(duì)切向量符號(hào)的影響。 1． 把對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分，其中為： （1）從點(diǎn)（0，0）沿拋物線到點(diǎn)（1，1）； 解：，由，故在處切向量為，所以 ， 所以 （2）從點(diǎn)（0，0）沿上半圓周到點(diǎn)（1，1）. 解：，由，故在處切向量為，所以 ，所以 （或） 法二，由， 故切向量為，即 所以 ， ，所以 2． 計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲線積分： （1），其中為拋物線上從點(diǎn)（0，0）到（2，4）的一段弧； 解：由，得 O A a （2），其中為圓周及軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個(gè)邊界曲線?。ò茨鏁r(shí)針方向）； 解：， 其中， （注意此方程不是的極坐標(biāo)方程，故不能說在極坐標(biāo)系下的范圍，事實(shí)上極坐標(biāo)方程為，故在極坐標(biāo)系下的范圍為） 故 （3），為從點(diǎn)（1，0）到點(diǎn)（-1，0）的上半橢圓周； 解：由，得 （4），其中為圓周（按逆時(shí)針方向）； 解：由，得 （5），其中為橢圓周：，且從軸正方向看去，取順時(shí)針方向； 解：由 得，故 （注意：易知，所以 （6），其中是曲線：上由0到的一段弧. 解： 3．計(jì)算，其中：（1）拋物線上從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（4，2）的一段??；（2）從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（4，2）的直線段； （3）曲線上從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（4，2）的一段弧. 解：（1）由，得 （2）由，得 （3）由，得 4．證明： 其中為平面上光滑曲線的長(zhǎng)度. （提示：轉(zhuǎn)化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分） 證明： 其中是切向量的方向余弦，故滿足。 法二：證明： 其中是切向量的方向余弦，故滿足。 設(shè)向量，則 ， 故 3 Green公式 1． 用曲線積分計(jì)算下列曲線所圍平面圖形的面積： （1）橢圓：； 解：若：，則 （2）星形線：，. 解：若：，則 2．用格林公式計(jì)算下列曲線積分 （1），其中為圓周，取逆時(shí)針方向； （2），其中為閉區(qū)域的正向邊界. 解：（1）， 又逆時(shí)針方向，設(shè)，所以 （注意，為什么？） （2） 所以 （其中 所以） 3．計(jì)算積分，其中為圓周（按逆時(shí)針方向）； 解 （1）故當(dāng)時(shí)，在所圍的區(qū)域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)，滿足格林公式條件。 （2）故當(dāng)時(shí)，所圍的區(qū)域含有點(diǎn)，故在區(qū)域有點(diǎn)沒有連續(xù)偏導(dǎo)，不滿足格林公式條件。不能直接用格林公式條件。 做曲線（取得足夠小保證含在所圍區(qū)域）方向?yàn)槟鏁r(shí)針，即。 則曲線圍成復(fù)連通區(qū)域且為的正向邊界。 故在復(fù)連通區(qū)域滿足格林公式條件，故 即 （注之所以取曲線是方便計(jì)算，若取則計(jì)算麻煩） 4．證明下列曲線積分在面上與路徑無關(guān)，并計(jì)算積分. （1） 解：，所以單連通區(qū)域面有連續(xù)偏導(dǎo)，且 A（1，2） C（3，4） ，所以曲線積分在面上與路徑無關(guān)。B（3，2） 法一： 其中 法二設(shè)： 則得0 ，故 （2） 解：，所以單連通區(qū)域面有連續(xù)偏導(dǎo)，且 A（1，0） C（2，1） B（2，0） ，所以曲線積分在面上與路徑無關(guān)。 法一： 其中 法二設(shè)： ，得0，所以 ， 故= 5．用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ?jì)算下列曲線積分 O B A D A （1），其中為圓周上從點(diǎn)依逆時(shí)針方向到點(diǎn)的弧段； 解：由 ，有 其中， B（1，2） A（2，1） C（1，1） （2），其中為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段. 解：由 ，有 積分與路徑無關(guān)，則 其中， （注意：若應(yīng)用積分與路徑無關(guān)，則必須保證在添加的曲線與原曲線所圍的區(qū)域是單連通的，和在區(qū)域有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如該題中區(qū)域就不能含原點(diǎn)） 6．解下列全微分方程 （1）； 解： ，在面有，得方程為全微分方程。 法一，故 O（0，0） B（x，y） A（x，0） ，得，即 所以方程通解為 法二，令 其中 所以方程通解為 （2）. 解：，在面有，得方程為全微分方程。 法一，故 O（0，0） B（x，y） A（x，0） ，得，即 所以方程通解為 法二，令 其中 所以方程通解為 7．計(jì)算曲線積分，其中： （1）閉區(qū)域的正向邊界； ，則 顯然在內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，滿足格林公式條件，故 （2）圓周按逆時(shí)針方向； 解：圓周所圍區(qū)域含原點(diǎn)，故在其內(nèi)沒有連續(xù)偏導(dǎo)，數(shù)，不能用格林公式。直接計(jì)算，故 (0, p)E (p,-p),B (-p,-p)A (- p, p),C (p, p),D （3）從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧段. 解：由，則積分路徑無關(guān)，故： ， 其中， 故： 8．利用曲線積分與路徑無關(guān)的條件，求待定參數(shù)或函數(shù). （1）確定的值，使曲線積分與路徑無關(guān)； 解：，欲使曲線積分與路徑無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)，即 ，即得 （2）求可微函數(shù)，，使曲線積分 在的開區(qū)域內(nèi)與積分路徑無關(guān). 解：，積分與路徑無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)，即 ，得 ，（這是以自變量為未知函數(shù)的一階線性微分方程） 又得 9．證明的充分必要條件為： 其中是單連通開域內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線，在內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 證明：對(duì)曲線積分，故的充分必要條件為，又， 故的充分必要條件為， 即 4 對(duì)面積的曲面積分 1．計(jì)算下列曲面積分 （1），其中∑為拋物面在面上方的部分; 解： 則 故 （2），其中∑為錐面及平面所圍成閉區(qū)域的邊界曲面. 解：如圖，其中 ，故 =+ = + （3），其中∑為錐面被柱面所截得的部分; 解： 則 故 （區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)，是關(guān)于奇函數(shù)） （4），其中∑為上半球面. 解：，則 故： 3． 計(jì)算曲面殼 的質(zhì)量，面密度. 解：質(zhì)量 其中， 則 4． 求密度為常數(shù)的均勻半球殼對(duì)于Oz軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解： ∑在面上的投影區(qū)域： 5對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 計(jì)算聯(lián)合形式 法一：直接計(jì)算：則分別計(jì)算，， （1） 計(jì)算時(shí) （Ⅰ）將曲面投影在面（且只能投影面，即使投影為曲線而非區(qū)域，此時(shí)）為區(qū)域，即根據(jù)方程解出：，并確定曲面是朝上還是朝下 1計(jì)算下列對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 （1），其中∑是柱面被平面及所截下的第一卦限內(nèi)部分的前側(cè); 解：（1）計(jì)算 ∑在面投影為0，故 （2） 計(jì)算 曲面朝投影為 故，前側(cè) 故 （令 （3） 計(jì)算 曲面朝投影為 故，右側(cè) 故 故 = （2），其中∑是拋物面介于平面及之間的部分的下側(cè); y z x 解：法一（直接計(jì)算）：計(jì)算，將投影到面為 ，朝下，故 y Z=2 計(jì)算將投影到面為，如圖 ，其中，朝前 ，朝后，故 （其中令） 故 法二（投影面轉(zhuǎn)換法）因?yàn)?，：，朝下，，所? （其中利用對(duì)稱性：， 由于：易知：，即） 2把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化為對(duì)面積的曲面積分： （1）∑：平面被柱面所截部分的下側(cè); 解：曲面在處的法向量為，故： ，，故 （注意對(duì)于非定向曲面可為，或，但對(duì)于定向曲面朝下則第三個(gè)分量應(yīng)為負(fù)） （2）∑：拋物面被平面所截的部分的左側(cè). 解：曲面在處的法向量為，故： ，，故 （注意對(duì)于非定向曲面可為，或，但對(duì)于定向曲面朝做則第二個(gè)分量應(yīng)為負(fù)） 3．計(jì)算曲面積分 其中為連續(xù)函數(shù)，∑是平面在第四卦限內(nèi)的上側(cè). 解：由∑是平面在第四卦限內(nèi)的上側(cè)，故曲面在處的法向量為 故，，，則 （其中平面的面積為） 5． 計(jì)算，∑為錐面上滿足，，的那部分曲面的下側(cè). 解：（采用投影面轉(zhuǎn)換法計(jì)算較為簡(jiǎn)單） 由，有 又∑為錐面：，，，朝下， 6 Gauss公式與Stokes公式 1．利用高斯公式計(jì)算下列曲面積分. （1）其中∑是球面的外側(cè). 解 （本題中若寫成是錯(cuò)誤的，為什么？） 2）其中∑為由曲面與所圍立體的表面的外側(cè). 解： （若采用先二后一的方法計(jì)算三重積分） ，其中 （若采用柱坐標(biāo)方法計(jì)算三重積分） 2．計(jì)算下列曲面積分： （1），∑是球面的上側(cè). 解；作曲面，朝下。則 其中 （先二后一） 由，朝下，有 ，故 （2），∑為拋物面被平面所截下的部分的下側(cè). 解；作曲面，朝上。則 其中 （用柱坐標(biāo)） 由，朝上有 故 （其中利用定積分的幾何意義有 ） 3：計(jì)算曲面積分其中∑為和所圍曲面外側(cè). 解： 4．設(shè)是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，計(jì)算曲面積分 其中∑為錐面 與兩球面及所圍立體表面的外側(cè). 解： 5．利用斯托克斯公式計(jì)算下列曲線積分: （1），為圓周：，從z軸正向看去，取逆時(shí)針方向. 解：原積分= （其中如圖它是在球內(nèi)的部分，朝上。） 的法向量為，故 （2），為橢圓，從z軸正向看去，取逆時(shí)針方向. 解：原積分= （其中它是在圓柱內(nèi)的部分，朝上） 的法向量為，故 原積分 第十章 自測(cè)題 1．（1）求，其中為曲線，； 解： （2）求，其中L為上半圓周，，沿逆時(shí)針方向. 解：， 做直線段，則 O A 2a 由有 故 2．計(jì)算下列各題： （1），其中∑為界于與之間的柱面：. 解：利用對(duì)稱性有 其中為在第一卦限部分如圖 （2）求其中∑為錐面的外側(cè). 解：作曲面，朝上，則 由，朝上有 故 （3）其中∑為曲面的上側(cè). 解：作曲面，朝下，則 由，朝下，有 故=0 3．求均勻曲面的質(zhì)心的坐標(biāo). 解：利用對(duì)稱性，，其中 ，故質(zhì)心為