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1,量子力學(xué)第五章微擾理論,繆靈miaoling@,2,可解析求解模型,3,一、近似方法的出發(fā)點(diǎn),近似方法通常是從簡單問題的精確解（解析解）出發(fā)，來求解復(fù)雜問題的近似（解析）解。,二、近似解問題分為兩類,1、體系Hamilton量不是時(shí)間的顯函數(shù)——定態(tài)問題,（1）定態(tài)微擾論；（2）變分法。,2、體系Hamilton量顯含時(shí)間——狀態(tài)之間的躍遷問題,（1）與時(shí)間t有關(guān)的微擾理論；（2）常微擾。,4,,1非簡并定態(tài)微擾理論,2簡并微擾理論及其應(yīng)用,3變分法與氦原子基態(tài),5,平衡態(tài)附近的泰勒展開,6,1非簡并定態(tài)微擾理論,一、微擾體系的Schrdinger方程,其中H(0)所描寫的體系是可以精確求解的，其本征值En(0)，本征矢Ψn(0)。則：,7,當(dāng)H?≠0時(shí)引入微擾，使體系能級發(fā)生移動，由En(0)→En，狀態(tài)由ψn(0)→ψn。,8,微擾體系的定態(tài)Schrdinger方程,為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫為：,其中λ是很小的實(shí)數(shù)，表征微擾程度的參量。,因?yàn)镋n、ψn都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是λ的函數(shù)而將其展開成λ的冪級數(shù)：,其中En(0),λEn(1),λ2En(2),...分別是能量的0級近似、1級近似和2級近似等。,而ψn(0),λψn(1),λ2ψn(2),...分別是狀態(tài)矢量0級近似、1級近似和2級近似等。,9,,乘開得：,代入Schrdinger方程得：,10,根據(jù)等式兩邊λ同冪次的系數(shù)應(yīng)該相等:,整理后得：,體系的能量和態(tài)矢為,11,二、非簡并定態(tài)的微擾近似,1、態(tài)矢和能量的一級近似,(1)能量一級修正En(1),左乘<ψn(0)|,利用本征基矢的正交歸一性：,其中能量的一級近似等于微擾Hamilton量在0級態(tài)矢中的平均值,12,二、非簡并定態(tài)的微擾近似,左乘<ψm(0)|,（2）態(tài)矢的一級修正ψn(1),13,14,注意,（2）態(tài)矢的一級修正ψn(1),15,能量高階近似,方程左乘態(tài)矢?ψn(0)|,,,,16,低級微擾近似結(jié)果,17,三、微擾理論適用條件,18,微擾適用條件表明：,（2）|En(0)–Em(0)|要大，即能級間距要寬。,例如：在庫侖場中，體系能量（能級）與量子數(shù)n2成反比，即En=-μZ2e2/(2?2n2)(n=1,2,3,...)可見，n大時(shí)，能級間距變小，因此微擾理論不適用于計(jì)算高能級（n大）的修正，而只適用于計(jì)算低能級（n?。┑男拚?（1）H?mn要小，即微擾矩陣元要小；,物理意義,19,表明微擾態(tài)矢ψn可以看成是無微擾態(tài)矢ψm(0)的線性疊加。,（2）展開系數(shù)H?mn/(En(0)-Em(0))表明第m個(gè)態(tài)矢ψm(0)對第n個(gè)態(tài)矢ψn的貢獻(xiàn)有多大。展開系數(shù)反比于擾動前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)影響最大。因此態(tài)矢一階近似無須計(jì)算無限多項(xiàng)，只要算出最近鄰的有限項(xiàng)即可。,（3）由En=En(0)+H?nn可知，擾動后體系能量是由擾動前第n態(tài)能量En(0)加上微擾Hamilton量H?在無微擾態(tài)ψn(0)中的平均值組成。該值可能是正或負(fù)，引起原來能級上移或下移。,（1）在一階近似下：,討論,20,例：已知某表象中Hamilton量的矩陣形式,（1）設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級近似；（2）求H的精確本征值；（3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。,解：,（1）c<<1，可取0級和微擾Hamilton量分別為：,21,H0是對角矩陣，是H0在自身表象中的形式。所以，0級近似的能量和態(tài)矢為：,E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2,由非簡并微擾公式,能量一級修正：,22,能量二級修正為：,23,準(zhǔn)確到二級近似的能量本征值為：,設(shè)H的本征值是E，可得久期方程：,,可得：,(3)將準(zhǔn)確解按c(<<1)展開,微擾論二級近似結(jié)果，與精確解展開式，不計(jì)c4及以后高階項(xiàng)的結(jié)果相同。,(2)精確解：,24,例：一電荷為e的線性諧振子，受恒定弱電場ε作用。電場沿x正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。,解：,（1）帶電諧振子的Hamilton量,將Hamilton量分成H0+H?兩部分，在弱電場下，上式最后一項(xiàng)很小，可看成微擾。,25,（2）寫出H0的本征值和本征函數(shù)E(0),ψn(0),（3）計(jì)算En(1),積分等于0是因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)所致。,26,（4）計(jì)算能量二級近似En(2),欲計(jì)算能量二級修正，首先應(yīng)計(jì)算H?mn矩陣元。,利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：,金蟬脫殼！,27,對諧振子有；En(0)-En-1(0)=?ω,En(0)-En+1(0)=-?ω,28,（5）態(tài)矢量一級近似,對諧振子有；En(0)-En-1(0)=?ω,En(0)-En+1(0)=-?ω,29,2.電諧振子的精確解,實(shí)際上這個(gè)問題是可以精確求解的，只要我們將體系Hamilton量作以下整理：,,,其中x?=x–[eε/(μω2)]，可見，體系仍是一個(gè)線性諧振子。它的每一個(gè)能級都比無電場時(shí)的線性諧振子的相應(yīng)能級低e2ε2/(2μω2)，而平衡點(diǎn)向右移動了eε/μω2距離。,30,周世勛《量子力學(xué)教程》P172，5.3,31,2簡并微擾理論及其應(yīng)用,上節(jié)，我們研究了0級波函數(shù)為非簡并情況下的微擾理論。那么，如果一微擾體系的0級近似為簡并態(tài)，如何運(yùn)用微擾理論對其分析得出各級近似呢？,一、簡并定態(tài)微擾理論,32,簡并本征態(tài),本征值方程,共軛方程,33,這里En(0)是簡并的，屬于H(0)的本征值En(0)有k個(gè)歸一化本征函數(shù)：|n1?,|n2?,......,|nk?;?n?|n??=???,那么，在k個(gè)本征函數(shù)中究竟應(yīng)取哪一個(gè)作為微擾波函數(shù)的0級近似。所以在簡并情況下，首先要解決的問題是如何選取0級近似波函數(shù)的問題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級近似。,0級近似波函數(shù)應(yīng)從這k個(gè)|n??及其線性疊加中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按?冪次分類得到的方程。,簡并本征態(tài),本征值方程,共軛方程,34,左乘?n?|得：,2、0級近似波函數(shù)和一級近似能級,系數(shù)c?由一級方程定出,35,上式是以展開系數(shù)c?為未知數(shù)的齊次線性方程組，它有不全為零解的充要條件是系數(shù)行列式為零，即,這就是微擾算符H的久期方程，解此方程，可得能量的一級修正En(1)的k個(gè)根：En?(1),?=1,2,...,k，體系能級En?=En(0)+En?(1)。若這k個(gè)根都不相等，那末一級微擾就可以將k度簡并完全消除；若En?(1)有幾個(gè)重根，則表明簡并只是部分消除，必須進(jìn)一步考慮二級修正才有可能使能級完全分裂開來。,微擾算符的本征值方程,36,為了確定能量En?所對應(yīng)的0級近似波函數(shù)，可以把En?(1)之值代入線性方程組從而解得一組c?(?=1,2,...,k)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的0級近似波函數(shù)。,為了能表示出c?是對應(yīng)與第?個(gè)能量一級修正En?(1)的一組系數(shù)，我們在其上加上角標(biāo)?而改寫成c??。這樣一來，線性方程組就改寫成：,37,例：一粒子Hamilton量的矩陣形式為：H=H0+H?，其中,求：能級的一級近似和波函數(shù)的0級近似。,解,H0的本征值是三重簡并的，這是一個(gè)簡并微擾問題。,E(1)[(E(1))2-α2]=0,(1)能量一級近似由久期方程|H?-E(1)I|=0得：,,實(shí)例,38,解得：E(1)=0,α,E1(1)=-αE2(1)=0E3(1)=+α,能級一級近似：,簡并完全消除,(2)0級近似波函數(shù),,將E1(1)=–α代入方程，可得對應(yīng)能級E1的0級近似波函數(shù)ψ1(0),歸一化,39,,,歸一化,將E2(1)=0代入方程，可得對應(yīng)能級E2的0級近似波函數(shù)ψ2(0),將E3(1)=α代入方程，可得對應(yīng)能級E3的0級近似波函數(shù)ψ3(0),同理可得,40,1、Stark效應(yīng),氫原子在外電場作用下產(chǎn)生譜線分裂的現(xiàn)象，稱為Stark效應(yīng)。,電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場作用，第n個(gè)能級有n2度簡并。加入外電場后，勢場對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，簡并部分被消除。Stark效應(yīng)可用簡并的微擾理論予以解釋。,2、外電場下氫原子Hamilton量,二、氫原子的一級Stark效應(yīng),41,3、H0的本征值和本征函數(shù),下面我們只討論n=2的情況，這時(shí)簡并度n2=4。,取外電場沿z正向。通常外電場強(qiáng)度比原子內(nèi)部電場強(qiáng)度小得多。例如，強(qiáng)電場≈107伏/米，而原子內(nèi)部電場≈1011伏/米，二者差4個(gè)量級。所以，可以把外電場的影響作為微擾處理。,42,,條件：H中H(t)定態(tài)H=H0+H’,H’<,|ψ2>,...,|ψn>,...,45,,,量子力學(xué)變分法,46,基于上述基本原理，我們可以選取很多波函數(shù)|ψ(1)>,|ψ(2)>,...,|ψ(k)>,...為試探波函數(shù)，來計(jì)算能量平均值,其中最小的一個(gè)最接近基態(tài)能量E0，即,如果選取的試探波函數(shù)接近基態(tài)波函數(shù)，則H的平均值就接近基態(tài)能量E0。這樣，我們就找到了一個(gè)計(jì)算基態(tài)能量和波函數(shù)的近似方法——變分法。,使用此方法求基態(tài)近似，最主要的問題，就是：,如何尋找試探波函數(shù)？,47,試探波函數(shù)的選取直接關(guān)系到計(jì)算結(jié)果。如何選取試探波函數(shù)沒有固定可循的法則，通常是根據(jù)物理上的直覺去猜測。,（1）根據(jù)體系Hamilton量的形式和對稱性推測合理的試探波函數(shù)；,（2）試探波函數(shù)要滿足問題的邊界條件；,（3）為了有選擇的靈活性，試探波函數(shù)應(yīng)包含一個(gè)或多個(gè)待調(diào)整的參數(shù)，這些參數(shù)稱為變分參數(shù)；,（4）若體系Hamilton量可以分成兩部分H=H0+H1，而H0的本征函數(shù)已知有解析解，則該解析解可作為體系的試探波函數(shù)。,2、試探波函數(shù)的選取,48,有了試探波函數(shù)后，我們就可以計(jì)算,能量平均值是變分參數(shù)λ的函數(shù)，欲使取最小值，則要求：,上式就可定出試探波函數(shù)中的變分參量λ取何值時(shí)有最小值，而此時(shí)的就可作為基態(tài)近似能量，試探波函數(shù)可作為基態(tài)近似波函數(shù)。,3、變分方法,49,例：一維簡諧振子的基態(tài),一維簡諧振子Hamilton量：,其本征函數(shù)是：,下面我們利用變分法求諧振子基態(tài)。首先構(gòu)造試探波函數(shù)。,50,A——?dú)w一化常數(shù)，?是變分參量。因?yàn)?1.φ(x)是光滑連續(xù)的函數(shù)，關(guān)于x=0點(diǎn)對稱；,2.滿足邊界條件即當(dāng)|x|→∞時(shí)，φ→0；,3.φ(x)是高斯函數(shù)，高斯函數(shù)有很好的性質(zhì)，可作解析積分，且有積分表可查。,51,1.對試探波函數(shù)定歸一化系數(shù)：,2.能量平均值,52,3.變分求極值,,得基態(tài)能量近似值為：,這正是精確的一維諧振子基態(tài)能量。若將,代入試探波函數(shù)，得：,正是一維諧振子基態(tài)波函數(shù)。此例得到了精確的結(jié)果，是因?yàn)椋覀冊谶x取試探波函數(shù)時(shí)，對體系的物理特性（Hamilton量）進(jìn)行了全面的分析，構(gòu)造出了非常合理的試探波函數(shù)。,53,氦原子由帶正電2e的原子核與核外2個(gè)電子組成。核的質(zhì)量比電子質(zhì)量大得多，可認(rèn)為核固定不動。氦原子Hamilton算符：,用變分法求氦原子基態(tài)能量。,氦原子Hamilton量,其中,其中H0是兩個(gè)電子獨(dú)立在核電場中運(yùn)動的Hamilton量，所以H0基態(tài)本征函數(shù)可以用分離變量法解出。,二、氦原子基態(tài)（變分法）,1、氦原子的Hamilton算符,將H分成兩部分,54,試探波函數(shù),令：,由于H1,H2是類氫原子的Hamilton量，其本征函數(shù)已知為：,當(dāng)二核外電子有相互作用時(shí)，它們相互起屏蔽作用，使得核有效電荷不是2e，因此可選Z為變分參數(shù)。,2、試探波函數(shù)的選取,H0的本征函數(shù),將其作為氦原子基態(tài)試探波函數(shù)。,變分參數(shù)的選取,55,《原子物理與量子力學(xué)》,哈爾濱理工大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院應(yīng)用物理系——教案來源,56,Thankyou!,ccmshust@miaoling@,