第四節(jié)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.理解復(fù)數(shù)的基本概念；2.理解復(fù)數(shù)相等的充要條件；3.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；4.會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算；5.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義。2016，全國卷，2,5分(復(fù)數(shù)的四則運算)2016，全國卷，1,5分(復(fù)數(shù)的幾何意義)2016，全國卷，2,5分(復(fù)數(shù)的四則運算)2015，全國卷，1,5分(復(fù)數(shù)的乘除，模)2015，全國卷，2,5分(復(fù)數(shù)的乘法，相等)每年平均有一個小題，難度較低，重點考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運算(特別是乘、除法)，也涉及復(fù)數(shù)的概念及幾何意義等知識。微知識小題練自|主|排|查1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如abi(a，bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部。若b0，則abi為實數(shù)；若b0，則abi為虛數(shù)；若a0，且b0，則abi為純虛數(shù)。(2)復(fù)數(shù)相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)。(3)共軛復(fù)數(shù)：abi與cdi共軛ac，bd(a，b，c，dR)。(4)復(fù)平面：建立直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面，叫做復(fù)平面。x軸叫做實軸，y軸除去原點叫做虛軸。實軸上的點都表示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點都表示非純虛數(shù)。(5)復(fù)數(shù)的模：向量的模r叫做復(fù)數(shù)zabi(a，bR)的模，記作|z|或|abi|，即|z|abi|。2復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)zabi復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，bR)。(2)復(fù)數(shù)zabi平面向量(a，bR)。3復(fù)數(shù)的運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)則：加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；減法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：(cdi0)。(2)復(fù)數(shù)加法的運算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)。微點提醒1i的乘方具有周期性in(kZ)。2復(fù)數(shù)的模與共軛復(fù)數(shù)的關(guān)系：z|z|2|2。3兩個注意點：(1)兩個虛數(shù)不能比較大小。(2)利用復(fù)數(shù)相等abicdi列方程時，注意a，b，c，dR的前提條件。小|題|快|練一 、走進教材1(選修22P106A組T2改編)若復(fù)數(shù)(a23a2)(a1)i是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為()A1B2C1或2D1【解析】依題意，有解得a2。故選B?！敬鸢浮緽2(選修22P112A組T5(3)改編)復(fù)數(shù)2的共軛復(fù)數(shù)是()A2i B2iC34i D34i【解析】22(2i)234i所以其共軛復(fù)數(shù)是34i。故選C?！敬鸢浮緾二、雙基查驗1(2016全國卷)已知z(m3)(m1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是()A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)【解析】由已知可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為(m3，m1)，所以解得3<m<1。故選A?！敬鸢浮緼2已知aR，i為虛數(shù)單位，若(12i)(ai)為純虛數(shù)，則a的值等于()A6 B2C2 D6【解析】由(12i)(ai)(a2)(12a)i是純虛數(shù)，得由此解得a2。故選B。【答案】B3若a，bR，i為虛數(shù)單位，且(ai)ibi，則()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1【解析】由(ai)ibi，得1aibi，根據(jù)兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得a1，b1。故選D。【答案】D4若復(fù)數(shù)z滿足2i，則z對應(yīng)的點位于第_象限?！窘馕觥縵2i(1i)22i，因此z對應(yīng)的點為(2,2)，在第二象限內(nèi)?！敬鸢浮慷?若復(fù)數(shù)z滿足zi，則|z|_?！窘馕觥恳驗閦i13ii14i，則|z|?！敬鸢浮课⒖键c大課堂考點一 復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【典例1】(1)設(shè)xR，則“x1”是“復(fù)數(shù)z(x21)(x1)i為純虛數(shù)”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件(2)若abi(i是虛數(shù)單位，a，bR)，則ab()A2B1C1D2(3)設(shè)復(fù)數(shù)z1i(i為虛數(shù)單位)，z的共軛復(fù)數(shù)為，則|(1z)|()A. B2 C. D1【解析】(1)由純虛數(shù)的定義知：x1，故選C。(2)abi12i，所以a1，b2，ab2。故選A。(3)依題意得(1z)(2i)(1i)3i，則|(1z)|3i|。故選A?！敬鸢浮?1)C(2)A(3)A反思歸納1.復(fù)數(shù)的分類及對應(yīng)點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可。2解題時一定要先看復(fù)數(shù)是否為abi(a，bR)的形式，以確定實部和虛部?！咀兪接柧殹?1)設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)a(aR)是純虛數(shù)，則a的值為()A3 B1 C1 D3(2)若復(fù)數(shù)z1i(i為虛數(shù)單位)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z22的虛部為()A0 B1 C1 D2【解析】(1)aa(a3)i為純虛數(shù)，a30，即a3。故選D。(2)z22(1i)2(1i)20，z22的虛部為0。故選A。【答案】(1)D(2)A考點二 復(fù)數(shù)的幾何意義【典例2】(1)(2016太原模擬)復(fù)數(shù)z(i為虛數(shù)單位)，z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)(2015陜西高考)設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為()A. B.C. D.【解析】(1)因為zi，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在第一象限。故選A。(2)由|z|1知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點構(gòu)成的區(qū)域是以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓及其內(nèi)部，右圖中陰影部分表示在圓內(nèi)(包括邊界)且滿足yx的區(qū)域，該區(qū)域的面積為11，故滿足yx的概率為。故選D。【答案】(1)A(2)D反思歸納1.復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點Z及向量一一對應(yīng)，即zabi，(a，bR)Z(a，b)。2由于復(fù)數(shù)、點、向量之間建立了一一對應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀。【變式訓練】(1)如圖，若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z表示的復(fù)數(shù)為()A13i B3iC3i D3i(2)已知復(fù)數(shù)zxyi(x，yR，x0)且|z2|，則的取值范圍為_?！窘馕觥?1)由圖可得Z(1，1)，即z1i，所以z1i1i1i1i22i3i。故選D。(2)因為|z2|x2yi|，|z2|，所以(x2)2y23。設(shè)k，則ykx。聯(lián)立化簡為(1k2)x24x10。因為直線ykx與圓有公共點，所以164(1k2)0，解得k，所以的取值范圍為，?！敬鸢浮?1)D(2)，考點三 復(fù)數(shù)的運算【典例3】(1)(2016全國卷)若z43i，則()A1 B1C.i D.i(2)(2016全國卷)若z12i，則()A1 B1 Ci Di(3)(2016全國卷)設(shè)(1i)x1yi，其中x，y是實數(shù)，則|xyi|()A1 B. C. D2【解析】(1)i。故選D。(2)i。(3)因為(1i)xxxi1yi，所以xy1，|xyi|1i|，故選B?！敬鸢浮?1)D(2)C(3)B反思歸納(1)復(fù)數(shù)的乘法。復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可。(2)復(fù)數(shù)的除法。除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式。(3)利用復(fù)數(shù)相等求參數(shù)。abicdiac，bd(a，b，c，dR)?！咀兪接柧殹?1)()A1i B1iC1i D1i(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(z2i)(2i)5，則z()A23i B23iC32i D32i【解析】(1)1i，故選D。(2)z2i2i2i2i23i。故選A?！敬鸢浮?1)D(2)A微考場新提升1(2016山東高考)若復(fù)數(shù)z，其中i為虛數(shù)單位，則()A1i B1iC1i D1i解析易知z1i，所以1i。故選B。答案B2(2016全國卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足zi3i，則()A12i B12iC32i D32i解析易知z32i，所以32i。故選C。答案C3設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A若|z1z2|0，則12B若z12，則1z2C若|z1|z2|，則z11z22D若|z1|z2|，則zz解析對于A，|z1z2|0z1z212，是真命題；對于B，C易判斷是真命題；對于D，若z12，z21i，則|z1|z2|，但z4，z22i，是假命題。故選D。答案D4(2017浙江模擬)已知i是虛數(shù)單位，若bi(a，bR)，則ab的值為_。解析由bi，得3aibi，所以b3，a1，則ab3。答案35已知aR，若為實數(shù)，則a_。解析i，為實數(shù)，0，a。答案6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375