6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 4.2 4.2 用數(shù)學歸納法證明不等式用數(shù)學歸納法證明不等式 A 級 基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1用數(shù)學歸納法證明 3nn3(n3，nN)，第一步應驗證( ) An1 Bn2 Cn3 Dn4 解析：由題意n3 知應驗證n3. 答案：C 2用數(shù)學歸納法證明“1121312n1n，(nN，n1)”時，由nk(k1)不等式成立，推證nk1 時，左邊應增加的項數(shù)是( ) A2k1 B2k1 C2k D2k1 解析：增加的項數(shù)為(2k11)(2k1)2k12k2k.故選 C. 答案：C 3 設(shè)n為正整數(shù)，f(n)112131n， 計算得f(2)32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，觀察上述結(jié)果，可推測出的一般結(jié)論為( ) Af(2n)2n12(n1，nN*) Bf(n2)n22(n1，nN*) Cf(2n)n22(n1，nN*) D以上都不對 解析：f(2)32，f(4)f(22)222， f(8)f(23)322，f(16)f(24)422， f(32)f(25)522， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 依此類推可知f(2n)n22(n1，nN*) 答案：C 4設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，有f(k)滿足：當“f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立” 那么下列命題總成立的是( ) A若f(3)9 成立，則當k1 時，均有f(k)k2成立 B若f(5)25 成立，則當k5 時，均有f(k)k2成立 C若f(7)49 成立，則當k8 時，均有f(k)k2成立 D若f(4)25 成立，則當k4 時，均有f(k)k2成立 解析：由“f(k)k2成立時，總可推出f(k1)(k1)2成立” ，因此，對于 A，k1，2 時不一定成立，對于 B，C，顯然錯誤對于 D，因為f(4)2542，因此對于任意的k4，均有f(k)k2成立 答案：D 5若不等式1n11n212nm24對大于 1 的一切自然數(shù)n都成立，則自然數(shù)m的最大值為( ) A12 B13 C14 D不存在 解析：令f(n)1n11n212n，取n2，3，4，5 等值發(fā)現(xiàn)f(n)是單調(diào)遞減的，所以f(n)maxm24， 所以由f(2)m24，求得m的值故應選 B. 答案：B 二、填空題 6用數(shù)學歸納法證明 2n1n2n2(nN)時，第一步的驗證為_ 解析：當n1 時，2111212，即 44 成立 答案：2111212 7在ABC中，不等式1A1B1C9成立；在四邊形ABCD中，不等式1A1B1C1D162成立；在五邊形ABCDE中，不等式1A1B1C1D1E253成立猜想在n邊形A1A2An中，類似成立的不等式為_ 解析：由題中已知不等式可猜想： 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 1A11A21Ann2（n2）(n3 且nN*) 答案：1A11A21Ann2（n2）(n3 且nN*) 8在應用數(shù)學歸納法證明“11221321（n1）22n1n1(nN*)”時，從nk到nk1，不等式左邊增加的項是_ 解析：解決此題的關(guān)鍵是看清不等式的左邊每一項的分母的變化，一看“頭”，從 12開始；二看“尾”，當nk時，尾項的分母為(k1)2，nk1 時尾項的分母為(k2)2；三看中間，如果忽略平方，1，2，3，(n1)這些數(shù)都是連續(xù)相差 1 時因此，從nk到nk1 只增加了一項，即1（k2）2(kN) 答案：1（k2）2 三、解答題 9試證明：112131n2n(nN) 證明：(1)當n1 時，不等式成立 (2)假設(shè)nk(k1，kN)時，不等式成立，即 112131k2k. 那么nk1 時， 112131k1k1 2k1k1 2k（k1）1k1 k（k1）1k1 2k1. 這就是說，nk1 時，不等式也成立 根據(jù)(1)(2)可知不等式對nN成立 10已知函數(shù)f(x)13x3x，數(shù)列an滿足條件：a11，且an1f(an1)，證明：an2n1(nN*) 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 證明：由f(x)13x3x， 得f(x)x21. 因此an1f(an1)(an1)21an(an2)， (1)當n1 時，a11211，不等式成立 (2)假設(shè)當nk時，不等式成立，即ak2k1， 當nk1 時， ak1ak(ak2)(2k1)(2k12)22k1. 又k1，所以 22k2k1，所以nk1 時，ak12k11，不等式成立 根據(jù)(1)和(2)知，對任意nN，an2n1 成立 B 級 能力提升 1對于正整數(shù)n，下列不等式不正確的是( ) A3n12n B0.9n10.1n C0.9n10.1n D0.1n10.9n 解析：排除法，取n2，只有 C 不成立 答案：C 2利用數(shù)學歸納法證明35（2n1）24（2n2）2n1時，n的最小取值n0應為_ 解析：n01 時不成立，n02 時，32 3，再用數(shù)學歸納法證明，故n02. 答案：2 3已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a112，an2SnSn10(n2) (1)判斷1Sn是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論； (2)證明：S21S22S2n1214n. (1)解：S1a112，所以1S12. 當n2 時，anSnSn1，即SnSn12SnSn1， 所以1Sn1Sn12. 故1Sn是以 2 為首項、2 為公差的等差數(shù)列 (2)證明：當n1 時，S211412141，不等式成立 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 假設(shè)nk(k1，且kN)時，不等式成立，即S21S22S2k1214k成立， 則當nk1時，S21S22S2kS2k11214k14（k1）212141k1（k1）21214k2k1k（k1）21214k2kk（k1）21214（k1）. 即當nk1 時，不等式成立 根據(jù)可知對任意nN不等式成立