南平市2022屆高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知集合，則（ ）ABCD22021年8月8日，第32屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在日本東京正式閉17天的比賽全部結(jié)束后，排名前十的金牌數(shù)如下表所示，則這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）排名12345678910國(guó)家/地區(qū)美國(guó)中國(guó)日本英國(guó)俄羅斯奧運(yùn)隊(duì)澳大利亞荷蘭法國(guó)德國(guó)意大利金牌數(shù)39382722201710101010A18.5B18C19.5D203將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將得到的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），最后得到函數(shù)的圖象，則（ ）ABCD4已知四邊形為梯形，則“”是“四邊形為等腰梯形”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5若直線與曲線相切，則（ ）A為定值B為定值C為定值D為定值6已知單位向量，的夾角為，則的最小值為（ ）ABCD7已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則（ ）ABCD8根據(jù)民用建筑工程室內(nèi)環(huán)境污染控制標(biāo)準(zhǔn)，文化娛樂(lè)場(chǎng)所室內(nèi)甲醛濃度為安全范圍已知某新建文化娛樂(lè)場(chǎng)所施工中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風(fēng)環(huán)境下時(shí)，竣工1周后室內(nèi)甲醛濃度為，3周后室內(nèi)甲醛濃度為，且室內(nèi)甲醛濃度（單位：）與竣工后保持良好通風(fēng)的時(shí)間（單位：周）近似滿足函數(shù)關(guān)系式，則該文化娛樂(lè)場(chǎng)所竣工后的甲醛濃度若要達(dá)到安全開(kāi)放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要放置的時(shí)間為（ ）A5周B6周C7周D8周二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分9若實(shí)數(shù)，滿足，則（ ）A的共軛復(fù)數(shù)為BC的值可能為D10下列函數(shù)中，最小值為9的是（ ）ABCD11已知函數(shù)，則A的最大值為B的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C圖象的對(duì)稱軸方程為D在上有4個(gè)零點(diǎn)12定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒成立，則必有（ ）ABCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為_(kāi).14設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則_.15已知不是常數(shù)函數(shù)，寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列四個(gè)性質(zhì)的函數(shù)：_.定義域?yàn)椋?16設(shè)函數(shù)關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)根，則的最小值為_(kāi).四、解答題：本題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟17（10分）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，（1）求角的大??；（2）若，求和18（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)（1）證明：平面（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值19（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且數(shù)列的前項(xiàng)積為，且（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和20（12分）某地區(qū)位于甲、乙兩條河流的交匯處，夏季多雨，根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料預(yù)測(cè)，今年汛期甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25，乙河流發(fā)生洪水的概率為0.2（假設(shè)兩河流發(fā)生洪水與否互不影響），今年夏季該地區(qū)某工地有許多大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案一：不采取措施，當(dāng)一條河流發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備將受損，損失30000元當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備將受損，損失60000元方案二：修建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為4000元，但圍墻只能抵御一條河流發(fā)生的洪水，當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備將受損，損失60000元方案三：修建保護(hù)大壩，建設(shè)費(fèi)為9000元，能夠抵御住兩河流同時(shí)發(fā)生洪水（1）求今年甲、乙兩河流至少有一條發(fā)生洪水的概率；（2）從花費(fèi)的角度考慮，試比較哪一種方案更好，說(shuō)明理由21（12分）已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在上（1）求的方程；（2）設(shè)的上頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線與平行，且與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為的右焦點(diǎn)，求的最小值22（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：高三數(shù)學(xué)月考卷參考答案1D 因?yàn)?，所?A 這10個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3C 將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象的解析式為，故4A 若，則由四邊形為梯形，得且，所以四邊形為等腰梯形若四邊形為等腰梯形，則或，而當(dāng)時(shí)，故選A5B 設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以切點(diǎn)為，則，故.6C 因?yàn)?，所以，?7A 因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又，所以，所以，即是周期為4的函數(shù)，則.因?yàn)?，所以?因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故.8B 由題意可知，解得設(shè)該文化娛樂(lè)場(chǎng)所竣工后放置周后甲醛濃度達(dá)到安企開(kāi)放標(biāo)準(zhǔn)，則，整理得，設(shè)，因?yàn)?，所以，即，則，即故至少需要放置的時(shí)間為6周9BCD 因?yàn)樗?，即，則解得或，故A錯(cuò)誤，B，C，D均正確10AB ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立因?yàn)榭赡苄∮?，所以的最小值不可能是9，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則最大值為911ACD ，則的最大值為，A正確令，得，此即圖象的對(duì)稱軸方程，C正確易知圖象的對(duì)稱中心的縱坐標(biāo)為，B錯(cuò)由，得當(dāng)吋，因?yàn)椋苑匠淘谏嫌?個(gè)不同的實(shí)根，即在上有4個(gè)零點(diǎn)，D正確12ACD 設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞減，從而，即，則必有，又在上單調(diào)遞減，則，從而因?yàn)?，所以，又，所以【光逃解法】取，滿足題意，故選ACD13 展開(kāi)式中的第3項(xiàng)為1472 因?yàn)?，所以，?5 （答案不唯一，形如（，為偶數(shù)，且即可）由，得，聯(lián)想到，可推測(cè).由，得則，又，所以（，為偶數(shù)，且）1610 作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：由圖可知，由，得或，則.又因?yàn)?，所以，所以，則，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為1017解：（1）在中，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?（2）因?yàn)?，所以在中，由，得因?yàn)椋?18（1）證明：因?yàn)?，所以因?yàn)槠矫?，所以又，所以平面，從?因?yàn)辄c(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，所以，從而又，所以平面（2）解：分別以，的方向?yàn)?，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，則令，得設(shè)平面的法向量為，則令，得所以.所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為19解：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足，因此當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，滿足，因此（2）由（1）知，兩式相減得故20解：（1）由題意，甲河流發(fā)生洪水的概率為0.25乙河流發(fā)生洪水的概率為0.2，則甲、乙兩條河流均不發(fā)生洪水的概率為，所以今年甲、乙兩河流至少有一條發(fā)生洪水的概率為（2）設(shè)損失費(fèi)為方案一：的可能取化為30000，60000，0，所以元方案二：建圍墻，需要花費(fèi)4000元，但圍墻只能抵御一條河流發(fā)生的洪水，當(dāng)兩河流同時(shí)發(fā)生洪水時(shí)，設(shè)備將受損，損失60000元，兩條河流都發(fā)生洪水的概率，所以該方案中元方案三：修建保護(hù)大壩，建設(shè)費(fèi)為9000元，設(shè)備不會(huì)受損，方案中的花費(fèi)為9000元所以方案二最好21解：（1）因?yàn)榈拈L(zhǎng)軸長(zhǎng)為，所以，即.又點(diǎn)在上，所以.代入，解得.故的方程為（2）由（1）可知，的坐標(biāo)分別為，直線的方程為設(shè)聯(lián)立得由，得設(shè)，則，因?yàn)?，所?又的坐標(biāo)為，所以因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.22（1）解：的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為故在處取得極大值，且極大優(yōu)值，無(wú)極小值（2）證明：易知，即，.不妨設(shè)，（1）可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，所以，即，?