課時(shí)分層作業(yè)(八)生活中的優(yōu)化問題舉例(建議用時(shí)：40分鐘)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練一、選擇題1某工廠要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料場的長和寬應(yīng)分別為(單位：米)()A32,16B30,15C40,20D36,18A要使材料最省，則要求新砌的墻壁的總長最短，設(shè)場地寬為x米，則長為米，因此新墻總長L2x(x>0)，則L2.令L0，得x16或x16(舍去)此時(shí)長為32(米)，可使L最短2將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和，使兩個(gè)非負(fù)數(shù)的立方和最小，則應(yīng)分為()A2和6B4和4C3和5D以上都不對B設(shè)一個(gè)數(shù)為x，則另一個(gè)數(shù)為8x，則其立方和yx3(8x)383192x24x2(0x8)，y48x192.令y0，即48x1920，解得x4.當(dāng)0x<4時(shí)，y<0；當(dāng)4<x8時(shí)，y>0.所以當(dāng)x4時(shí)，y最小3要做一個(gè)圓錐形的漏斗，其母線長為20 cm，要使其體積最大，則高為() 【導(dǎo)學(xué)號：31062075】A cm B cmC cm D cmD設(shè)圓錐的高為x cm，則底面半徑為 cm.其體積為Vx(202x2)(0x20)，V(4003x2)令V0，解得x1，x2(舍去)當(dāng)0x時(shí)，V0；當(dāng)x20時(shí)，V0.所以當(dāng)x時(shí)，V取最大值4內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的邊長為()A和R BR和RCR和RD以上都不對B設(shè)矩形與半圓直徑垂直的一邊的長為x，則另一邊長為2，則l2x4(0xR)，l2.令l0，解得x1R，x2R(舍去)當(dāng)0xR時(shí)，l0；當(dāng)RxR時(shí)，l0.所以當(dāng)xR時(shí)，l取最大值，即周長最大的矩形的相鄰兩邊長分別為R， R5某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)則總利潤最大時(shí)，每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是()A100B150C200D300D由題意，得總成本函數(shù)為C(x)20 000100x，總利潤P(x)R(x)C(x)所以P(x)令P(x)0，得x300，易知x300時(shí)，總利潤P(x)最大二、填空題6某產(chǎn)品的銷售收入y1(萬元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y117x2(x0)，生產(chǎn)成本y2(萬元)是產(chǎn)量x(千臺(tái))的函數(shù)：y22x3x2(x0)，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)_千臺(tái). 【導(dǎo)學(xué)號：31062076】解析設(shè)利潤為y，則yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0)，y6x236x6x(x6)令y0，解得x0或x6，經(jīng)檢驗(yàn)知x6既是函數(shù)的極大值點(diǎn)又是函數(shù)的最大值點(diǎn)答案67電動(dòng)自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為yx3x240x(x0)，為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為_解析由題設(shè)知yx239x40，令y0，解得x40或x1，故函數(shù)yx3x240x(x0)在40，)上遞增，在(0,40上遞減當(dāng)x40時(shí)，y取得最小值由此得為使耗電量最小，則其速度應(yīng)定為40.答案408用總長14.8 m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m，那么高為_時(shí)容器的容積最大解析設(shè)容器底面短邊長為x m，則另一邊長為(x0.5)m，高為14.84x4(x0.5)(3.22x)m.由3.22x0及x0，得0x1.6.設(shè)容器容積為y，則有yx(x0.5)(3.22x)2x32.2x21.6x(0x1.6)，y6x24.4x1.6.由y0及0x1.6，解得x1.在定義域(0,1.6)內(nèi)，只有x1使y0.由題意，若x過小(接近于0)或過大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)因此當(dāng)x1時(shí)，y取最大值，且ymax22.21.61.8(m3)，這時(shí)高為1.2 m.答案1.2 m三、解答題9一艘輪船在航行中燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比已知速度為每小時(shí)10千米時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)6元，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元，問輪船的速度是多少時(shí)，航行1千米所需的費(fèi)用總和最少？ 【導(dǎo)學(xué)號：31062077】解設(shè)速度為每小時(shí)v千米時(shí)，燃料費(fèi)是每小時(shí)p元，那么由題設(shè)知pkv3，因?yàn)関10，p6，所以k0.006.于是有p0.006v3.又設(shè)船的速度為每小時(shí)v千米時(shí)，行駛1千米所需的總費(fèi)用為q元，那么每小時(shí)所需的總費(fèi)用是(0.006v396)元，而行駛1千米所用時(shí)間為小時(shí)，所以行駛1千米的總費(fèi)用為q(0.006v396)0.006v2.q0.012v(v38 000)，令q0，解得v20.當(dāng)v20時(shí)，q0；當(dāng)v20時(shí)，q0，所以當(dāng)v20時(shí)，q取得最小值即當(dāng)速度為20千米/小時(shí)時(shí)，航行1千米所需的費(fèi)用總和最少10某商店經(jīng)銷一種商品，每件產(chǎn)品的成本為30元，并且每賣出一件產(chǎn)品需向稅務(wù)部門上交a元(a為常數(shù)，2a5)的稅收設(shè)每件產(chǎn)品的售價(jià)為x元(35x41)，根據(jù)市場調(diào)查，日銷售量與ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))成反比例已知每件產(chǎn)品的日售價(jià)為40元時(shí)，日銷售量為10件(1)求該商店的日利潤L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價(jià)為多少元時(shí)，該商品的日利潤L(x)最大，并求出L(x)的最大值解(1)設(shè)日銷售量為，則10，k10e40，則日售量為件則日利潤L(x)(x30a)10e40；答：該商店的日利潤L(x)元與每件產(chǎn)品的日售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式為L(x)10e40.(2)L(x)10e40.當(dāng)2a4時(shí)，33a3135，當(dāng)35x41時(shí)，L(x)0.當(dāng)x35時(shí)，L(x)取最大值為10(5a)e5；當(dāng)4a5時(shí)，35a3136，令L(x)0，得xa31，易知當(dāng)xa31時(shí)，L(x)取最大值為10e9a.綜合上得L(x)max.答：當(dāng)2a4時(shí)，當(dāng)每件產(chǎn)品的日售價(jià)35元時(shí)，為L(x)取最大值為10(5a)e5；當(dāng)4a5時(shí)，每件產(chǎn)品的日售價(jià)為a31元時(shí)，該商品的日利潤 L(x)最大，最大值為10e9a.能力提升練1如果圓柱軸截面的周長l為定值，則體積的最大值為()A.3 B.3C.3 D.3A設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，體積為V，則4r2hl，h，Vr2hr22r3.則Vlr6r2，令V0，得r0或r，而r0，r是其唯一的極值點(diǎn)當(dāng)r時(shí)，V取得最大值，最大值為3.2用長為90 cm，寬為48 cm的長方形鐵皮做一個(gè)無蓋的容器，先在四角分別截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后把四邊翻轉(zhuǎn)90角，再焊接而成(如圖142)，當(dāng)容器的體積最大時(shí)，該容器的高為()圖142A8 cmB9 cmC10 cmD12 cmC設(shè)容器的高為x cm，容器的體積為V(x)cm3，則V(x)(902x)(482x)x4x3276x24 320x(0<x<24)，因?yàn)閂(x)12x2552x4 320，由12x2552x4 3200，得x10或x36(舍)，因?yàn)楫?dāng)0<x<10時(shí)，V(x)>0，當(dāng)10<x<24時(shí)，V(x)<0，所以當(dāng)x10時(shí)，V(x)在區(qū)間(0,24)內(nèi)有唯一極大值，所以容器高x10 cm時(shí)，容器體積V(x)最大3海輪每小時(shí)使用的燃料費(fèi)與它的航行速度的立方成正比，已知某海輪的最大航速為30 n mile/h，當(dāng)速度為10 n mile/h時(shí)，它的燃料費(fèi)是每小時(shí)25元，其余費(fèi)用(無論速度如何)都是每小時(shí)400元如果甲乙兩地相距800 n mile，則要使該海輪從甲地航行到乙地的總費(fèi)用最低，它的航速應(yīng)為_. 【導(dǎo)學(xué)號：31062078】解析由題意設(shè)燃料費(fèi)y與航速v間滿足yav3(0v30)，又25a103，a.設(shè)從甲地到乙地海輪的航速為v，費(fèi)用為y，則yav340020v2.由y40v0，得v20<30.當(dāng)0<v<20時(shí)，y<0；當(dāng)20<v<30時(shí)y>0，當(dāng)v20時(shí)，y最小答案20 n mile/h4如圖143，內(nèi)接于拋物線y1x2的矩形ABCD，其中A，B在拋物線上運(yùn)動(dòng)，C，D在x軸上運(yùn)動(dòng)，則此矩形的面積的最大值是_圖143解析設(shè)CDx，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，矩形ABCD的面積Sf(x)xx，x(0,2)由f(x)x210，得x1(舍)，x2，x時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，故當(dāng)x時(shí)，f(x)取最大值.答案5如圖144所示，有甲、乙兩個(gè)工廠，甲廠位于一直線海岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在海的同側(cè)，乙廠位于離海岸40 km的B處，乙廠到海岸的垂足D與A相距50 km.兩廠要在此岸邊A，D之間合建一個(gè)供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3a元和5a元，則供水站C建在何處才能使水管費(fèi)用最省？ 【導(dǎo)學(xué)號：31062079】圖144解設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)x km，則AC50x(km)，所以BC(km)又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，依題意，得y3a(50x)5a(0<x<50)y3a.令y0，解得x30.在(0,50)上，y只有一個(gè)極小值點(diǎn)，根據(jù)問題的實(shí)際意義，函數(shù)在x30 km處取得最小值，此時(shí)AC50x20(km)故供水站建在A，D之間距甲廠20 km處，可使水管費(fèi)用最省6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375