第二課推理與證明 核心速填1合情推理：(1)歸納推理：由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理(2)類比推理：由特殊到特殊的推理(3)合情推理： 歸納和類比是常用的合情推理，都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納類比，然后提出猜想的推理2演繹推理：(1)演繹推理是由一般到特殊的推理(2)三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情況；結(jié)論根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況做出的判斷3直接證明與間接證明(1)直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法；分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法；(2)間接證明一種方法是反證法，它是從結(jié)論反面成立出發(fā)，推出矛盾的證明方法4數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題證明時(shí)，它的兩個(gè)步驟缺一不可它的第一步(歸納奠基)nn0時(shí)結(jié)論成立第二步(歸納遞推)假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，推得nk1時(shí)結(jié)論也成立特別要注意nk到nk1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù)體系構(gòu)建題型探究合情推理(1)觀察下列等式：1，1，1，據(jù)此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_(2)類比三角形內(nèi)角平分線定理：設(shè)ABC的內(nèi)角A的平分線交BC于點(diǎn)M，則.若在四面體PABC中，二面角BPAC的平分面PAD交BC于點(diǎn)D，你可得到的結(jié)論是_，并加以證明. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062174】解析(1)等式的左邊的通項(xiàng)為，前n項(xiàng)和為1；右邊的每個(gè)式子的第一項(xiàng)為，共有n項(xiàng)，故為.(2)畫出相應(yīng)圖形，如圖所示由類比推理得所探索結(jié)論為.證明如下：由于平面PAD是二面角BPAC的平分面，所以點(diǎn)D到平面BPA與平面CPA的距離相等，所以.又因?yàn)?由知成立答案(1)1(2)規(guī)律方法1.歸納推理的特點(diǎn)及一般步驟2類比推理的特點(diǎn)及一般步驟跟蹤訓(xùn)練1(1)觀察如圖21中各正方形圖案，每條邊上有n(n2)個(gè)點(diǎn)，第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的總數(shù)是Sn.圖21按此規(guī)律，推出Sn與n的關(guān)系式為_(2)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn, 則T4，_，_， 成等比數(shù)列解析(1)依圖的構(gòu)造規(guī)律可以看出：S2244，S3344，S4444(正方形四個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)算一次，應(yīng)減去)猜想：Sn4n4(n2，nN*)(2)等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時(shí)，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn，則T4， ， ， 成等比數(shù)列答案(1)Sn4n4(n2，nN*)(2) 綜合法與分析法若a、b、c是ABC的三邊長(zhǎng)，m0，求證：. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062175】思路探究根據(jù)在ABC中任意兩邊之和大于第三邊，再利用分析法與綜合法結(jié)合證明不等式成立證明要證明，只需證明0即可，a0，b0，c0，m0，(am)(bm)(cm)0，a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2，ABC中任意兩邊之和大于第三邊，abc0，(abc)m20，2abmabc(abc)m20，.母題探究：1. (改變條件)本例刪掉條件“m0”，證明：.證明要證 .只需證ab(ab)c>(1ab)c.即證ab>c.而ab>c顯然成立所以.2(變換條件)本例增加條件“三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列”，求證：.證明要證，即證3，即證1.即證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，即證c2a2acb2.ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列B60.由余弦定理，有b2c2a22cacos 60，即b2c2a2ac.c2a2acb2成立，命題得證規(guī)律方法分析綜合法的應(yīng)用綜合法由因?qū)Ч?，分析法?zhí)果索因，因此在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來使用，即先利用分析法尋找解題思路，再利用綜合法有條理地表述解答過程.反證法已知xR，ax2，b2x，cx2x1，試證明a，b，c至少有一個(gè)不小于1.證明假設(shè)a，b，c均小于1，即a1，b1，c1，則有abc3，而abc2x22x32233，兩者矛盾，所以假設(shè)不成立，故a，b，c至少有一個(gè)不小于1.規(guī)律方法反證法的關(guān)注點(diǎn)(1)反證法的思維過程：否定結(jié)論推理過程中引出矛盾否定假設(shè)肯定結(jié)論，即否定推理否定(經(jīng)過正確的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，從而達(dá)到新的“否定”(即肯定原命題).(2)反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題時(shí)，也常用反證法.跟蹤訓(xùn)練2若x，y，z(0,2)，求證：x(2y)，y(2z)，z(2x)不可能都大于1. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062176】證明假設(shè)x(2y)>1，且y(2z)>1，且z(2x)>1均成立，則三式相乘有xyz(2x)(2y)(2z)>1，由于0<x<2，所以0<x(2x) 1，同理0<y(2y)1,0<z(2z)1，三式相乘得0<xyz(2x)(2y)(2z)1，與矛盾，故假設(shè)不成立所以x(2y)，y(2z)，z(2x)不可能都大于1.數(shù)學(xué)歸納法設(shè)a>0，f(x)，令a11，an1f(an)，nN*.(1)寫出a2，a3，a4的值，并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論解(1)a11，a2f(a1)f(1)；a3f(a2)；a4f(a3).猜想an(nN*)(2)證明：易知，n1時(shí)，猜想正確假設(shè)nk(kN*)時(shí)猜想正確，即ak，則ak1f(ak).這說明，nk1時(shí)猜想正確由知，對(duì)于任何nN*，都有an.規(guī)律方法1.數(shù)學(xué)歸納法的兩點(diǎn)關(guān)注(1)關(guān)注點(diǎn)一：用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是數(shù)學(xué)歸納法的常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少.(2)關(guān)注點(diǎn)二：由nk到nk1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要利用nk時(shí)的式子，即利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明.2.與“歸納猜想證明”相關(guān)的常用題型的處理策略(1)與函數(shù)有關(guān)的證明：由已知條件驗(yàn)證前幾個(gè)特殊值正確得出猜想，充分利用已知條件并用數(shù)學(xué)歸納法證明.(2)與數(shù)列有關(guān)的證明：利用已知條件，當(dāng)直接證明遇阻時(shí)，可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.跟蹤訓(xùn)練3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式>(n2，nN*)證明當(dāng)n2時(shí)，.假設(shè)當(dāng)nk(k2且kN*)時(shí)不等式成立，即，那么當(dāng)nk1時(shí)， . 這就是說，當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立由可知，原不等式對(duì)任意大于1的正整數(shù)都成立轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用已知，k(kZ)，且sin cos 2sin ，sin cos sin2.求證： 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062177】證明要證成立，即證，即證cos2sin2(cos2sin2)，即證12sin2(12sin2)，即證4sin22sin21，因?yàn)閟in cos 2sin ，sin cos sin2 ，所以(sin cos )212sin cos 4sin2，所以12sin24sin2 ，即4sin2 2sin21.故原結(jié)論正確規(guī)律方法轉(zhuǎn)化與化歸思想轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，數(shù)學(xué)中的一切問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，轉(zhuǎn)化與化歸的原則是將不熟悉的或難解的問題轉(zhuǎn)化為熟知的、易解或已經(jīng)解決的問題；將抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的直觀的問題；將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題；將一般性的問題轉(zhuǎn)化為直觀的特殊問題；將實(shí)際應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.本章中無論是推理過程還是用分析法、綜合法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法證明問題的過程中都用到了轉(zhuǎn)化與化歸思想.跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，a，bR.(1)求證：如果ab0，那么f(a)f(b)f(a)f(b)；(2)判斷(1)中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論解(1)證明：當(dāng)ab0時(shí)，ab且ba.f(x)在R上是增函數(shù)，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)(2)(1)中命題的逆命題為“如果f(a)f(b)f(a)f(b)，那么ab0”，此命題成立用反證法證明如下：假設(shè)ab0，則ab，f(a)f(b)同理可得f(b)f(a)f(a)f(b)f(a)f(b)，這與f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假設(shè)不成立，ab0成立，即(1)中命題的逆命題成立6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375