2.3.2 平面與平面垂直的判定 A級(jí)　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1．一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角(　　) A．相等　　　　　　　 B．互補(bǔ) C．不確定 D．相等或互補(bǔ) 答案：C 2．對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是(　　) A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n?α C．m∥n，n⊥β，m?α D．m∥n，m⊥α，n⊥β 解析：因?yàn)閙∥n，n⊥β，所以m⊥β. 又m?α，所以α⊥β. 答案：C 3．已知a，b為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題： ①a∥b，a∥α?b∥α； ②a⊥b，a⊥α?b∥α； ③a∥α，β∥α?a∥β； ④a∥α，β⊥α?a∥β 其中不正確的有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：①中b?α有可能成立，所以①不正確；②中b?α有可能成立；故②不正確；③中a?β有可能成立，故③不正確；④中a?β有可能成立，故④不正確．綜上①②③④均不正確，故選D. 答案：D 4．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成幾何體ABCD，則在幾何體ABCD中，下列結(jié)論正確的是(　　) A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC 解析：由已知得BA⊥AD，CD⊥BD， 又平面ABD⊥平面BCD，所以CD⊥平面ABD， 從而CD⊥AB，故AB⊥平面ADC. 又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC. 答案：D 5．已知m，n為不重合的直線，α，β，γ為不重合的平面，則下列命題中正確的是(　　) A．m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥β B．α⊥γ，β⊥γ?α∥β C．α∥β，m⊥α，n∥β?m⊥n D．α⊥β，α∩β＝m，n⊥m?n⊥β 解析：α∥β，m⊥α?m⊥β，n∥β?m⊥n. 答案：C 二、填空題 6.如圖所示，檢查工作的相鄰兩個(gè)面是否垂直時(shí)，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個(gè)面上，另一邊在工件的另一個(gè)面上轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察尺邊是否和這個(gè)面密合就可以了，其原理是________． 解析：如圖，因?yàn)镺A⊥OB，OA⊥OC，OB?β，OC?β且OB∩OC＝O，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA?α，根據(jù)面面垂直的判定定理，可得α⊥β. 答案：面面垂直的判定定理 7．過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，則平面ABP與平面CDP所成的二面角的度數(shù)是________． 解析：可將圖形補(bǔ)成以AB、AP為棱的正方體，不難求出二面角的大小為45. 答案：45 8．如圖所示，三棱錐PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝ 90，二面角BPAC的大小等于________． 解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC， 所以∠BAC是二面角BPAC的平面角． 又∠BAC＝90， 則二面角BPAC的大小等于90. 答案：90 三、解答題 9.如圖，在四棱錐PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC. (1)求證：DC⊥平面PAC； (2)求證：平面PAB⊥平面PAC. 證明：(1)因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥DC. 又因?yàn)镈C⊥AC，PC∩AC＝C， 所以DC⊥平面PAC. (2)因?yàn)锳B∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC. 因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥AB. 所以AB⊥平面PAC. 又因?yàn)锳B?平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PAC. 10．如圖所示，在三棱錐SABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC＝90，O為BC的中點(diǎn)． (1)證明SO⊥平面ABC； (2)求二面角ASCB的余弦值． (1)證明：如圖所示，由題設(shè)AB＝AC＝SB＝SC＝SA. 連接OA，△ABC為等腰直角三角形， 所以O(shè)A＝OB＝OC＝SA，且AO⊥BC. 又△SBC為等腰三角形，故SO⊥BC， 且SO＝SA. 從而OA2＋SO2＝SA2， 所以△SOA為直角三邊形，SO⊥AO. 又AO∩BC＝O，所以SO⊥平面ABC. (2)解：取SC的中點(diǎn)M，連接AM，OM. 由(1)知SO＝OC，SA＝AC，得OM⊥SC，AM⊥SC. 所以∠OMA為二面角ASCB的平面角． 由AO⊥BC，AO⊥SO，SO∩BC＝O， 得AO⊥平面SBC. 所以AO⊥OM. 又AM＝SA，AO＝SA， 故sin∠AMO＝＝＝. 所以二面角ASCB的余弦值為. B級(jí)　能力提升 1．在空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有(　　) A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADB C．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC 解析：因?yàn)锳D⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面DBC. 又因?yàn)锳D?平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC. 答案：D 2．若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，△PBC和△ABC都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PA＝，則二面角PBCA的大小為_(kāi)_______． 解析：如圖，由于△PBC和△ABC都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，故取BC的中點(diǎn)O，連接PO，AO，所以PO⊥BC，AO⊥BC.由二面角的平面角的定義知，∠POA為二面角PBCA的平面角，分別在兩個(gè)三角形中求得PO＝AO＝.在△PAO中，PO2＋OA2＝6＝PA2，所以∠POA＝90，即二面角PBCA的大小為90. 答案：90 3.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.求證： (1)直線DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 證明：(1)因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)， 所以DE為△ABC的中位線， 所以DE∥AC. 因?yàn)锳BCA1B1C1為棱柱， 所以AC∥A1C1. 所以DE∥A1C1. 因?yàn)锳1C1?平面A1C1F，且DE?平面A1C1F， 所以DE∥平面A1C1F. (2)因?yàn)锳BCA1B1C1為直棱柱， 所以AA1⊥平面A1B1C1， 所以AA1⊥A1C1. 又因?yàn)锳1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1?平面AA1B1B. 所以A1C1⊥平面AA1B1B. 因?yàn)镈E∥A1C1， 所以DE⊥平面AA1B1B. 又因?yàn)锳1F?平面AA1B1B， 所以DE⊥A1F. 又因?yàn)锳1F⊥B1D，DE∩B1D＝D，且DE，B1D?平面B1DE， 所以A1F⊥平面B1DE. 又因?yàn)锳1F?平面A1C1F， 所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。