第一章學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)時(shí)間120分鐘，滿分150分一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的)1dx等于(B)A2ln2B2ln2Cln2 Dln2解析因?yàn)?2lnx)，所以 dx2lnx|2ln42ln22ln22曲線yx33x21在點(diǎn)(1，1)處的切線方程為(B)Ay3x4 By3x2Cy4x3 Dy4x5解析點(diǎn)(1，1)在曲線上，y3x26x，y|x13，即切線斜率為3利用點(diǎn)斜式得，切線方程為y13(x1)，即y3x2故選B3(2018全國(guó)卷文，6)設(shè)函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax若f(x)為奇函數(shù)，則曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為(D)Ay2x ByxCy2x Dyx解析 f(x)x3(a1)x2ax， f(x)3x22(a1)xa又f(x)為奇函數(shù)， f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立， a1， f(x)3x21， f(0)1， 曲線yf(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為yx故選D4(2018青島高二檢測(cè))下列函數(shù)中，x0是其極值點(diǎn)的函數(shù)是(B)Af(x)x3 Bf(x)cosxCf(x)sinxx Df(x)解析對(duì)于A，f (x)3x20恒成立，在R上單調(diào)遞減，沒(méi)有極值點(diǎn)；對(duì)于B，f (x)sinx，當(dāng)x(，0)時(shí)，f (x)<0，當(dāng)x(0，)時(shí)，f (x)>0，故f(x)cosx在x0的左側(cè)區(qū)間(，0)內(nèi)單調(diào)遞減，在其右側(cè)區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞增，所以x0是f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)；對(duì)于C，f (x)cosx10恒成立，在R上單調(diào)遞減，沒(méi)有極值點(diǎn)；對(duì)于D，f(x)在x0沒(méi)有定義，所以x0不可能成為極值點(diǎn)，綜上可知，答案選B5已知函數(shù)f(x)x3ax23x9在x3時(shí)取得極值，則a(D)A2B3C4D5解析f (x)3x22ax3，由條件知，x3是方程f (x)0的實(shí)數(shù)根，a56(2017浙江卷)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x)的圖象可能是(D)解析觀察導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象可知，f(x)的函數(shù)值從左到右依次為小于0，大于0，小于0，大于0，對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)的增減性從左到右依次為減、增、減、增觀察選項(xiàng)可知，排除A，C如圖所示，f(x)有3個(gè)零點(diǎn)，從左到右依次設(shè)為x1，x2，x3，且x1，x3是極小值點(diǎn)，x2是極大值點(diǎn)，且x2>0，故選項(xiàng)D確，故選D7若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于(D)A2B3C6D9解析f (x)12x22ax2b，又因?yàn)樵趚1處有極值，ab6，a>0，b>0，ab()29，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時(shí)取等號(hào)，所以ab的最大值等于9故選D8函數(shù)f(x)ax3ax22ax1的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)A<a< B<a<C<a< Da<或a>解析f (x)ax2ax2aa(x2)(x1)，要使函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則f(2)f(1)<0，即(a1)(a1)<0，解得a<或a>故選D9(2018沈陽(yáng)一模)設(shè)函數(shù)f(x)xex1，則(D)Ax1為f(x)的極大值點(diǎn)Bx1為f(x)的極小值點(diǎn)Cx1為f(x)的極大值點(diǎn)Dx1為f(x)的極小值點(diǎn)解析由于f(x)xex，可得f(x)(x1)ex，令f(x)(x1)ex0可得x1，令f(x)(x1)ex0可得x1，即函數(shù)在(1，)上是增函數(shù)令f(x)(x1)ex0可得x1，即函數(shù)在(，1)上是減函數(shù)所以x1為f(x)的極小值點(diǎn)故選D10(2017全國(guó)卷理，11)若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值是(A)A1 B2e3 C5e3 D1解析函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1則f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex1>0恒成立，得x2或x1時(shí)，f(x)0，且x<2時(shí)，f(x)>0；2<x<1時(shí)，f(x)<0；x>1時(shí)，f(x)>0所以x1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)1故選A11已知函數(shù)f(x)xlnx，g(x)x3x25，若對(duì)任意的x1，x2，都有f(x1)g(x2)2成立，則a的取值范圍是(B)A(0，) B1，)C(，0) D(，1解析由于g(x)x3x25g(x)3x22xx(3x2)，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，g5，g(2)8451由于對(duì)x1，x2，f(x1)g(x2)2恒成立，f(x)g(x)2max，即x時(shí)，f(x)1恒成立，即xlnx1，在上恒成立，axx2lnx在上恒成立，令h(x)xx2lnx，則h(x)12xlnxx，而h(x)32lnx，x時(shí)，h(x)<0，所以h(x)12xlnxx在單調(diào)遞減，由于h(1)0，x時(shí)，h(x)>0，x1,2時(shí)，h(x)<0，所以h(x)h(1)1，a112(2017全國(guó)卷理，11)已知函數(shù)f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零點(diǎn)，則a(C)A B C D1解析方法1：f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，則g(t)f(t1)t2a(etet)1g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函數(shù)g(t)為偶函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)，g(t)也有唯一零點(diǎn)又g(t)為偶函數(shù)，由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)0，2a10，解得a故選C方法2：f(x)0a(ex1ex1)x22xex1ex122，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”x22x(x1)211，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”若a>0，則a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零點(diǎn)，則必有2a1，即a若a0，則f(x)的零點(diǎn)不唯一故選C二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上)13(2017南開(kāi)區(qū)二模)已知f(x)x(2016lnx)，f(x0)2017，則x01_解析f(x)2016lnx12017lnx又f(x0)2017，f(x0)2017lnx02017，則lnx00，x0114(2018海淀區(qū)校級(jí)期末)已知函數(shù)f(x)x22lnx，則f(x)的最小值為1解析函數(shù)的定義域(0，)f(x)2x2令f(x)0x1; f(x)00x1所以函數(shù)在(0,1單調(diào)遞減，在1，)單調(diào)遞增所以函數(shù)在x1時(shí)取得最小值，f(x)minf(1)1故答案為115如圖陰影部分是由曲線y、y2x與直線x2、y0圍成，則其面積為ln2解析由，得交點(diǎn)A(1,1)由得交點(diǎn)B故所求面積Sdxdxxlnxln216(2018玉溪模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,5，部分對(duì)應(yīng)值如下表，f(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，給出關(guān)于f(x)的下列命題：x10245f(x)12021函數(shù)yf(x)在x2取到極小值；函數(shù)f(x)在0,1是減函數(shù)，在1,2是增函數(shù)；當(dāng)1a2時(shí)，函數(shù)yf(x)a有4個(gè)零點(diǎn)；如果當(dāng)x1，t時(shí)，f(x)的最大值是2，那么t的最小值為0其中所有正確命題是(寫出正確命題的序號(hào))解析由圖象可知當(dāng)1x0,2x4時(shí)，f(x)0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0x2,4x5時(shí)，f(x)0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x0或x4時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)取得極小值所以正確函數(shù)在0,2上單調(diào)遞減，所以錯(cuò)誤因?yàn)閤0或x4時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)取得極小值所以f(0)2，f(4)2，f(2)0，因?yàn)閒(1)f(5)1，所以由函數(shù)圖象可知當(dāng)1a2時(shí)，函數(shù)yf(x)a有4個(gè)零點(diǎn)；正確因?yàn)楹瘮?shù)在1,0上單調(diào)遞增，且函數(shù)的最大值為2，所以要使當(dāng)x1，t時(shí)，f(x)的最大值是2，則t0即可，所以t的最小值為0，所以正確故答案為三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17(本題滿分10分)(2018贛州二模)設(shè)函數(shù)f(x)(x1)2alnx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1x2求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)因?yàn)閒(x)(x1)2alnx，f(x)2(x1)，(x>0)即f(x)，令g(x)2x22xa，(x0)則(x1x2)是方程2x22xa0的兩個(gè)正實(shí)根則，得0<a<18(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)lnxln(2x)ax(a>0)(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(0,1上 的最大值為，求a的值解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,2)，f (x)a，(1)當(dāng)a1時(shí)，f (x)，當(dāng)x(0，)時(shí)，f (x)>0，當(dāng)x(，2)時(shí)，f (x)<0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)；(2)當(dāng)x(0,1時(shí)，f (x)a>0，即f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1上的最大值為f(1)a，因此a19(本題滿分12分)在曲線yx2(x0)上某一點(diǎn)A處作一切線，使之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為，試求切點(diǎn)A的坐標(biāo)及過(guò)切點(diǎn)A的切線方程解析如圖所示，設(shè)切點(diǎn)A(x0，y0)，過(guò)切點(diǎn)A的切線與x軸的交點(diǎn)為C由y2x知A點(diǎn)處的切線方程為yy02x0(xx0)，即y2x0xx令y0，得x，即C(，0)設(shè)由曲線yx2(x0)與過(guò)A點(diǎn)的切線及x軸所圍成圖形的面積為S，則SS曲邊AOBSABCS曲邊AOBx00x2dxx3|x00x，SABCBCAB(x0)xx，Sxxx，x01，切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)，即過(guò)切點(diǎn)A的切線方程為2xy1020(本題滿分12分)(2018和平區(qū)三模)設(shè)函數(shù)f(x)lnx ax2bx(1)當(dāng)ab時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值；(2)令F(x)f(x)x2bx(0x3)，若其圖象上的任意點(diǎn)P(x0，y0)處切線的斜率k恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)依題意，知f(x)的定義域?yàn)?0，)，當(dāng)ab時(shí)，f(x)lnxx2x，f(x)x令f(x)0，解得x1(x0)因?yàn)間(x)0有唯一解，所以g(x2)0，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減所以f(x)的極大值為f(1)，此即為最大值(2)F(x)lnx，x(0,3，則有kF(x0)，在x0(0,3上恒成立，所以a(xx0)max，x0(0,3，當(dāng)x01時(shí)，xx0取得最大值，所以a21(本題滿分12分)某工廠生產(chǎn)一種儀器的元件，由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制，會(huì)產(chǎn)生一些次品，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，其次品率P與日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)之間大體滿足關(guān)系：P(其中c為小于6的正常數(shù))(注：次品率次品數(shù)/生產(chǎn)量，如P01表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，有1件為次品，其余為合格品)已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的儀器可盈利2萬(wàn)元，但每生產(chǎn)1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元，故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量(1)試將生產(chǎn)這種儀器的元件每天的盈利額T(萬(wàn)元)表示為日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？解析(1)當(dāng)x>c時(shí)，P，所以Tx2x10當(dāng)1xc時(shí)，P，所以T(1)x2()x1綜上，日盈利額T(萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系為：T(2)由(1)知，當(dāng)x>c時(shí)，每天的盈利額為0，當(dāng)1xc時(shí)，T，令T0，解得x3或x9因?yàn)?<x<c，c<6，所以()當(dāng)3c<6時(shí)，Tmax3，此時(shí)x3()當(dāng)1c<3時(shí)，由T知函數(shù)T在1,3上遞增，所以Tmax，此時(shí)xc綜上，若3c<6，則當(dāng)日產(chǎn)量為3萬(wàn)件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)；若1c<3，則當(dāng)日產(chǎn)量為c萬(wàn)件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)22(本題滿分14分)(2018全國(guó)卷理，21)已知函數(shù)f(x)xaln x(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：<a2解析(1)解：f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1若a2，則f(x)0，當(dāng)且僅當(dāng)a2，x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞減若a2，令f(x)0，得x或x當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0所以f(x)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)證明：由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a2由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2ax10，所以x1x21，不妨設(shè)x1x2，則x21由于1a2a2a，所以a2等價(jià)于x22ln x20設(shè)函數(shù)g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減又g(1)0，從而當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0所以x22ln x20，即a26EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375