第六章幾個(gè)典型的代數(shù)系統(tǒng),第一節(jié)半群與群,內(nèi)容：半群，群，子群。,重點(diǎn)：1、半群，可交換半群，獨(dú)異點(diǎn)的定義，,2、群，交換群(阿貝爾群)的定義及性質(zhì)，,3、群的階的定義，,4、循環(huán)群，生成元的定義及例子，,5、子群的定義及判定。,一、半群。,一、半群。,可交換半群,2、獨(dú)異點(diǎn)(含幺半群)：,記作,4、子半群。,半群的子代數(shù)叫子半群，,獨(dú)異點(diǎn)的子代數(shù)叫子獨(dú)異點(diǎn)。,二、群。,1、定義。,結(jié)合律，,有幺元，,任意元有逆元，,沒有幺元，,除0外，其余元素都沒有逆元。,為幺元，,，,0為幺元，,，,3、群的階。,四元群的階為4。,有關(guān)冪的兩個(gè)公式：,6、群的性質(zhì)。,6、群的性質(zhì)。,(4)幺元是群中唯一的冪等元。,不同行(列)的排列不同。,故,，,(2)再證結(jié)論成立。,三、子群。,1、定義：,三、子群。,1、定義：,有5個(gè)子群：,其余均為真子群。,2、判定。,定理：,3、生成子群，中心。,(1)生成子群：,，,，,。,3、生成子群，中心。,(2)中心：,四、循環(huán)群。,1、定義：,循環(huán)群都是阿貝爾群。,循環(huán)群的子群都是循環(huán)群。,2、循環(huán)群的典型例子。,即,1階子群,2階子群,3階子群,4階子群,6階子群,12階子群,第二節(jié)環(huán)與域,內(nèi)容：環(huán)，域。,了解：環(huán)與域的定義及例子。,一、環(huán)。,定義：,是環(huán)。,二、域。,定義：,第三節(jié)格與布爾代數(shù),內(nèi)容：格，格的性質(zhì)，布爾代數(shù)。,重點(diǎn)：格與布爾代數(shù)的有關(guān)概念及例子。,一、格的概念。,定義：,的最小公倍數(shù),的最大公約數(shù),如：,，,二、格的性質(zhì)。,2、性質(zhì)：,(1)交換律,，,(2)結(jié)合律,，,(3)冪等律,，,(4)吸收律,，,三、分配格，有界格，有補(bǔ)格。,1、分配格滿足分配律的格。,2、有界格有全上界，全下界的格。,全上界記為1，全下界記為0，有界格也記為,三、分配格，有界格，有補(bǔ)格。,4、有補(bǔ)分配格有補(bǔ)格且是分配格。,是有補(bǔ)格，,是有補(bǔ)格，,例4、判斷下圖中所表示的格是否有補(bǔ)格。,不是有補(bǔ)格,是有補(bǔ)格,是有補(bǔ)格,5、有補(bǔ)分配格中任意元素的補(bǔ)元是唯一的。,四、布爾代數(shù)。,2、性質(zhì)。,3、有限布爾代數(shù)的表示定理。,第六章小結(jié)與例題,一、半群與群。,1、基本概念。,2、運(yùn)用。,(1)判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否為半群，獨(dú)異點(diǎn)，群。,一、半群與群。,1、基本概念。,2、運(yùn)用。,(3)求一個(gè)群的所有子群。,二、環(huán)與域。,基本概念：環(huán)；域。,三、格與布爾代數(shù)。,1、基本概念。,格；分配格，有界格，有補(bǔ)格；布爾代數(shù)。,判斷一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)是否為格，布爾代數(shù)。,2、運(yùn)用。,例2、設(shè),是半群，且,，,求證：,。,例3、舉兩個(gè)是獨(dú)異點(diǎn)，但不是群的例子。,例3、舉兩個(gè)是獨(dú)異點(diǎn)，但不是群的例子。,但無幺元，不是獨(dú)異點(diǎn)。,幺元是1，是獨(dú)異點(diǎn)，,但0無逆元，不是群。,證明：(1)證結(jié)合律成立。,，有,，有,例6、設(shè),是一個(gè)群，,，定義,，,，,證明,也是一個(gè)群。,證明：,例7、右圖所示的格,，問,解：因?yàn)?即,例7、右圖所示的格,，問,不是有補(bǔ)格。,