課時(shí)分層作業(yè)(十六) 空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示(建議用時(shí)：40分鐘)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練一、選擇題1給出下列命題：若a，b，c可以作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d0，則a，b，d也可以作為空間的一個(gè)基底；已知向量ab，則a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面；已知a，b，c是空間的一個(gè)基底，若mac，則a，b，m也是空間的一個(gè)基底其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A1 B2C3D4D根據(jù)基底的概念，知空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底顯然正確中由，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，知，共面又，過(guò)相同點(diǎn)B，知A，B，M，N四點(diǎn)共面所以正確下面證明正確：假設(shè)d與a，b共面，則存在實(shí)數(shù)，使得dab，d與c共線，c0，存在實(shí)數(shù)k，使得dkCd0，k0，從而cab，c與a，b共面，與條件矛盾，d與a，b不共面同理可證也是正確的于是四個(gè)命題都正確，故選D2在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M是上底面對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，若a，b，c，則可表示為()AabcBabcCabcDabcD由于()abc，故選D3正方體ABCDABCD中，O1，O2，O3分別是AC，AB，AD的中點(diǎn)，以1，2，3為基底，x1yz3，則x，y，z的值是()Axyz1BxyzCxyzDxyz2A()()()，由空間向量的基本定理，得xyz1.4已知點(diǎn)O，A，B，C為空間不共面的四點(diǎn)，且向量a，向量b，則與a，b不能構(gòu)成空間基底的向量是() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342150】A BC D或C因?yàn)閍b2，所以a，b與共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底5如圖3133，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，B1EA1B1，則等于()圖3133ABCDC由圖知B(1,1,0)，E，所以.二、填空題6已知空間的一個(gè)基底a，b，c，mabc，nxaybc，若m與n共線，則x_，y_.11因?yàn)閙與n共線，所以存在實(shí)數(shù)，使mn，即abcxaybc，于是有解得7如圖3134, 在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，M為AC和BD的交點(diǎn)，若a，b，c，則_.圖3134abc()()abC8已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如圖3135所示的空間直角坐標(biāo)系，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，并且PAAD1，則的坐標(biāo)為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342151】圖3135PAADAB1，且PA平面ABCD，ADAB，M，P(0,0,1)，C(1,1,0)，則N.三、解答題9如圖3136，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，試用a，b，c表示.圖3136解連接AN，則.由已知可得四邊形ABCD是平行四邊形，從而可得ab，(ab)，又bc，故b(bc)，所以(ab)b(bc)(abc)10如圖3137，在正四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，O是AC與BD的交點(diǎn)，PO1，M是PC的中點(diǎn)設(shè)a，b，C圖3137(1)用向量a，b，c表示.(2)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求的坐標(biāo). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342152】解(1)，()()abC(2)a(1,0,0)，b(0,1,0)A(0,0,0)，O，P，c，abc(1,0,0)(0,1,0).能力提升練1已知M，A，B，C四點(diǎn)互不重合且任意三點(diǎn)不共線，則下列式子中能使向量，成為空間的一個(gè)基底的是()AOAOBOCBCD2C對(duì)于選項(xiàng)A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四點(diǎn)共面，知，共面；對(duì)于選項(xiàng)B，D，易知，共面，故選C2已知在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，向量a在基底，下的坐標(biāo)為(2,1，3)，則向量a在基底，下的坐標(biāo)為()A(2,1，3)B(1,2，3)C(1，8,9)D(1,8，9)Ba232323DD1，向量a在基底，下的坐標(biāo)為(1,2，3)，故選B3在空間四邊形ABCD中，a2c，5a5b8c，對(duì)角線AC，BD的中點(diǎn)分別是E，F(xiàn)，則_.3ab3c()()()()3ab3c4已知向量p在基底a，b，c下的坐標(biāo)為(2,1，1)，則p在基底2a，b，c下的坐標(biāo)為_(kāi)；在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342153】(1,1,1)由題意知p2abc，則向量p在基底2a，b，c下的坐標(biāo)為(1,1,1)設(shè)向量p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc又p2abc，解得x，y，z1；p在基底ab，ab，c下的坐標(biāo)為.5已知e1，e2，e3為空間的一個(gè)基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判斷P，A，B，C四點(diǎn)是否共面(2)能否以，作為空間的一個(gè)基底？若能，試以這一基底表示；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)假設(shè)P，A，B，C四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)x，y，z，使xyz，且xyz1，即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)，得到關(guān)于x，y，z的方程組，解得，與xyz1矛盾，故P，A，B，C四點(diǎn)不共面(2)若OA，共面，則存在實(shí)數(shù)m，n，使mn，同(1)可證，不共面，因此，可以作為空間的一個(gè)基底，令a，b，c，由e12e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c，得，所以2e1e23e32(3ab5c)(ac)3(4ab7c)17a5b30c17530.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375