第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解向量的實(shí)際背景；2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義；3.理解向量的幾何表示；4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義；5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義；6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義。2015，全國(guó)卷，7,5分(平面向量的線性運(yùn)算)2015，全國(guó)卷，13,5分(平面向量的線性運(yùn)算)2014，北京卷，10,5分(平面向量的線性運(yùn)算)2014，浙江卷，8,5分(平面向量的概念)高考對(duì)本講內(nèi)容的考查以向量的線性運(yùn)算為主；以向量的概念和線性運(yùn)算知識(shí)為載體，與三角函數(shù)等知識(shí)綜合考查的可能性較大，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注。試題多為客觀題，難度不大，分值約為5分。微知識(shí)小題練自|主|排|查1向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為零的向量，其方向是任意的記作0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為02向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba。(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)。減法求a與b的相反向量b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)與向量a的積的運(yùn)算(1)|a|a|；(2)當(dāng)>0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)<0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.共線向量定理向量a(a0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使得ba。微點(diǎn)提醒1三個(gè)常用的結(jié)論：(1)零向量與任何向量共線。(2)平行向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。(3)若存在非零實(shí)數(shù)，使得或或，則A，B，C三點(diǎn)共線。2三個(gè)注意點(diǎn)：(1)向量共線與線段共線不同，前者可以不在同一直線上，而后者必須在同一直線上。同樣，兩個(gè)平行向量與兩條平行直線也是不同的，因?yàn)閮蓚€(gè)平行向量可以移到同一直線上。(2)作兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)。(3)在向量共線的充要條件中易忽視“a0”，否則可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)。小|題|快|練一 、走進(jìn)教材1(必修4P78A組T5改編)已知三角形ABC，用與表示BC邊上的中線向量，則_?！窘馕觥?)?！敬鸢浮?(必修4P92A組T11改編)在四邊形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為()A平行四邊形 B矩形C梯形 D菱形【解析】因?yàn)?a2b2，所以，且|，所以四邊形ABCD為梯形。故選C。【答案】C二、雙基查驗(yàn)1若向量a與b不相等，則a與b一定()A有不相等的模B不共線C不可能都是零向量D不可能都是單位向量【解析】因?yàn)樗械牧阆蛄慷际窍嗟鹊南蛄浚蔬xC?！敬鸢浮緾2若mn，nk，則向量m與向量k()A共線 B不共線C共線且同向 D不一定共線【解析】若m0,0k，則k與m不一定共線，故選D?！敬鸢浮緿3若向量a，b滿足|a|3，|b|8，則|ab|的最小值為()A11 B2C4 D5【解析】當(dāng)a與b共線且反向時(shí)，|ab|的最小值為5。故選D?！敬鸢浮緿4已知a，b是非零向量，若|ab|ab|，則以a，b為鄰邊構(gòu)成的四邊形的形狀為_(kāi)。【解析】如圖，在以a與b為鄰邊的四邊形中，|ab|與|ab|分別為四邊形的兩條對(duì)角線，故由對(duì)角線長(zhǎng)相等的平行四邊形是矩形可知，以a，b為鄰邊的四邊形是矩形?！敬鸢浮烤匦?已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量ab與(b3a)共線，則_。【解析】由已知得abk(b3a)，解得【答案】微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 平面向量的有關(guān)概念【典例1】給出下列四個(gè)命題：若|a|b|，則ab或ab；若，則四邊形ABCD為平行四邊形；若a與b同向，且|a|b|，則ab；，為實(shí)數(shù)，若ab，則a與b共線。其中假命題的個(gè)數(shù)為()A1B2C3D4【解析】不正確。|a|b|但a，b的方向不確定，故a，b不一定相等；不正確。因?yàn)?，A，B，C，D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形；不正確。兩向量不能比較大??；不正確。當(dāng)0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足ab，但a與b不一定共線。故選D?！敬鸢浮緿反思?xì)w納(1)正確理解向量的相關(guān)概念及其含義是解題的關(guān)鍵。(2)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性。(3)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)。(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量。解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象平移混為一談。(5)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量?！咀兪接?xùn)練】下列命題中正確的是()Aa與b共線，b與c共線，則a與c也共線B任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行【解析】由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點(diǎn)是否相同無(wú)關(guān)，所以D不正確；對(duì)于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題入手來(lái)考慮，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選C?！敬鸢浮緾考點(diǎn)二 平面向量的線性運(yùn)算母題發(fā)散【典例2】(1)(2015全國(guó)卷)設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，3，則()A.B.C.D.(2)設(shè)D，E分別是ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，ADAB，BEBC。若12(1，2為實(shí)數(shù))，則12的值為_(kāi)?！窘馕觥?1)()。故選A。(2)()，所以1，2，即12?！敬鸢浮?1)A(2)【母題變式】若將本典例(2)的條件改為“2，”，則_。【解析】，2。又2，2()。，即?！敬鸢浮糠此?xì)w納平面向量線性運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1)向量加法或減法的幾何意義。向量加法和減法均適合三角形法則。(2)求已知向量的和。一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則。(3)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較求參數(shù)的值?！就卣棺兪健?2017惠州模擬)已知點(diǎn)O，A，B不在同一條直線上，點(diǎn)P為該平面上一點(diǎn)，且，則()A點(diǎn)P在線段AB上B點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上C點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上D點(diǎn)P不在直線AB上【解析】()，即，所以點(diǎn)P在線段AB的反向延長(zhǎng)線上。故選B。【答案】B考點(diǎn)三 共線定理的應(yīng)用多維探究角度一：共線定理的簡(jiǎn)單運(yùn)用【典例3】設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線。(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求證：A，C，D三點(diǎn)共線；(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值?！窘馕觥?1)證明：e1e2，3e12e2，4e1e2，又8e12e2，2，與共線。又與有公共點(diǎn)C，A，C，D三點(diǎn)共線。(2)e1e2，2e13e2，3e12e2。A，C，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從而存在實(shí)數(shù)，使得。3e12e23e1ke2。又e1，e2是不共線的非零向量，因此k2。實(shí)數(shù)k的值為2?！敬鸢浮?1)見(jiàn)解析(2)2角度二：利用共線定理解決幾何問(wèn)題【典例4】(2016江西九校聯(lián)考)已知P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且，PBC的面積是2 015，則PAB的面積是_?！窘馕觥吭O(shè)SABCS，SBPCS12 015，SAPBS2。(恰當(dāng)切入，從“三點(diǎn)共線”突破)如圖，延長(zhǎng)AP交BC于D，由平面幾何知識(shí)，得。由A，P，D三點(diǎn)共線，可得(R)。由B，D，C三點(diǎn)共線，可得(1)(R)。聯(lián)立和，有解得則，那么，于是SS1。同理，延長(zhǎng)CP交AB于E，計(jì)算可得，所以S2S。于是S2SS1S12 0152 821。【答案】2 821反思?xì)w納利用共線向量定理解題的方法(1)證明向量共線，對(duì)于向量a，b(b0)，若存在實(shí)數(shù)，使ab，則a與b共線。(2)證明三點(diǎn)共線，若存在實(shí)數(shù)，使，則A，B，C三點(diǎn)共線。(3)利用共線定理解決幾何問(wèn)題要注意兩直線相交必然存在兩組三點(diǎn)共線，通過(guò)列方程組往往能把問(wèn)題解決。微考場(chǎng)新提升1(2016開(kāi)封一模)在ABC中，M為邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，則的值為()A. B.C. D1解析依題意，因?yàn)镸，B，C三點(diǎn)共線，所以。故選A。答案A2下列各式不能化簡(jiǎn)為的是()A() B()()C. D.解析對(duì)于A，()()；對(duì)于B，()()()；對(duì)于C，2；對(duì)于D，。故選C。答案C3設(shè)P為銳角ABC的外心(三角形外接圓的圓心)，k()(kR)，若cosBAC，則k()A. B.C. D.解析取BC的中點(diǎn)D，連接PD，AD，則PDBC，2，k()(kR)，2k，A，P，D三點(diǎn)共線，ABAC，cosBACcosDPC，APAD，2k，解得k。故選A。答案A4已知a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，且a與b起點(diǎn)相同。若a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一直線上，則t_。解析a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與b起點(diǎn)相同。atb與a(ab)共線，即atb與ab共線，存在實(shí)數(shù)，使atb，解得，t，即t時(shí)，a，tb，(ab)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上。答案5.如圖所示，在ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若m，n，則mn的值為_(kāi)。解析()。M，O，N三點(diǎn)共線，1。mn2。答案26EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375