1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解極大值、極小值的概念(難點)2.了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(重點、易混點)3.會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(重點)自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1極值點與極值(1)極小值點與極小值若函數(shù)yf(x)在點xa的函數(shù)值f(a)比它在點xa附近其他點的函數(shù)值都小，f(a)0，而且在點xa附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，就把點a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)極大值點與極大值若函數(shù)yf(x)在點xb的函數(shù)值f(b)比它在點xb附近其他點的函數(shù)值都大，f(b)0，而且在點xb附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，就把點b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值(3)極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值思考：導(dǎo)數(shù)為0的點一定是極值點嗎？提示不一定，如f(x)x3，f(0)0, 但x0不是f(x)x3的極值點所以，當(dāng)f(x0)0時，要判斷xx0是否為f(x)的極值點，還要看f(x)在x0兩側(cè)的符號是否相反2求可導(dǎo)函數(shù)yf(x)的極值的方法解方程f(x)0.當(dāng)f(x0)0時：(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極大值；(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，那么f(x0)是極小值基礎(chǔ)自測1思考辨析(1)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)一定存在極值點()(2)函數(shù)的極大值一定大于極小值()(3)在可導(dǎo)函數(shù)的極值點處，切線與x軸平行或重合()(4)函數(shù)f(x)有極值()答案(1)(2)(3)(4)2函數(shù)f(x)的定義域為R，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖138所示，則函數(shù)f(x)()圖138A無極大值點，有四個極小值點B有三個極大值點，兩個極小值點C有兩個極大值點，兩個極小值點D有四個極大值點，無極小值點C設(shè)yf(x)的圖象與x軸的交點從左到右橫坐標(biāo)依次為x1，x2，x3，x4，則f(x)在xx1，xx3處取得極大值，在xx2，xx4處取得極小值3函數(shù)f(x)的極值點為() 【導(dǎo)學(xué)號：31062047】A0B1C0或1D1Df(x)x3x2x2(x1)由f(x)0得x0或x1.又當(dāng)x1時f(x)0，0x1時f(x)0，1是f(x)的極小值點又x0時f(x)0，故x0不是函數(shù)的極值點4若可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，則f(1)_，1是函數(shù)f(x)的_值解析由題意可知，當(dāng)x1時，f(x)0，當(dāng)x1時，f(x)0，f(1)0,1是函數(shù)f(x)的極大值答案0極大合 作 探 究攻 重 難求函數(shù)的極值點和極值角度1不含參數(shù)的函數(shù)求極值求下列函數(shù)的極值(1)yx33x29x5；(2)yx3(x5)2.解(1)y3x26x9，令y0，即3x26x90，解得x11，x23.當(dāng)x變化時，y，y的變化情況如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)y00y極大值極小值當(dāng)x1時，函數(shù)yf(x)有極大值，且f(1)10；當(dāng)x3時，函數(shù)yf(x)有極小值，且f(3)22.(2)y3x2(x5)22x3(x5)5x2(x3)(x5)，令y0，即5x2(x3)(x5)0，解得x10，x23，x35.當(dāng)x變化時，y與y的變化情況如下表：x(，0)0(0,3)3(3,5)5(5，)y000y無極值極大值108極小值0x0不是y的極值點；x3是y的極大值點，y極大值f(3)108；x5是y的極小值點，y極小值f(5)0.角度2含參數(shù)的函數(shù)求極值已知函數(shù)f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，當(dāng)aR且a時，求函數(shù)的極值. 【導(dǎo)學(xué)號：31062048】思路探究解f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2.由a知，2aa2.以下分兩種情況討論：若a，則2aa2.當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)在(，2a) ，(a2，)內(nèi)是增函數(shù)，在(2a，a2)內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)f(x)在x2a處取得極大值f(2a)，且f(2a)3ae2a；函數(shù)f(x)在xa2處取得極小值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2.若a，則2aa2，當(dāng)x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)極大值極小值f(x)在(，a2)，(2a，)內(nèi)是增函數(shù)，在(a2，2a)內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)f(x)在xa2處取得極大值f(a2)，且f(a2)(43a)ea2；函數(shù)f(x)在x2a處取得極小值f(2a)，且f(2a)3ae2a.規(guī)律方法求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟為：(1)求函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)；(3)令f(x)0，求出全部的根x0；(4)列表：方程的根x0將整個定義域分成若干個區(qū)間，把x，f(x)，f(x)在每個區(qū)間內(nèi)的變化情況列在一個表格內(nèi)；(5)判斷得結(jié)論：若導(dǎo)數(shù)在x0附近左正右負，則在x0處取得極大值；若左負右正，則取得極小值.跟蹤訓(xùn)練1若函數(shù)f(x)xaln x(aR)，求函數(shù)f(x)的極值解函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.(1)當(dāng)a0時，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)無極值(2)當(dāng)a0時，令f(x)0，解得xa.當(dāng)0xa時，f(x)0；當(dāng)xa時，f(x)0.f(x)在xa處取得極小值，且f(a)aln a，無極大值綜上可知，當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)無極值；當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值.由極值求參數(shù)的值或取值范圍(1)若函數(shù)f(x)x3ax2bxa2在x1處取得極值10，則a_，b_.(2)已知函數(shù)f(x)x3(m3)x2(m6)x(xR，m為常數(shù))，在區(qū)間(1，)內(nèi)有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：31062049】思路探究 (1)由f(1)0及f(1)10求a，b，注意檢驗極值的存在條件；(2)f(x)在(1，)內(nèi)有兩個極值點，等價于f(x)0在(1，)內(nèi)有兩個不等實根解(1)f(x)3x22axb，依題意得即解得或但由于當(dāng)a3，b3時，f(x)3x26x33(x1)20，故f(x)在R上單調(diào)遞增，不可能在x1處取得極值，所以，不符合題意，應(yīng)舍去而當(dāng)時，經(jīng)檢驗知符合題意，故a，b的值分別為4，11.(2)f(x)x2(m3)xm6.因為函數(shù)f(x)在(1，)內(nèi)有兩個極值點，所以f(x)x2(m3)xm6在(1，)內(nèi)與x軸有兩個不同的交點，如圖所示所以解得m>3.故實數(shù)m的取值范圍是(3，)規(guī)律方法已知函數(shù)極值的情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式時，應(yīng)注意以下兩點：(1)根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；(2)因為導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性.跟蹤訓(xùn)練2若x2是函數(shù)f(x)x(xm)2的極大值點，求函數(shù)f(x)的極大值. 【導(dǎo)學(xué)號：31062050】解f(x)(xm)(3xm)，且f(2)0(m2)(m6)0，即m2或m6.(1)當(dāng)m2時，f(x)(x2)(3x2)，由f(x)0得x或x2；由f(x)0得x2.x2是f(x)的極小值點，不合題意，故m2舍去(2)當(dāng)m6時，f(x)(x6)(3x6)，由f(x)0得x2或x6；由f(x)0得2x6.x2是f(x)的極大值，f(2)2(26)232.即函數(shù)f(x)的極大值為32.極值問題的綜合應(yīng)用探究問題1如何畫出函數(shù)f(x)2x33x236x16的大致圖象提示：f(x)6x26x366(x2x6)6(x3)(x2)由f(x)0得x2或x3，函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(，2)和(3，)由f(x)0得2x3，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是(2,3)由已知得f(2)60，f(3)65，f(0)16.結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及以上關(guān)鍵點畫出函數(shù)f(x)大致圖象如圖所示(答案不唯一)2當(dāng)a變化時，方程2x33x236x 16a有幾解？提示：方程2x33x236x16a解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)ya與y2x33x236x16的圖象有幾個交點的問題，結(jié)合探究點1可知：(1)當(dāng)a60或a65時， 方程2x33x236x16a有且只有一解；(2)當(dāng)a60或a65時，方程2x33x236x16a有兩解；(3)當(dāng)65a60時，方程2x33x236x16a三解已知函數(shù)f(x)x33xa(a為實數(shù))，若方程f(x)0有三個不同實根，求實數(shù)a的取值范圍思路探究求出函數(shù)的極值，要使f(x)0有三個不同實根，則應(yīng)有極大值大于0，極小值小于0，由此可得a的取值范圍解令f(x)3x233(x1)(x1)0，解得x11，x21.當(dāng)x<1時，f(x)>0；當(dāng)1<x<1時，f(x)<0；當(dāng)x>1時，f(x)>0.所以當(dāng)x1時，f(x)有極大值f(1)2a；當(dāng)x1時，f(x)有極小值f(1)2a.因為方程f(x)0有三個不同實根，所以yf(x)的圖象與x軸有三個交點，如圖由已知應(yīng)有解得2<a<2，故實數(shù)a的取值范圍是(2,2)母題探究：1.(改變條件)本例中，若方程f(x)0恰有兩個根，則實數(shù)a的值如何求解？解由例題，知函數(shù)的極大值f(1)2a，極小值f(1)2a，若f(x)0恰有兩個根，則有2a0，或2a0，所以a2或a2.2(改變條件)本例中，若方程f(x)0有且只有一個實根，求實數(shù)a的范圍解由例題可知，要使方程f(x)0有且只有一個實根，只需2a0或2a0，即a2或a2.規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的極值情況，并能在此基本上畫出函數(shù)的大致圖象，從直觀上判斷函數(shù)圖象與x軸的交點或兩個函數(shù)圖象的交點的個數(shù)，從而為研究方程根的個數(shù)問題提供了方便. 當(dāng) 堂 達 標(biāo)固 雙 基1函數(shù)f(x)的定義域為R，它的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的部分圖象如圖139所示，則下面結(jié)論錯誤的是()圖139A在(1,2)上函數(shù)f(x)為增函數(shù)B在(3,4)上函數(shù)f(x)為減函數(shù)C在(1,3)上函數(shù)f(x)有極大值Dx3是函數(shù)f(x)在區(qū)間1,5上的極小值點D由圖可知，當(dāng)1x2時，f(x)0，當(dāng)2x4時，f(x)0，當(dāng)4x5時，f(x)0，x2是函數(shù)f(x)的極大值點，x4是函數(shù)f(x)的極小值點，故A，B，C正確，D錯誤2已知函數(shù)f(x)2x3ax236x24在x2處有極值，則該函數(shù)的一個遞增區(qū)間是() 【導(dǎo)學(xué)號：31062051】A(2,3)B(3，)C(2，)D(，3) Bf(x)6x22ax36，且在x2處有極值，f(2)0,244a360，a15，f(x)6x230x366(x2)(x3)，由f(x)0得x2或x3.3設(shè)函數(shù)f(x)xex，則()Ax1為f(x)的極大值點Bx1為f(x)的極小值點Cx1為f(x)的極大值點Dx1為f(x)的極小值點D令yexxex(1x)ex0，得x1.當(dāng)x1時，y0；當(dāng)x1時，y0.故當(dāng)x1時，y取得極小值4已知函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是_解析f(x)3x26ax3(a2)，函數(shù)f(x)既有極大值又有極小值，方程f(x)0有兩個不相等的實根，36a236(a2)0，即a2a20，解得a2或a1.答案(，1)(2，)5求下列函數(shù)的極值(1)f(x)x22ln x；(2)y. 【導(dǎo)學(xué)號：31062052】解(1)f(x)2x，且函數(shù)定義域為(0，)，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，當(dāng)x(0,1)時，f(x)<0，當(dāng)x(1，)時，f(x)>0，當(dāng)x1時，函數(shù)有極小值，極小值為f(1)1.(2)函數(shù)的定義域為(，1)(1，)，且y，令y0，得x11，x22，當(dāng)x變化時，y，y的變化情況如表：x(，1)1(1,1)(1,2)2(2，)y00y單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增3單調(diào)遞增故當(dāng)x1時，y有極大值.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375