6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第四講第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 復(fù) 習(xí) 課 整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 警示易錯提醒 1數(shù)學(xué)歸納法的兩個關(guān)注點 (1)關(guān)注用數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟第一步稱“歸納奠基”，是遞推鏈的起點；第二步稱為“歸納遞推”，是遞推鏈具有傳遞性的保證兩步缺一不可，否則不能保證結(jié)論成立 (2)關(guān)注適用范圍，數(shù)學(xué)歸納法適用于某些與正整數(shù)n有關(guān)的問題，這里n是任意的正整數(shù)， 它可取無限多個值， 但是， 并不能說所有與正整數(shù)n有關(guān)的問題都可以用數(shù)學(xué)歸納法 2數(shù)學(xué)歸納法的兩個易錯點 (1)在數(shù)學(xué)歸納法中，沒有應(yīng)用歸納假設(shè) (2)歸納推理不到位 專題一 數(shù)學(xué)歸納法 在使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，一般來說，第一步，驗證比較簡明，而第二步歸納步驟情況較復(fù)雜因此，熟悉歸納步驟的證明方法是十分重要的，其實歸納步驟可以看作是一個獨立的證明問題，歸納假設(shè)“P(k)”是問題的條件，而命題P(k1)成立就是所要證明的結(jié)論，因此，合理運用歸納假設(shè)這一條件就成了歸納步驟中的關(guān)鍵 例 設(shè) 0a1，定義a11a，an11ana，求證：對一切正整數(shù)n，有 1an11a. 證明：(1)當(dāng)n1 時，a11，a11a11a，命題成立 (2)假設(shè)nk(kN*)時，命題成立即 1ak11a， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 當(dāng)nk1 時，由遞推公式，知ak11aka(1a)a1. 同時，ak11aka1a1a21a11a， 故當(dāng)nk1 時，命題也成立，即 1ak111a， 綜合(1)(2)可知，對一切正整數(shù)n，有 1an11a. 歸納升華 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的題型多種多樣，所以不等式的證明是一個難點，在由nk成立， 推導(dǎo)nk1 也成立時， 其他證明不等式的方法在此都可以使用， 如比較法、 放縮法、分析法、反證法等，有時還要考慮與原不等式等價的命題 變式訓(xùn)練 證明不等式1221321n21(n2，nN*) 證明：先證明1221321n211n(n2)，(*) 對(*)運用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n2 時，(*)顯然成立 (2)設(shè)nk時，不等式(*)成立， 則1221321k211k. 當(dāng)nk1 時， 1221321k21（k1）211k1（k1）211k1k（k1）11k1k1k111k1. 故當(dāng)nk1 時，不等式(*)成立 根據(jù)(1)和(2)知，對nN*且n2，不等式(*)成立，故原不等式成立. 專題二 歸納、猜想、證明思想的應(yīng)用 歸納、猜想、證明屬于探索性問題的一種，一般經(jīng)過計算、觀察、歸納，然后猜想出結(jié)論，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明，由于“猜想”是“證明”的前提和“對象”，因此務(wù)必要保持猜想的正確性，同時要注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書寫 例 2 數(shù)列an滿足Sn2nan. (1)計算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項公式an； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)的猜想 (1)解：當(dāng)n1 時，a1S12a1， 所以a11. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 當(dāng)n2 時，a1a2S222a2， 所以a232. 當(dāng)n3 時，a1a2a3S323a3， 所以a374. 當(dāng)n4 時，a1a2a3a4S424a4， 所以a4158. 由此猜想an2n12n1(nN*) (2)證明：當(dāng)n1 時，a11，結(jié)論成立 假設(shè)當(dāng)nk(k1 且kN)時，結(jié)論成立， 即ak2k12k1. 當(dāng)nk1 時，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1 ， 即ak12akak1， 所以ak12ak222k12k122k112k， 這表明當(dāng)nk1 時，結(jié)論成立 由知猜想的通項公式an2n12n1成立 歸納升華 歸納猜想證明的三步曲 (1)計算：根據(jù)條件，計算若干項 (2)歸納猜想：通過觀察、分析、綜合、聯(lián)想、猜想出一般結(jié)論 (3)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明 變式訓(xùn)練 “設(shè)f(n)112131n(nN)，有f(1)112，f(3)1，f(7)32，f(15)2，” 試問：f(2n1)與n2大小關(guān)系如何？試猜想并加以證明 解：數(shù)列 1，3，7，15，通項公式為an2n1，數(shù)列12，1，32，2，通項公式為ann2， 所以猜想：f(2n1)n2. 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n1 時，f(211)f(1)112，不等式成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN)時不等式成立， 即f(2k1)k2. 當(dāng)nk1 時， f(2k11)f(2k1)12k12k112k1212k11 f(2k1)12k112k1,2k個f(2k1)12k212k12. 所以當(dāng)nk1 時不等式也成立 據(jù)(1)(2)知對任何nN原不等式均成立 專題三 轉(zhuǎn)化和化歸思想 把所要證的平面幾何問題轉(zhuǎn)化， 運用數(shù)學(xué)歸納法來解決， 這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和化歸的思想 一般將待解決的平面幾何問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使之化為我們熟悉的或容易解決的問題 例 3 設(shè)平面內(nèi)有n條直線， 這n條直線把平面分成互不垂疊的區(qū)域個數(shù)的最大值為f(n)，求f(n)的解析式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明 解：設(shè)平面內(nèi)k(k1)條直線把平面分成區(qū)域個數(shù)的最大值為f(k)，則第k1條直線與前k條直線最多有k個交點， 因此第k1 條直線最多可以被分成k1 段， 每一段可把所在的區(qū)域分為兩部分，所以比原來的區(qū)域增加k1 個，即有f(k1)f(k)k1， 所以f(k1)f(k)k1. 于是f(2)f(1)2，f(3)f(2)3，f(n)f(n1)n. 把以上n1 個等式相加得f(n)f(1)23n. 因為f(1)2， 所以f(n)f(1)(23n)12(n2n2) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)n1 時，一條直線可以把平面分成 2 個， 即f(1)2，而12(n2n2)12(112)2， 所以命題成立 (2)假設(shè)nk時，f(k)12(k2k2)成立， 當(dāng)nk1 時，f(k1)f(k)(k1)12(k2k2)(k1)12(k22k1k3)6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 12(k1)2(k1)2，所以命題仍成立 由(1)(2)知，當(dāng)nN*時，f(n)12(n2n2)成立 歸納升華 有關(guān)幾何圖形的性質(zhì)、公式等與自然數(shù)n有關(guān)的命題，主要是抓住遞推關(guān)系，明確要證明的表達(dá)式，然后轉(zhuǎn)化用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明 變式訓(xùn)練 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意正整數(shù)n，整式anbn都能被ab整除 證明：(1)當(dāng)n1 時，anbnab能被ab整除 (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，k1)時，akbk能被ab整除，那么當(dāng)nk1 時，ak1bk1ak1akbakbbk1ak(ab)b(akbk) 因為(ab)和akbk都能被ab整除， 所以上面的和ak(ab)b(akbk)也能被ab整除 這也就是說當(dāng)nk1 時，ak1bk1能被ab整除 根據(jù)(1)(2)可知對一切正整數(shù)n，anbn都能被ab整除