第八章APOS學(xué)習(xí)理論,第一節(jié)APOS理論概述,美國學(xué)者杜賓斯基(E.Dubinsky)提出的APOS理論,是以建構(gòu)主義為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論，它的核心是引導(dǎo)學(xué)生在社會線索中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，分析數(shù)學(xué)問題情景，從而建構(gòu)他們自己的數(shù)學(xué)思想。根據(jù)上述想法，杜賓斯基成功地幫助大學(xué)生們學(xué)習(xí)了一系列與微積分，離散數(shù)學(xué)，抽象代數(shù)等學(xué)科分支有關(guān)的概念，如群，子群，陪集，商群，等等。,杜賓斯基認(rèn)為：1.數(shù)學(xué)教學(xué)的目的是什么？一個人是不可能直接學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)概念的，更確切地說,人們透過心智結(jié)構(gòu)（mentalstructure）使所學(xué)的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義.如果一個人對于給予的數(shù)學(xué)概念擁有適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他幾乎自然就學(xué)到了這個概念.反之，如果他無法建立起適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，那么他學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念幾乎是不可能的。教學(xué)的目的：如何幫助學(xué)生建立適當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)。,一、APOS理論的涵義,2.理論的出發(fā)點(diǎn)與基本假設(shè)理論的出發(fā)點(diǎn)：任何一個數(shù)學(xué)教育理論應(yīng)該致力于“學(xué)生是如何學(xué)習(xí)的”以及“什么樣的教學(xué)計劃可以幫助這種學(xué)習(xí)的理解”，而不僅僅是陳述一些事實(shí).理論的基本假設(shè)：數(shù)學(xué)知識是個體在解決所感知到的數(shù)學(xué)問題的過程中獲得的.在此過程中，個體依序建構(gòu)了心理活動（actions）、過程（processes）和對象（object），最終組織成用以理解問題情境的圖式結(jié)構(gòu)（schemas）.,3.APOS理論的來源POS理論是一種建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，該理論集中于對特定學(xué)習(xí)內(nèi)容數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程的研究，它指出學(xué)生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程是建構(gòu)的，并表明建構(gòu)的順序?qū)哟?。?qiáng)調(diào)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念中首先處理的數(shù)學(xué)問題要具有社會現(xiàn)實(shí)背景，并要求學(xué)生開展各種各樣的數(shù)學(xué)活動，活動中學(xué)生在已有的知識和經(jīng)驗基礎(chǔ)上通過思維運(yùn)算和反省抽象，對概念所具有的直觀背景和形式定義進(jìn)行必要的綜合，從而達(dá)到建構(gòu)數(shù)學(xué)概念的目的。,APOS理論起源于作者試圖對皮亞杰的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“自反抽象”理論進(jìn)行拓展的一種嘗試.所謂“自反”，就是返身、反思，自己作了實(shí)踐性活動，然后“脫身”出來，作為一個“旁觀者”來看待自己剛才做了些什么，將自己所做的活動過程作為思考的對象，并歸結(jié)出某個結(jié)論，這就是“自反抽象”.,皮亞杰認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象活動的基本性質(zhì)是一種“自反抽象”。它與通常所謂的“經(jīng)驗抽象”有著重要的區(qū)別。所謂的“經(jīng)驗抽象”即是以真實(shí)的事物或現(xiàn)象作為直接的原型，也即是由一類物質(zhì)對象中抽象出共同的特性.“自反抽象”卻并非是關(guān)于物質(zhì)對象的，而只是涉及到了人類施加于物質(zhì)對象之上的活動,或者說，這即是對人類自身活動進(jìn)行反思的直接結(jié)果.,皮亞杰的這一觀點(diǎn)表明了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要特點(diǎn)數(shù)學(xué)抽象活動的間接性。數(shù)學(xué)抽象未必是以真實(shí)事物或現(xiàn)象為原型的直接抽象，而也可以是以已經(jīng)得到建構(gòu)的數(shù)學(xué)對象為原型的間接抽象，也即是在更高的層次上去對已有的東西重新進(jìn)行建構(gòu)。APOS理論指明了這種建構(gòu)的途徑和方式。無論是“經(jīng)驗抽象”，還是“自反抽象”，必須在經(jīng)過操作、過程、對象、圖式等階段后才能完成數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)思維的建構(gòu)和提升.,二、APOS理論的理論模型,1.四階段模型杜賓斯基認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念就是要建構(gòu)心智結(jié)構(gòu)，這一建構(gòu)過程要經(jīng)歷以下4個階段（以函數(shù)概念為例）：第一階段操作(或活動)（action）階段這里的活動是指個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個客觀的數(shù)學(xué)對象.,數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，操作運(yùn)算行為是數(shù)學(xué)認(rèn)知的基礎(chǔ)性行為。學(xué)生與數(shù)學(xué)家一樣，要親自投入，通過實(shí)際經(jīng)驗來獲得知識，雖然這種實(shí)踐性與物理、化學(xué)、生物等實(shí)驗科學(xué)的觀察試驗行為所不同，但數(shù)學(xué)活動仍需實(shí)際操作演算和頭腦中的心理操作思想實(shí)驗，沒有物理操作和心理的操作，數(shù)學(xué)概念將成為無源之水，無本之木.,大部分?jǐn)?shù)學(xué)概念的形成都經(jīng)歷了一個反省抽象的活動。而要形成反省，被反省的基礎(chǔ)，就是操作活動。所謂操作是指個體對于感知到的對象進(jìn)行轉(zhuǎn)換，這個對象實(shí)質(zhì)上是一種外部刺激。例如，理解函數(shù)概念需要進(jìn)行活動或操作。在有現(xiàn)實(shí)背景的問題中建立一種函數(shù)關(guān)系y=2x,要求個體計算出在一個給定點(diǎn)的函數(shù)值，如：通過這種操作，學(xué)生獲得函數(shù)的操作意義.,第二階段過程(process)階段當(dāng)“活動”經(jīng)過多次重復(fù)而被個體熟悉后，物理操作就可以內(nèi)化為一種叫做“過程(process)”的心理操作，有了這一“程序”，個體就可以想象之前的活動，而不必通過外部刺激；他可以在腦中實(shí)施這一程序而不需要具體操作；他甚至還可以對這一程序進(jìn)行逆轉(zhuǎn)以及與其它程序進(jìn)行組合.,例如，一旦學(xué)生認(rèn)識到所謂函數(shù)只不過是給定一個不同的數(shù)就會得出相應(yīng)的不同值，而不必再進(jìn)行具體的運(yùn)算時，他就已經(jīng)完成了這種過程模式的建構(gòu)。把上述操作活動綜合成函數(shù)過程，一般地有x2x；其它各種函數(shù)也可以概括為一般的對應(yīng)過程：xf(x).想象為輸入輸出的“函數(shù)機(jī)”概念在過程階段表現(xiàn)為一系列的步驟，有操作性，相對直觀，容易仿效學(xué)習(xí)；學(xué)生可以從過程入手經(jīng)操作來體會概念中所包含的具體關(guān)系.,第三階段對象(object)階段當(dāng)個體能把這個“過程”作為一個整體進(jìn)行操作和轉(zhuǎn)換的時候，這個過程就變成了他的一種心理“對象(object)”.這時,個體可以操控對象去實(shí)施各種相關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算。需要的時候，也可以具體再現(xiàn)對象所包含的過程步驟.例如，將函數(shù)的對應(yīng)過程壓縮為一個“整體”，形成函數(shù)的“對象”這一心理結(jié)構(gòu)，從而可以實(shí)現(xiàn)函數(shù)的復(fù)合、微分、積分這些運(yùn)算，進(jìn)一步可發(fā)展出函數(shù)空間、算子這些更抽象的數(shù)學(xué)概念.,所以，作為對象的概念，在某一個層次和更高一級層次之間起著一種樞紐作用：它既操作別的對象，又被高層次的運(yùn)算來操作。當(dāng)概念進(jìn)入對象狀態(tài)時，便呈現(xiàn)一種靜態(tài)結(jié)構(gòu)關(guān)系，成為一個“實(shí)體”，易于整體把握性質(zhì)，這時一個完整的理解才真正成型。,第四階段圖式(scheme)階段個體對活動、過程、對象以及他原有的相關(guān)方面的圖式進(jìn)行相應(yīng)的整合、精致就會產(chǎn)生出新的圖式結(jié)構(gòu)(scheme),從而可運(yùn)用于問題解決情境.一個數(shù)學(xué)概念的“圖式”是由相應(yīng)的活動、過程、對象以及相關(guān)的圖式所組成的認(rèn)知框架。其作用和特點(diǎn)就是決定某些刺激是否屬于這個圖式，從而就會作出不同的反應(yīng)。,良好的函數(shù)概念圖式：“函數(shù)是兩個非空數(shù)集之間的一種對應(yīng)關(guān)系；在一個集合中任意取定一個數(shù)，總可以在另一個集合里找到唯一確定的數(shù)與它對應(yīng)；前面的集合叫定義域，那些被唯一確定的所有數(shù)組成了叫做值域的集合；函數(shù)概念的關(guān)鍵是由誰唯一確定了誰；函數(shù)概念與函數(shù)所用的符號沒有什么關(guān)系，就像人的名字一樣；”這一心理圖式含有具體的函數(shù)實(shí)例（解析式、圖像、表格、映射圖）、抽象的對應(yīng)過程、定義的言語編碼，以及與其它概念的聯(lián)系（方程、曲線、不等式、代數(shù)式等）。,APOS理論的四階段模型,2.APOS循環(huán),杜賓斯基認(rèn)為，活動、過程、對象也可以看作是數(shù)學(xué)知識的三種狀態(tài)，而圖式則是由這三種知識構(gòu)成的一種認(rèn)知結(jié)構(gòu).雖然這四者具有等級結(jié)構(gòu)，但個體對某一數(shù)學(xué)概念的理解并不只是線性的，而是循環(huán)的。,例如，函數(shù)概念的學(xué)習(xí)。學(xué)習(xí)者一開始的活動是，視函數(shù)為一個公式，它含有一些可以運(yùn)算和賦值的字母變量.隨后，視函數(shù)為“函數(shù)機(jī)”可以輸入、輸出的機(jī)器，于是得到了初步的“程序”，即過程.但一遇到更為復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)式時，往往又回到了“活動”階段，進(jìn)一步完善了函數(shù)“程序”.如此反復(fù)，經(jīng)過多次循環(huán)后，才最終形成明確而完整的函數(shù)“對象”,APOS循環(huán)圖,活動的內(nèi)化是數(shù)學(xué)課堂的一種“日?；顒印?例如，為了考察二次函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，學(xué)生先具體比較一些函數(shù)值的大小，這屬于離散狀態(tài)的“活動”階段.這些“活動”經(jīng)過多次重復(fù)后，慢慢就內(nèi)化為一種心理結(jié)構(gòu)“程序”，其功能就是實(shí)行相應(yīng)的“活動”.,在活動階段，學(xué)生只能單個地計算函數(shù)值，比較大小；在程序（過程）階段，學(xué)生可以同時考慮多個函數(shù)值的大小關(guān)系及變化趨勢.在學(xué)生多次運(yùn)用“程序”后，一旦他們對整個區(qū)間上的函數(shù)值隨自變量變化的趨勢有了整體的認(rèn)識，上述“程序”就已經(jīng)被“壓縮(encapsulation)”為一個“對象”.只有當(dāng)個體主動地反復(fù)運(yùn)用“程序”去實(shí)施相應(yīng)的“活動”時，“壓縮”才可能出現(xiàn).在數(shù)學(xué)活動中，“解壓縮(de-encapsulation)”的過程也同樣重要.,運(yùn)用壓縮和解壓縮的過程去實(shí)施某個“活動”是數(shù)學(xué)思維的一個特點(diǎn).例如，在兩個函數(shù)f和g相加得到一個新的函數(shù)f+g的過程中，必須把原來的兩個函數(shù)和結(jié)果函數(shù)都看作是“對象”.但在實(shí)際變換或者討論函數(shù)的性質(zhì)時，又必須先將它們“解壓縮”為原先的“程序”而分別操作，然后形成新的“程序”.在新的“程序”中，將涉及其它更多的數(shù)學(xué)概念，如新函數(shù)的定義域與原先兩個函數(shù)的定義域之間的關(guān)系.這樣，圍繞這一“對象”形成了一個關(guān)聯(lián)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)“圖式”,APOS理論指出，數(shù)學(xué)對象、圖式的形成是一種漸進(jìn)的建構(gòu)過程。一個數(shù)學(xué)概念由“過程”到“對象”的建立有時是既困難又漫長的（如函數(shù)概念），“過程”到“對象”的抽象需要經(jīng)過多次的反復(fù)，循序漸進(jìn)，螺旋上升，直至學(xué)生真正理解?！皩ο蟆钡慕⒁⒁馑暮喚毼淖中问健⒎柋硎?，使學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識的直觀結(jié)構(gòu)形象.,APOS理論揭示出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中圖式的形成往往并非是一種自覺的行為，而是一個不知不覺的漸進(jìn)的建構(gòu)過程。在整個環(huán)節(jié)中，相應(yīng)的操作為圖式的形成提供了必要的基礎(chǔ)。經(jīng)過提煉和拓展，圖式的形成要經(jīng)歷三個階段：單個圖式、多個圖式、圖式的遷移。,單個圖式階段的特點(diǎn)就是只是注意離散的操作、過程和對象，而把具有類似性質(zhì)的其它知識點(diǎn)隔離開來.多個圖式階段就是注意了各個圖式中蘊(yùn)涵的知識點(diǎn)之間的關(guān)系和銜接，這時個體就能把這些知識點(diǎn)組成一個整體.到了遷移階段，個體才能徹底搞清楚在上一個階段中提到的相關(guān)知識點(diǎn)之間的相互關(guān)系，并建構(gòu)出這些知識點(diǎn)之間的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，形成一個大的圖式.,三、APOS理論的特征（1）真實(shí)反映了數(shù)學(xué)概念的心智建構(gòu)過程APOS理論集中于對特定學(xué)習(xí)內(nèi)容數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程的研究，對數(shù)學(xué)概念所特有的思維形式“過程和對象的雙重性”做出了切實(shí)分析。對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生的思維活動做出深入的研究，正確揭示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的特殊性，提出學(xué)生學(xué)習(xí)概念要經(jīng)過“活動”、“過程”、“對象”和“圖式”4個階段。反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中真實(shí)的思維活動.,“活動階段”是學(xué)生理解概念的一個必要條件，通過“活動”讓學(xué)生親身體驗、感受概念的直觀背景和概念間的關(guān)系?！斑^程階段”是學(xué)生對“活動”進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程，學(xué)生在頭腦中對活動進(jìn)行描述和反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)。“對象階段”是通過前面的抽象，認(rèn)識到了概念本質(zhì)，對其賦予形式化的定義及符號，使其達(dá)到精致化，成為一個具體的對象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對象去進(jìn)行新的活動。,“圖式階段”的形成要經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)活動來完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學(xué)習(xí)建立起與其它概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。（2）APOS理論揭示了數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的本質(zhì)，是具有數(shù)學(xué)學(xué)科特色的學(xué)習(xí)理論.（3）APOS理論是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種具體模式.（4）為數(shù)學(xué)教學(xué)提供理論工具.,第二節(jié)APOS理論典型案例,一、函數(shù)概念1.活動階段理解函數(shù)需要進(jìn)行活動或操作。例如，在有現(xiàn)實(shí)背景的問題中建立函數(shù)關(guān)系yX2，需要用具體的數(shù)字構(gòu)造對應(yīng)：24；39；416；525；通過操作，理解函數(shù)的意義。2.過程階段把上述操作活動綜合成為一個函數(shù)過程。一般地有xx2；其它的各種函數(shù)也可以概括為一般的對應(yīng)過程：xf(x)。,3.對象階段然后可以把函數(shù)過程上升為一個獨(dú)立的對象來處理,比如，函數(shù)的加減乘除、復(fù)合運(yùn)算等。在表達(dá)式f(x)土g(x)中，函數(shù)f(x)和g(x)均作為整體對象出現(xiàn)。4.圖式階段此時的函數(shù)概念，以一種綜合的心理圖式而存在于腦海中，在數(shù)學(xué)知識體系中占有特定的地位。這一心理圖式含有具體的函數(shù)實(shí)例、抽象的過程、完整的定義，乃至和其它概念的區(qū)別和聯(lián)系(方程、曲線、圖像等等)。,二、代數(shù)式概念代數(shù)式(字母表示數(shù))概念一直是學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)過程中的難點(diǎn)，很多學(xué)生學(xué)過后只能記住代數(shù)式的形式特征，不能理解字母表示數(shù)的意義。代數(shù)式的本質(zhì)是把方法性的算術(shù)的運(yùn)算(過程上的運(yùn)算)上升到了結(jié)構(gòu)性的式的運(yùn)算(對象上的運(yùn)算)，這其中要經(jīng)歷從算術(shù)到代數(shù)觀點(diǎn)的改變。首先要設(shè)計具體的在算術(shù)上的方法性的運(yùn)算活動，使代數(shù)概念的建立經(jīng)歷必要的“過程”階段，從而能建立“對象”的代數(shù)式。,1.通過運(yùn)算活動，理解具體的代數(shù)式。問題1：一列火車保持一定的速度行駛，每小時行駛90千米，請將這列火車行駛的路程與時間的關(guān)系填在表1中：,問題2：隨著梯形個數(shù)的增加，由若干個梯形組成的圖形的周長也在變化，觀察圖形并填寫表2：,表2梯形個數(shù)與周長變化,2.過程階段，體驗代數(shù)式形成過程。教師提出以下問題：(1)用字母符號代表“口”如90t，與具體的數(shù)有什么樣的關(guān)系?(2)把各具體字母表示的式子作為一個整體，具有什么樣的特征和意義?(需經(jīng)反復(fù)體驗、反思、抽象代數(shù)式特征：一種運(yùn)算關(guān)系；字母表示一類數(shù)，如t和90t)。這一階段還包括列代數(shù)式和對代數(shù)式求值，如可計算下題，讓學(xué)生進(jìn)一步體會代數(shù)式形成過程。,3.對象階段，對代數(shù)式的形式化表述(以下簡略說明)。這一階段包括建立代數(shù)式形式定義、對代數(shù)式的化簡、合并同類項、因式分解及解方程等運(yùn)算。學(xué)生在進(jìn)行運(yùn)算中應(yīng)意識到運(yùn)算的對象是形式化的代數(shù)式而不是數(shù),代數(shù)式本身體現(xiàn)了一種運(yùn)算關(guān)系，而不只是運(yùn)算過程。這一階段，學(xué)生必須理解字母(不定元)的意義，識別代數(shù)式。,4.圖式階段，建立綜合的心理圖式。通過以上三個階段的教學(xué)，學(xué)生在頭腦中應(yīng)該建立起如下的代數(shù)式的心理表征：具體的實(shí)例(直觀的)、運(yùn)算過程、字母表示一類數(shù)的數(shù)學(xué)思想、代數(shù)式的定義,并能加以運(yùn)用。例如,化簡代數(shù)式,(2x26x十5)2(2x26x十4)2=(2x26x十5)十(2x26x十4)(2x26x十5)十(2x26x十4)=(4x212x十9)=(2x3)2,需將每一個括號內(nèi)的式子看成一個具體的對象-代數(shù)式，運(yùn)用平方差與平方和公式進(jìn)行化簡?？梢钥闯?，學(xué)生在對象階段代數(shù)式概念的建立要經(jīng)歷一段時間才能完成。此外，在以后學(xué)習(xí)方程、整式、分式、函數(shù)等內(nèi)容時不斷對代數(shù)式的概念進(jìn)行完善，找到它在數(shù)學(xué)整體中的地位，從而建立完整的心理圖式。,三、有理數(shù)加法法則1.運(yùn)算操作（活動）計算一個足球隊在一場足球比賽時的勝負(fù)可能結(jié)果的各種不同情形：（3）（2）5；（一2）（一1）3；（3）（一2）（1）；（一3）（2）1；（3）03；（其中每個和式中的兩個有理數(shù)是上、下半場中的得分?jǐn)?shù)）。,2.綜合分析（過程）把以上算式作為整體綜合進(jìn)行特征分析：同號相加、異號相加、一個數(shù)與零相加等的過程和結(jié)果對照總結(jié)規(guī)律，理解運(yùn)算意義。3.形成對象把各種規(guī)律綜合在一起成為一完整的有理數(shù)加法法則，并產(chǎn)生有理數(shù)和的模式：有理數(shù)十有理數(shù)=（1）符號（2）數(shù)值這一階段還包括按照有理數(shù)和的模式及具體的運(yùn)算律進(jìn)行任意的有理數(shù)和的運(yùn)算和代數(shù)式求值的運(yùn)算等。,4.形成圖式有理數(shù)加法法則以一種綜合的心理圖式建立在學(xué)生的頭腦中，其中有具體的足球比賽的實(shí)例、有抽象的操作過程、有完整的運(yùn)算律和形成的模式。而且通過以后的學(xué)習(xí)獲得和其他概念、規(guī)則的區(qū)別與聯(lián)系（有理數(shù)和、差、積的組合關(guān)系，多項式的和、差、積關(guān)系等）。,四、解一元一次方程1.活動階段為了求未知數(shù)，通過已知數(shù)和條件列出方程，然后用代數(shù)式的四則運(yùn)算求出未知數(shù)。學(xué)生學(xué)習(xí)解具體的方程：2X=5；3X2=5X3，理解具體的方程的意義。2.過程階段從整體上體驗一元一次方程的特征，把握解方程的一般性步驟，會解一般的axb=0；axbcxd之類的方程,綜合分析解方程的思想方法。,3.對象階段把解一元一次方程作為單獨(dú)的對象來掌握,區(qū)別于一元二次方程。在解二元一次聯(lián)立方程時，能夠識別是由兩個一元一次方程所組成。此時解一元一次方程是一個單獨(dú)的結(jié)構(gòu)性的對象。4.圖式階段學(xué)生的頭腦中建立起一元一次方程的綜合圖式：一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系，由方程表示的函數(shù)的圖像等。,