3.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)函數(shù)極值的定義1函數(shù)極值(點(diǎn))的判斷與求解2,3,7由函數(shù)極值求參數(shù)(或范圍)4,5函數(shù)極值的應(yīng)用10綜合問題6,8,9,11【基礎(chǔ)鞏固】1.下列關(guān)于函數(shù)的極值的說法正確的是(D)(A)導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)(B)函數(shù)的極小值一定小于它的極大值(C)函數(shù)在定義域內(nèi)有一個(gè)極大值和一個(gè)極小值(D)若f(x)在(a,b)內(nèi)有極值,那么f(x)在(a,b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)解析:由極值的概念可知只有D正確.2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)(A)(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)解析:極小值點(diǎn)應(yīng)有先減后增的特點(diǎn),即f(x)<0f(x)=0f(x)>0.由圖象可知只有1個(gè)極小值點(diǎn).故選A.3.函數(shù)y=1+3x-x3有(D)(A)極小值-1,極大值1(B)極小值-2,極大值3(C)極小值-2,極大值2(D)極小值-1,極大值3解析:f(x)=-3x2+3,由f(x)=0可得x1=1,x2=-1.由極值的判定方法知f(x)的極大值為f(1)=3,極小值為f(-1)=1-3+1=-1.故選D.4.(2018太原高二檢測(cè))若函數(shù)f(x)=ax-ln x在x=處取得極值,則實(shí)數(shù)a的值為(A)(A)(B)(C)2(D)解析:f(x)=a-,令f()=0,即a-=0,解得a=.故選A.5.(2017河南高二月考)已知函數(shù)f(x)=ex-ax有兩個(gè)零點(diǎn)x1<x2,則下列說法錯(cuò)誤的是(C)(A)a>e(B)x1+x2>2(C)x1x2>1(D)有極小值點(diǎn)x0,且x1+x2<2x0解析:因?yàn)閒(x)=ex-ax,所以f(x)=ex-a,令f(x)=ex-a>0,當(dāng)a0時(shí),f(x)=ex-a>0在xR上恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞增.當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)閒(x)=ex-a>0,所以ex-a>0,解得x>ln a,所以f(x)在(-,ln a)單調(diào)遞減,在(ln a,+)單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ex-ax有兩個(gè)零點(diǎn)x1<x2,所以f(ln a)<0,a>0,所以eln a-aln a<0,所以a>e,A正確;x1+x2=ln(a2x1x2)=2ln a+ln(x1x2)>2+ln(x1x2),取a=,f(2)=e2-2a=0,所以x2=2,f(0)=1>0,所以0<x1<1,所以x1+x2>2,B正確;f(0)=1>0,所以0<x1<1,x1x2>1不一定,C不正確;f(x)在(-,ln a)單調(diào)遞減,在(ln a,+)單調(diào)遞增,所以有極小值點(diǎn)x0=ln a,且x1+x2<2x0=2ln a,D正確.故選C.6.(2015陜西卷)函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為.解析:由y=xex可得y=ex+xex=ex(x+1),從而可得y=xex在(-,-1)上遞減,在(-1,+)上遞增,所以當(dāng)x=-1時(shí),y=xex取得極小值-e-1,因?yàn)閥|x=-1=0,切點(diǎn)為(-1,-),故切線方程為y=-e-1,即y=-.答案:y=-7.(2018寶雞高二月考)已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx,其導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,0),如圖所示,則下列說法中正確的是(把所有正確的說法序號(hào)都填上).當(dāng)x=時(shí)函數(shù)取得極小值;f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn);當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極小值;當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值.解析:從題中圖象上可以看到:當(dāng)x(-,1)時(shí),f(x)>0;當(dāng)x(1,2)時(shí),f(x)<0;當(dāng)x(2,+)時(shí),f(x)>0,所以f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)1和2,且當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極小值,當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值.只有不正確.答案:8.(2017咸陽高二期末)已知函數(shù)f(x)=x3+3x2-9x+3.求:(1)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)f(x)的極值.解:(1)f(x)=3x2+6x-9,解f(x)0,得x1或x-3;所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,-3,1,+).(2)x<-3時(shí),f(x)>0,-3<x<1時(shí),f(x)<0,x>1時(shí),f(x)>0;所以x=-3時(shí)f(x)取極大值30,x=1時(shí),f(x)取極小值-2.【能力提升】9.(2018沈陽高二質(zhì)檢)若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,若t=ab,則t的最大值為(D)(A)2(B)3(C)6(D)9解析:f(x)=12x2-2ax-2b,則f(1)=12-2a-2b=0,則a+b=6,又a>0,b>0,則t=ab()2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)取等號(hào).故選D.10.(2018成都高二診斷)函數(shù)f(x)=x3-3ax+b(a>0)的極大值為6,極小值為2,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是.解析:令f(x)=3x2-3a=0,得x=,則f(x),f(x)隨x的變化情況如表:x(-,-)-(-,)(,+)f(x)+0-0+f(x)極大值極小值從而解得所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1).答案:(-1,1)11.(2018呼倫貝爾高二檢測(cè))設(shè)函數(shù)y=x3+ax2+bx+c的圖象如圖所示,且與y=0在原點(diǎn)相切,若函數(shù)的極小值為-4.(1)求a,b,c的值;(2)求函數(shù)的遞減區(qū)間.解:(1)因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0),易得c=0.又圖象與x軸相切于點(diǎn)(0,0),且y=3x2+2ax+b,故0=302+2a0+b,解得b=0.所以y=x3+ax2,則y=3x2+2ax.令y=0,解得x=0或x=-a,即x=0和x=-a是極值點(diǎn).由圖象知函數(shù)在x=0處取極大值,故在x=-a時(shí)取極小值.當(dāng)x=-a時(shí),函數(shù)有極小值-4,所以(-a)3+a(-)2=-4,整理得a3=-27,解得a=-3.故a=-3,b=0,c=0.(2)由(1)得y=x3-3x2,則y=3x2-6x,令y<0,即y=3x2-6x<0,解得0<x<2,所以函數(shù)的遞減區(qū)間是(0,2).【探究創(chuàng)新】12.(2017南陽高二期末)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+2bx+c,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)取極大值,在區(qū)間(1,2)內(nèi)取極小值,則u=的取值范圍是.名師點(diǎn)撥:由函數(shù)在(0,1)內(nèi)取極大值,在(1,2)內(nèi)取極小值,列出a,b所滿足的約束條件,利用線性規(guī)劃求解.解析:f(x)=x2+ax+2b,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0,1)內(nèi)取極大值,在(1,2)內(nèi)取極小值.所以即作出點(diǎn)(a,b)所滿足的可行域如圖:而u=可看作是平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)C(1,2)連線的斜率,由可得A(-3,1),又B(-1,0)所以kAC=,kBC=1,所以<u<1.答案:(,1)我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。