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1、 第一章 計數(shù)原理 章末檢測試卷(一) (時間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．若A＝2A，則m的值為(　　) A．5 B．3 C．6 D．7 考點　排列數(shù)公式 題點　利用排列數(shù)公式計算 答案　A 解析　依題意得＝2， 化簡得(m－3)(m－4)＝2， 解得m＝2或m＝5， 又m≥5，∴m＝5，故選A. 2．一次考試中，要求考生從試卷上的9個題目中選6個進行解答，其中至少包含前5個題目中的3個，則考生答題的不同選法的種數(shù)是(　　) A．40 B．74 C．84 D．200 考點　組合的應用

2、 題點　有限制條件的組合問題 答案　B 解析　分三類：第一類，從前5個題目中選3個，后4個題目中選3個；第二類，從前5個題目中選4個，后4個題目中選2個；第三類，從前5個題目中選5個，后4個題目中選1個，由分類加法計數(shù)原理得CC＋CC＋CC＝74. 3．若實數(shù)a＝2－，則a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210等于(　　) A．32 B．－32 C．1 024 D．512 考點　二項式定理 題點　逆用二項式定理求和、化簡 答案　A 解析　由二項式定理，得a10－2Ca9＋22Ca8－…＋210＝C(－2)0a10＋C(－2)1a9＋C(－2)2a8＋…＋C(－2)1

3、0＝(a－2)10＝(－)10＝25＝32. 4．分配4名水暖工去3戶不同的居民家里檢查暖氣管道．要求4名水暖工都分配出去，且每戶居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有(　　) A．A種 B．AA種 C．CA種 D．CCA種 考點　排列組合綜合問題 題點　分組分配問題 答案　C 解析　先將4名水暖工選出2人分成一組，然后將三組水暖工分配到3戶不同的居民家，故有CA種． 5．(x＋2)2(1－x)5中x7的系數(shù)與常數(shù)項之差的絕對值為(　　) A．5 B．3 C．2 D．0 考點　二項展開式中的特定項問題 題點　求多項展開式中特定項的系數(shù) 答案　A 解

4、析　常數(shù)項為C22C＝4，x7系數(shù)為CC(－1)5＝－1，因此x7系數(shù)與常數(shù)項之差的絕對值為5. 6．計劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫，排成一列，要求同一品種的畫必須連在一起，并且水彩畫不放在兩端，那么不同的排列方式的種數(shù)為(　　) A．AA B．AAA C．CAA D．AAA 考點　排列的應用 題點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案　D 解析　先把每個品種的畫看成一個整體，而水彩畫只能放在中間，則油畫與國畫放在兩端有A種放法，再考慮4幅油畫本身排放有A種方法，5幅國畫本身排放有A種方法，故不同的陳列法有AAA種． 7．設(2－x)5＝a0＋

5、a1x＋a2x2＋…＋a5x5，那么的值為(　　) A．－ B．－ C．－ D．－1 考點　展開式中系數(shù)的和問題 題點　二項展開式中系數(shù)的和問題 答案　B 解析　令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，再令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35.兩式相加除以2求得a0＋a2＋a4＝122，兩式相減除以2可得a1＋a3＋a5＝－121.又由條件可知a5＝－1，故＝－. 8．圓周上有8個等分圓周的點，以這些等分點為頂點的銳角三角形或鈍角三角形的個數(shù)是(　　) A．16 B．24 C．32 D．48 考點　組合的應用 題點　與幾何有關(guān)的

6、組合問題 答案　C 解析　圓周上8個等分點共可構(gòu)成4條直徑，而直徑所對的圓周角是直角，又每條直徑對應著6個直角三角形，共有CC＝24(個)直角三角形，斜三角形的個數(shù)為C－CC＝32(個)． 9．將18個參加青少年科技創(chuàng)新大賽的名額分配給3所學校，要求每所學校至少有1個名額且各校分配的名額互不相等，則不同的分配方法種數(shù)為(　　) A．96 B．114 C．128 D．136 考點　排列組合綜合問題 題點　分組分配問題 答案　B 解析　由題意可得每所學校至少有1個名額的分配方法種數(shù)為C＝136，分配名額相等有22種(可以逐個數(shù))，則滿足題意的方法有136－22＝114(種

7、)． 10．已知二項式n的展開式中第4項為常數(shù)項，則1＋(1－x)2＋(1－x)3＋…＋(1－x)n中x2項的系數(shù)為(　　) A．－19 B．19 C．－20 D．20 考點　二項式定理的應用 題點　二項式定理的簡單應用 答案　D 解析　n的展開式Tk＋1＝C()n－kk＝C，由題意知－＝0，得n＝5，則所求式子中x2項的系數(shù)為C＋C＋C＋C＝1＋3＋6＋10＝20.故選D. 11．12名同學合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排(這樣就成為前排6人，后排6人)，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的總數(shù)是(　　) A．CC B．CA

8、 C．CA D．CA 考點　排列組合綜合問題 題點　排列與組合的綜合應用 答案　C 解析　先從后排中抽出2人有C種方法，再插空，由題意知，先從4人中的5個空中插入1人，有5種方法，余下1人則要插入前排5人的空中，有6種方法，即為A，共有CA種調(diào)整方法． 12．已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－5，則(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展開式中含x4項的系數(shù)是該數(shù)列的(　　) A．第9項 B．第10項 C．第19項 D．第20項 考點　二項式定理的應用 題點　二項式定理與其他知識點的綜合應用 答案　D 解析　∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x

9、)7的展開式中含x4項的系數(shù)是C＋C＋C＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20.故選D. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．男、女學生共有8人，從男生中選取2人，從女生中選取1人，共有30種不同的選法，其中女生有________人． 考點　組合數(shù)公式 題點　組合數(shù)公式的應用 答案　2或3 解析　設女生有x人，則CC＝30， 即x＝30，解得x＝2或3. 14．學校公園計劃在小路的一側(cè)種植丹桂、金桂、銀桂、四季桂4棵桂花樹，垂乳銀杏、金帶銀杏2棵銀杏樹，要求2棵銀杏樹必須相鄰，則不同的種植方法共有________種． 考點　排列的應用 題

10、點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案　240 解析　分兩步完成： 第一步，將2棵銀杏樹看成一個元素，考慮其順序，有A種種植方法； 第二步，將銀杏樹與4棵桂花樹全排列，有A種種植方法． 由分步乘法計數(shù)原理得，不同的種植方法共有AA＝240(種)． 15．(1＋sin x)6的二項展開式中，二項式系數(shù)最大的一項的值為，則x在[0,2π]內(nèi)的值為____． 考點　二項式定理的應用 題點　二項式定理與其他知識點的綜合應用 答案　或 解析　由題意，得T4＝Csin3x＝20sin3x＝， ∴sin x＝. ∵x∈[0,2π]，∴x＝或x＝. 16．將A，B，C，D四個小球放入

11、編號為1,2,3的三個盒子中，若每個盒子中至少放一個球且A，B不能放入同一個盒子中，則不同的放法有________種． 考點　兩個計數(shù)原理的應用 題點　兩個原理的綜合應用 答案　30 解析　先把A，B放入不同盒中，有32＝6(種)放法，再放C，D， 若C，D在同一盒中，只能是第3個盒，1種放法； 若C，D在不同盒中，則必有一球在第3個盒中，另一球在A或B的盒中，有22＝4(種)放法． 故共有6(1＋4)＝30(種)放法． 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)已知A＝{x|1

12、從集合A和B中各取一個元素作直角坐標系中點的坐標，共可得到多少個不同的點？ (2)從A∪B中取出三個不同的元素組成三位數(shù)，從左到右的數(shù)字要逐漸增大，這樣的三位數(shù)有多少個？ 考點　兩個計數(shù)原理的應用 題點　兩個原理的綜合應用 解　A＝{3,4,5,6,7}，B＝{4,5,6,7,8}． (1)從A中取一個數(shù)作為橫坐標，從B中取一個數(shù)作為縱坐標，有55＝25(個)，而8作為橫坐標的情況有5種，3作為縱坐標的情況有4種，故共有55＋5＋4＝34(個)不同的點． (2)A∪B＝{3,4,5,6,7,8}，則這樣的三位數(shù)共有C＝20(個)． 18．(12分)已知(1＋2)n的展開式中，某一

13、項的系數(shù)恰好是它的前一項系數(shù)的2倍，而且是它的后一項系數(shù)的倍，試求展開式中二項式系數(shù)最大的項． 考點　二項式定理的應用 題點　二項式定理的簡單應用 解　二項式的通項為Tk＋1＝C(2k)， 由題意知展開式中第k＋1項系數(shù)是第k項系數(shù)的2倍，是第k＋2項系數(shù)的倍， ∴ 解得n＝7. ∴展開式中二項式系數(shù)最大兩項是 T4＝C(2)3＝280與T5＝C(2)4＝560x2. 19．(12分)10件不同廠生產(chǎn)的同類產(chǎn)品： (1)在商品評選會上，有2件商品不能參加評選，要選出4件商品，并排定選出的4件商品的名次，有多少種不同的選法？ (2)若要選6件商品放在不同的位置上陳列，且必須

14、將獲金質(zhì)獎章的兩件商品放上，有多少種不同的布置方法？ 考點　排列組合綜合問題 題點　排列與組合的綜合應用 解　(1)10件商品，除去不能參加評選的2件商品，剩下8件，從中選出4件進行排列，有A＝1 680(或CA)(種)． (2)分步完成，先將獲金質(zhì)獎章的兩件商品布置在6個位置中的兩個位置上，有A種方法，再從剩下的8件商品中選出4件，布置在剩下的4個位置上，有A種方法，共有AA＝50 400(或CA)(種)． 20．(12分)設m＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋amxm，若a0，a1，a2成等差數(shù)列． (1)求m展開式的中間項； (2)求m展開式中所有含x的奇次冪的系數(shù)和

15、． 考點　二項式定理的應用 題點　二項式定理的簡單應用 解　(1)依題意a0＝1，a1＝，a2＝C2. 由2a1＝a0＋a2， 求得m＝8或m＝1(應舍去)， 所以m展開式的中間項是第五項， T5＝C4＝x4. (2)因為m＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋amxm， 即8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8. 令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a8＝8， 令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋…＋a8＝8， 所以a1＋a3＋a5＋a7＝＝， 所以展開式中所有含x的奇次冪的系數(shù)和為. 21．(12分)把n個正整數(shù)全排列后得到的數(shù)叫做“再生數(shù)”，“再生數(shù)”中最大的

16、數(shù)叫做最大再生數(shù)，最小的數(shù)叫做最小再生數(shù)． (1)求1,2,3,4的再生數(shù)的個數(shù)，以及其中的最大再生數(shù)和最小再生數(shù)； (2)試求任意5個正整數(shù)(可相同)的再生數(shù)的個數(shù)． 考點　排列的應用 題點　數(shù)字的排列問題 解　(1)1,2,3,4的再生數(shù)的個數(shù)為A＝24，其中最大再生數(shù)為4 321，最小再生數(shù)為1 234. (2)需要考查5個數(shù)中相同數(shù)的個數(shù)． 若5個數(shù)各不相同，有A＝120(個)； 若有2個數(shù)相同，則有＝60(個)； 若有3個數(shù)相同，則有＝20(個)； 若有4個數(shù)相同，則有＝5(個)； 若5個數(shù)全相同，則有1個． 22．(12分)已知m，n是正整數(shù)，f(x)＝(1

17、＋x)m＋(1＋x)n的展開式中x的系數(shù)為7. (1)對于使f(x)的x2的系數(shù)為最小的m，n，求出此時x3的系數(shù)； (2)利用上述結(jié)果，求f(0.003)的近似值；(精確到0.01) (3)已知(1＋2x)8展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，系數(shù)的最大值為b，求. 考點　二項式定理的應用 題點　二項式定理的簡單應用 解　(1)根據(jù)題意得C＋C＝7， 即m＋n＝7，① f(x)中的x2的系數(shù)為 C＋C ＝＋ ＝. 將①變形為n＝7－m代入上式得x2的系數(shù)為 m2－7m＋21 ＝2＋， 故當m＝3或m＝4時，x2的系數(shù)的最小值為9. 當m＝3，n＝4時，x3的系數(shù)為

18、C＋C＝5； 當m＝4，n＝3時，x3的系數(shù)為C＋C＝5. (2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3 ≈C＋C0.003＋C＋C0.003≈2.02. (3)由題意可得a＝C＝70，再根據(jù) 即 求得k＝5或6，此時，b＝728， ∴＝. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375