第十一節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；2.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；3.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題(生活中的優(yōu)化問題)。2016，全國卷，7,5分(圖象判斷)2016，全國卷，21,12分(導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、不等式證明、函數(shù)零點(diǎn))2015，全國卷，12,5分(導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、參數(shù)的取值范圍)2015，全國卷，21,12分(切線、函數(shù)最值、零點(diǎn)問題)2014，全國卷，21,12分(導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、函數(shù)最值、不等式證明)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸試題，在每年的高考中屬于必考內(nèi)容，其命題方向主要有兩個(gè)：一是圍繞函數(shù)的性質(zhì)考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、極值、最值，曲線的切線等問題展開，二是圍繞函數(shù)與方程、不等式命制探索方程根的個(gè)數(shù)、不等式的證明、不等式恒成立等問題展開。此類壓軸試題難度較大，邏輯推理能力較強(qiáng)，在今后的備考中不可小視。微知識小題練自|主|排|查1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則(1)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；(2)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；(3)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)。2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的極小值若函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，且f(a)0，而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則xa叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小值。(2)函數(shù)的極大值若函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，且f(b)0，而且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則xb叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)的極大值，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值。3函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在a，b上有最值的條件：一般地，如果在區(qū)間a，b上，函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。(2)求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟為：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。微點(diǎn)提醒1函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f(x)0，“f(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件。2對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f(x0)0”是“函數(shù)f(x)在xx0處有極值”的必要不充分條件。如函數(shù)yx3在x0處導(dǎo)數(shù)為零，但x0不是函數(shù)yx3的極值點(diǎn)。3求最值時(shí)，應(yīng)注意極值點(diǎn)和所給區(qū)間的關(guān)系，關(guān)系不確定時(shí)，需要分類討論，不可想當(dāng)然認(rèn)為極值就是最值。4函數(shù)最值是“整體”概念，而函數(shù)極值是“局部”概念，極大值與極小值之間沒有必然的大小關(guān)系。小|題|快|練一 、走進(jìn)教材1(選修2-2P26練習(xí)T1改編)函數(shù)f(x)xex的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，1 B2,8C1,2 D0,2【解析】解法一：f(x)xex，所以f(x)0，所以x1。故選A。解法二：f(x)1exxex(1)(1x)ex0。因?yàn)閑x>0，所以x1。故選A?！敬鸢浮緼2(選修2-2P32A組T5（4）題改編)函數(shù)f(x)2xxlnx的極值是()A. B.Ce De2【解析】因?yàn)閒(x)2(lnx1)1lnx，當(dāng)f(x)>0時(shí)，解得0<x<e；當(dāng)f(x)<0時(shí)，解得x>e，所以xe時(shí)，f(x)取到極大值，f(x)極大值f(e)e。故選C?！敬鸢浮緾3(選修2-2P37B組T2改編)若商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式為yx327x123(x>0)，則獲得最大利潤時(shí)的年產(chǎn)量為()A1百萬件 B2百萬件C3百萬件 D4百萬件【解析】因?yàn)閥x327x123(x>0)，所以y3x2273(x3)(x3)(x>0)，所以yx327x123在(0,3)上是增函數(shù)，在(3，)上是減函數(shù)，故當(dāng)x3時(shí)，獲得最大利潤，即獲得最大利潤時(shí)的年產(chǎn)量為3百萬件。故選C?！敬鸢浮緾二、雙基查驗(yàn)1(2016錦州模擬)已知函數(shù)yxf(x)的圖象如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))。則下面四個(gè)圖象中，yf(x)的圖象大致是()【解析】由條件可知當(dāng)0<x<1時(shí)，xf(x)<0，所以f(x)<0，函數(shù)f(x)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，xf(x)>0，所以f(x)>0，函數(shù)f(x)遞增，所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極小值。當(dāng)x<1時(shí)，xf(x)<0，所以f(x)>0，函數(shù)f(x)遞增，當(dāng)1<x<0，xf(x)>0，所以f(x)<0，函數(shù)f(x)遞減，所以x1時(shí)，函數(shù)取得極大值。符合條件的只有C項(xiàng)。【答案】C2(2016四川高考)已知a為函數(shù)f(x)x312x的極小值點(diǎn)，則a()A4 B2C4 D2【解析】由題意得f(x)3x212，由f(x)0得x2，當(dāng)x(，2)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(2,2)時(shí)，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x(2，)時(shí)，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以a2。故選D?！敬鸢浮緿3函數(shù)f(x)x2lnx的最小值為()A. B1C0 D不存在【解析】f(x)x，且x>0。令f(x)>0，得x>1；令f(x)<0，得0<x<1。f(x)在x1處取得極小值也是最小值，且f(1)ln1。故選A?！敬鸢浮緼4若f(x)ax33x2無極值，則a的范圍為_?！窘馕觥縡(x)3ax23，若a0，則f(x)>0恒成立，f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x)無極值?！敬鸢浮?，)5(2017重慶模擬)設(shè)1<x<2，則，2，的大小關(guān)系是_。(用“<”連接)【解析】令f(x)xlnx(1<x<2)，則f(x)1>0，所以函數(shù)yf(x)(1<x<2)為增函數(shù)，所以f(x)>f(1)1>0，所以x>lnx>00<<1，所以2<。又>0，所以2<<?！敬鸢浮?<<第一課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【典例1】(2016北京高考)設(shè)函數(shù)f(x)xeaxbx，曲線yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線方程為y(e1)x4。(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間?！窘馕觥?1)因?yàn)閒(x)xeaxbx，所以f(x)(1x)eaxb。依題意，即解得a2，be。(2)由(1)知f(x)xe2xex。由f(x)e2x(1xex1)及e2x>0知，f(x)與1xex1同號。令g(x)1xex1，則g(x)1ex1。所以當(dāng)x(，1)時(shí)，g(x)<0，g(x)在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)>0，g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增。故g(1)1是g(x)在區(qū)間(，)上的最小值，從而g(x)>0，x(，)。綜上可知，f(x)>0，x(，)。故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)。【答案】(1)a2，be(2)單調(diào)遞增區(qū)間為(，)反思?xì)w納利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法：1當(dāng)導(dǎo)函數(shù)不等式可解時(shí)，解不等式f(x)>0或f(x)<0求出單調(diào)區(qū)間。2當(dāng)方程f(x)0可解時(shí)，解出方程的實(shí)根，按實(shí)根把函數(shù)的定義域劃分區(qū)間，確定各區(qū)間f(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間。3若導(dǎo)函數(shù)的方程、不等式都不可解，根據(jù)f(x)結(jié)構(gòu)特征，利用圖象與性質(zhì)確定f(x)的符號，從而確定單調(diào)區(qū)間。4所求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)，這些區(qū)間之間不能用并集“”及“或”連接，只能用“，”“和”字隔開?！咀兪接?xùn)練】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)f(x)(x1)2ln(x1)2；(2)f(x)(x1)exx2。【解析】(1)f(x)的定義域?yàn)閤|xR且x1，f(x)2(x1)2(x1)。由f(x)>0，得0<x<1或x>2。由f(x)<0，得x<0或1<x<2。f(x)的增區(qū)間為(0,1)，(2，)，減區(qū)間為(，0)，(1,2)。(2)f(x)(x1)exx2，f(x)ex(x1)ex2xxex2xx(ex2)，令f(x)0，得x10，x2ln2。當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化如下表：x(，0)0(0，ln2)ln2(ln2，)f(x)00f(x)極大值極小值由表可知，函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為(0，ln2)，遞增區(qū)間為(，0)，(ln2，)?！敬鸢浮?1)單調(diào)遞增區(qū)間(0,1)，(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間(，0)，(1,2)(2)單調(diào)遞減區(qū)間(0，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間(，0)，(ln2，)?？键c(diǎn)二 利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性【典例2】(2016山東高考節(jié)選)已知f(x)a(xlnx)，aR。討論f(x)的單調(diào)性?！窘馕觥縡(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a。當(dāng)a0時(shí)，x(0,1)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x(1，)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。當(dāng)a>0時(shí)，f(x)。(1)0<a<2時(shí)， >1，當(dāng)x(0,1)或x時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。(2)a2時(shí)， 1，在x(0，)內(nèi)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增。(3)a>2時(shí)，0< <1，當(dāng)x或x(1，)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a2時(shí)，f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增。【答案】見解析反思?xì)w納1.研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對不等式解集的影響進(jìn)行分類討論。2劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要在函數(shù)定義域內(nèi)討論，還要確定導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和函數(shù)的間斷點(diǎn)。3個(gè)別導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不影響所在區(qū)間的單調(diào)性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0時(shí)取到)，f(x)在R上是增函數(shù)?！咀兪接?xùn)練】討論函數(shù)f(x)(a1)lnxax21(aR)的單調(diào)性。【解析】f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2ax。當(dāng)a1時(shí)，f(x)>0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a0時(shí)，f(x)<0，故f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<1時(shí)，令f(x)0，解得x，則當(dāng)x時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增?！敬鸢浮恳娊馕隹键c(diǎn)三 利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍母題發(fā)散【典例3】已知函數(shù)f(x)x3ax1。(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在R上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。【解析】(1)f(x)3x2a。當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，)上為增函數(shù)。當(dāng)a>0時(shí)，令3x2a0得x；當(dāng)x>或x<時(shí)，f(x)>0；當(dāng)<x<時(shí)，f(x)<0。因此f(x)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。綜上可知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在R上為增函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。(2)因?yàn)閒(x)在(，)上是增函數(shù)，所以f(x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2對xR恒成立。因?yàn)?x20，所以只需a0。又因?yàn)閍0時(shí)，f(x)3x20，f(x)x31在R上是增函數(shù)，所以a0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，0?！敬鸢浮?1)見解析(2)(，0【母題變式】1.函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，求a的取值范圍?！窘馕觥恳?yàn)閒(x)3x2a，且f(x)在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，所以f(x)0在(1，)上恒成立，即3x2a0在(1，)上恒成立，所以a3x2在(1，)上恒成立，所以a3，即a的取值范圍為(，3?！敬鸢浮?，32函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1,1)上為減函數(shù)，試求a的取值范圍?！窘馕觥坑蒮(x)3x2a0在(1,1)上恒成立，得a3x2在(1,1)上恒成立。因?yàn)?<x<1，所以3x2<3，所以a3。即當(dāng)a的取值范圍為3，)時(shí)，f(x)在(1,1)上為減函數(shù)?！敬鸢浮?，)3函數(shù)f(x)不變，若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,1)，求a的值。【解析】由母題可知，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，1，即a3?！敬鸢浮?4函數(shù)f(x)不變，若f(x)在區(qū)間(1,1)上不單調(diào)，求a的取值范圍?！窘馕觥縡(x)x3ax1，f(x)3x2a。由f(x)0，得x(a0)。f(x)在區(qū)間(1，1)上不單調(diào)，0<<1，得0<a<3，即a的取值范圍為(0,3)?！敬鸢浮?0,3)反思?xì)w納根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的一般思路1利用集合間的包含關(guān)系處理：yf(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集。2轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題，即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則f(x)0恒成立；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f(x)0恒成立”來求解。微考場新提升1函數(shù)yx2lnx的單調(diào)減區(qū)間為()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析函數(shù)yx2lnx的定義域?yàn)?0，)，yx，令y0，則可得0<x1。故選B。答案B2若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A1，) B(1，)C(，1 D(，1)解析f(x)x0在(1，)上恒成立，即bx(x2)在(1，)上恒成立。又x(x2)(x1)21>1，b1。故選C。答案C3已知函數(shù)f(x)x22cosx，若f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象大致是()解析設(shè)g(x)f(x)2x2sinx，g(x)22cosx0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增。故選A。答案A4函數(shù)f(x)1xsinx在(0,2)上的單調(diào)性是_。解析在(0,2)上有f(x)1cosx>0，所以f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增。答案單調(diào)遞增5(2017秦皇島模擬)已知函數(shù)f(x)lnx，g(x)ax22x，a0。若函數(shù)h(x)f(x)g(x)在1,4上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為_。解析h(x)lnxax22x，x(0，)，所以h(x)ax2。因?yàn)閔(x)在1,4上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1,4時(shí)，h(x)ax20恒成立，即a恒成立，令G(x)，則aG(x)max，而G(x)21。因?yàn)閤1,4，所以，所以G(x)max(此時(shí)x4)，所以a。答案第二課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決極值問題多維探究角度一：求函數(shù)的值域【典例1】已知函數(shù)f(x)ex(axb)x24x，曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程為y4x4。(1)求a，b的值；(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極值。【解析】(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axba)2x4。由已知，得即解得(2)由(1)知，f(x)4ex(x1)x24x，f(x)ex(4x8)2x44(x2)。令f(x)0，得x2或xln2。令f(x)0，得或解得2xln2。令f(x)0，得或解得x2或xln2。當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，2)2(2，ln2)ln2(ln2，)f(x)00f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由上表可知，函數(shù)f(x)的極大值為f(2)4(1e2)，極小值為f(ln2)22ln2ln22。【答案】(1)a4，b4(2)單調(diào)性見解析極大值為4(1e2)，極小值為22ln2ln22角度二：已知函數(shù)的極值求參數(shù)【典例2】(2016山東高考)設(shè)f(x)xlnxax2(2a1)x，aR。(1)令g(x)f(x)，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知f(x)在x1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。【解析】(1)由f(x)lnx2ax2a，可得g(x)lnx2ax2a，x(0，)。則g(x)2a。當(dāng)a0時(shí)，x(0，)時(shí)，g(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，x時(shí)，g(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，x時(shí)，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減。所以當(dāng)a0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)；當(dāng)a>0時(shí)，g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為。(2)由(1)知，f(1)0。當(dāng)a0時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。所以f(x)在x1處取得極小值，不合題意。當(dāng)0<a<時(shí)，>1，由(1)知f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，可得當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)<0，x時(shí)，f(x)>0。所以f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以f(x)在x1處取得極小值，不合題意。當(dāng)a時(shí)，1，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，不合題意。當(dāng)a>時(shí)，0<<1，當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)在x1處取得極大值，符合題意。綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>?！敬鸢浮?1)見解析(2)反思?xì)w納1.已知函數(shù)的極值求參數(shù)時(shí)，通常利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)處的取值等于零來建立關(guān)于參數(shù)的方程。需注意的是，可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于零只是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要條件，必要時(shí)需對求出的參數(shù)值進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合函數(shù)取得極值的條件。2已知函數(shù)的最值求參數(shù)，利用待定系數(shù)法求解?！咀兪接?xùn)練】(1)(2016金華十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)x(lnxax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。(2)(2016沈陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)lnxax2bx，若x1是f(x)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍為_?！窘馕觥?1)f(x)(lnxax)xlnx12ax，令f(x)0，得2a。設(shè)(x)，則(x)，易知(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以(x)max(1)1，則(x)的大致圖象如圖所示，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則直線y2a和y(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以0<2a<1，得0<a<。(2)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a。f(x)axa1。若a0，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以x1是f(x)的極大值點(diǎn)。若a<0，由f(x)0，得x1或x。因?yàn)閤1是f(x)的極大值點(diǎn)，所以>1，解得1<a<0。綜合得a的取值范圍是a>1?！敬鸢浮?1)(2)(1，)考點(diǎn)二 運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決最值問題【典例3】已知函數(shù)f(x)lnxax(aR)。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)在1,2上的最小值。【解析】(1)f(x)a(x0)，當(dāng)a0時(shí)，f(x)a0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)。當(dāng)a0時(shí)，令f(x)a0，可得x，當(dāng)0x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，f(x)0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。(2)當(dāng)0<1，即a1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，f(x)的最小值是f(2)ln22a。當(dāng)2，即0a時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù)，f(x)的最小值是f(1)a。當(dāng)12，即a1時(shí)，函數(shù)f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。又f(2)f(1)ln2a，當(dāng)aln2時(shí)，最小值是f(1)a；當(dāng)ln2a1時(shí)，最小值為f(2)ln22a。綜上可知，當(dāng)0aln2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a；當(dāng)aln2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是ln22a?！敬鸢浮?1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)見解析反思?xì)w納求函數(shù)f(x)在a，b上最值的方法1若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，f(a)與f(b)一個(gè)為最大值，一個(gè)為最小值。2若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，先求出函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上的極值，與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。3函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上有唯一一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，這個(gè)極值點(diǎn)就是最大(或最小)值點(diǎn)?！咀兪接?xùn)練】設(shè)函數(shù)f(x)alnxbx2(x0)，若函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切，(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值?！窘馕觥?1)f(x)2bx，函數(shù)f(x)在x1處與直線y相切，解得(2)f(x)lnxx2，f(x)x，當(dāng)xe時(shí)，令f(x)0得x1；令f(x)0，得1xe，f(x)在上單調(diào)遞增，在1，e上單調(diào)遞減，f(x)maxf(1)?！敬鸢浮?1)a1b(2)考點(diǎn)三 函數(shù)極值與最值的綜合問題【典例4】已知函數(shù)f(x)(a0)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為3和0。(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)的極小值為e3，求f(x)在區(qū)間5，)上的最大值?！窘馕觥?1)f(x)，令g(x)ax2(2ab)xbc，因?yàn)閑x0，所以yf(x)的零點(diǎn)就是g(x)ax2(2ab)xbc的零點(diǎn)，且f(x)與g(x)符號相同。又因?yàn)閍0，所以3x0時(shí)，g(x)0，即f(x)0，當(dāng)x3或x0時(shí)，g(x)0，即f(x)0，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(3,0)，單調(diào)減區(qū)間是(，3)，(0，)。(2)由(1)知，x3是f(x)的極小值點(diǎn)，所以有解得a1，b5，c5，所以f(x)。因?yàn)閒(x)的單調(diào)增區(qū)間是(3,0)，單調(diào)減區(qū)間是(，3)，(0，)，所以f(0)5為函數(shù)f(x)的極大值，故f(x)在區(qū)間5，)上的最大值取f(5)和f(0)中的最大者。而f(5)5e55f(0)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間5，)上的最大值是5e5。【答案】(1)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(3,0)，單調(diào)減區(qū)間是(，3)，(0，)(2)5e5反思?xì)w納求一個(gè)函數(shù)在閉區(qū)間上的最值和在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值時(shí)，方法是不同的。求函數(shù)在無窮區(qū)間(或開區(qū)間)上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過單調(diào)性和極值情況，畫出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值?！咀兪接?xùn)練】已知函數(shù)f(x)alnx(a>0)。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在1，e上的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由。【解析】由題意，知函數(shù)的定義域?yàn)閤|x>0，f(x)(a>0)(1)由f(x)>0解得x>，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是；由f(x)<0解得x<，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是。所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)有極小值falnaaalna。(2)由(1)可知，當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。若0<1，即a1時(shí)，函數(shù)f(x)在1，e上為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)的最小值為f(1)aln111，顯然10，故不滿足條件。若1<e，即a<1時(shí)，函數(shù)f(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)的最小值為f(x)的極小值falnaaalnaa(1lna)0，即lna1，解得ae，而a<1，故不滿足條件。若>e，即0<a<時(shí)，函數(shù)f(x)在1，e上為減函數(shù)，故函數(shù)f(x)的最小值為f(e)alnea0，即a，而0<a<，故不滿足條件。綜上所述，不存在這樣的實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在1，e上的最小值為0?！敬鸢浮?1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是單調(diào)遞減區(qū)間是函數(shù)f(x)有極小值aalna(2)不存在，理由見解析微考場新提升1.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)解析(1)當(dāng)x<2時(shí)，1x>0。(1x)f(x)>0，f(x)>0，即f(x)在(，2)上是增函數(shù)。(2)當(dāng)2<x<1時(shí)，1x>0。(1x)f(x)<0，f(x)<0，即f(x)在(2,1)上是減函數(shù)。(3)當(dāng)1<x<2時(shí)，1x<0。(1x)f(x)>0，f(x)<0，即f(x)在(1,2)上是減函數(shù)。(4)當(dāng)x>2時(shí)，1x<0。(1x)f(x)<0，f(x)>0，即f(x)在(2，)上是增函數(shù)。綜上，f(2)是極大值，f(2)是極小值。故選D。答案D2函數(shù)yax3bx2取得極大值和極小值時(shí)的x的值分別為0和，則()Aa2b0 B2ab0C2ab0 Da2b0解析y3ax22bx，根據(jù)題意，0，是方程3ax22bx0的兩根，a2b0。故選D。答案D3若函數(shù)f(x)ax33x1對于x1,1總有f(x)0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A2，) B4，)C4 D2,4解析f(x)3ax23，當(dāng)a0時(shí)，f(x)<0，f(x)在1,1上為減函數(shù)，f(x)minf(1)a20，a2，不合題意；當(dāng)0<a1時(shí)，f(x)3ax233a，f(x)在1,1上為減函數(shù)，f(x)minf(1)a20，a2，不合題意；當(dāng)a>1時(shí)，f(1)a40，且f10，解得a4。綜上所述，a4。故選C。答案C4已知f(x)lnxa(1x)。(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a的取值范圍。解析(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a。若a0，則f(x)>0，f(x)在(0，)是單調(diào)遞增；若a>0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，所以f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減。(2)由(1)知當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)無最大值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x處取得最大值，最大值為flnalnaa1。因此f>2a2lnaa1<0。令g(a)lnaa1，則g(a)在(0，)是增函數(shù)，g(1)0，于是，當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)<0；當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0，因此a的取值范圍是(0,1)。答案(1)當(dāng)a0時(shí)，在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)(0,1)第三課時(shí)導(dǎo)數(shù)與不等式微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 解不等式或比較大小【典例1】(1)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(，0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且有2f(x)xf(x)>x2，則不等式(x2 014)2f(x2 014)4f(2)>0的解集為()A(，2 012)B(2 012,0)C(，2 016) D(2 016,0)(2)已知f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且xR，均有f(x)>f(x)，則以下判斷正確的是()Af(2 013)>e2 013f(0)Bf(2 013)<e2 013f(0)Cf(2 013)e2 013f(0)Df(2 013)與e2 013f(0)大小無法確定【解析】(1)由2f(x)xf(x)>x2，x<0，得2xf(x)x2f(x)<x3，即x2f(x)<x3<0，令F(x)x2f(x)，則當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)(x)<0，即F(x)在(，0)上是減函數(shù)，F(xiàn)(x2 014)(2 014x)2f(x2 014)，F(xiàn)(2)4f(2)，F(xiàn)(2 014x)F(2)>0，即F(2 014x)>F(2)。又F(x)在(，0)上是減函數(shù)，所以2 014x<2，即x<2 016。故選C。(2)令函數(shù)g(x)，則g(x)。f(x)>f(x)，g(x)<0，即函數(shù)g(x)在R上遞減，g(2 013)<g(0)，<，f(2 013)<e2 013f(0)。故選B?！敬鸢浮?1)C(2)B反思?xì)w納破解此類題的關(guān)鍵：一是“構(gòu)造函數(shù)”，通過觀察所給的不等式的特點(diǎn)，適當(dāng)構(gòu)造函數(shù)；二是利用導(dǎo)數(shù)法，判斷所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，利用其單調(diào)性，回歸對原函數(shù)的符號的判斷，即可得出正確的選項(xiàng)。【變式訓(xùn)練】(1)(2015全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù)，f(1)0，當(dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)(2)(2016福建質(zhì)檢)已知f(x)是定義在R上的減函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足x<1，則下列結(jié)論正確的是()A對于任意xR，f(x)<0B對于任意xR，f(x)>0C當(dāng)且僅當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)<0D當(dāng)且僅當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0【解析】(1)記函數(shù)g(x)，則g(x)，因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，xf(x)f(x)<0，故當(dāng)x>0時(shí)，g(x)<0，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(xR)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(，0)上單調(diào)遞增，且g(1)g(1)0。當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)>0，則f(x)>0；當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，則f(x)>0，綜上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范圍是(，1)(0,1)。(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的減函數(shù)，所以f(x)<0。因?yàn)閤<1，所以f(x)xf(x)>f(x)，所以f(x)(x1)f(x)>0，構(gòu)造函數(shù)g(x)(x1)f(x)，則g(x)f(x)(x1)f(x)>0，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(1)(11)f(1)0，所以當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，所以f(x)>0；當(dāng)x>1時(shí)，g(x)>0，所以f(x)>0。因?yàn)閒(x)是定義在R上的減函數(shù)，所以f(1)>0。綜上，對于任意xR，f(x)>0，故選B?！敬鸢浮?1)A(2)B考點(diǎn)二 證明不等式【典例2】(2016全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)lnxx1。(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明當(dāng)x(1，)時(shí)，1<<x；(3)設(shè)c>1，證明當(dāng)x(0,1)時(shí)，1(c1)x>cx?！窘馕觥?1)由題設(shè)，f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1。當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減。(2)證明：由(1)知f(x)在x1處取得最大值，最大值為f(1)0。所以當(dāng)x1時(shí)，lnx<x1。故當(dāng)x(1，)時(shí)，lnx<x1，ln<1，即1<<x。(3)證明：由題設(shè)c>1，設(shè)g(x)1(c1)xcx，則g(x)c1cxlnc，令g(x)0，解得x0。當(dāng)x<x0時(shí)，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>x0時(shí)，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減。由(2)知1<<c，故0<x0<1。又g(0)g(1)0，故當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)>0。所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，1(c1)x>cx?！敬鸢浮?1)當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>1時(shí)，f(x)單調(diào)遞減(2)(3)見解析反思?xì)w納對于不等式的證明問題可考慮：通過研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明；根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)，通過研究新函數(shù)的單調(diào)性或最值來證明?！咀兪接?xùn)練】(2016鄭州二模)已知函數(shù)f(x)。(1)討論函數(shù)yf(x)在x(m，)上的單調(diào)性；(2)若m，則當(dāng)xm，m1時(shí)，函數(shù)yf(x)的圖象是否總在函數(shù)g(x)x2x圖象上方？請寫出判斷過程?！窘馕觥?1)f(x)，當(dāng)x(m，m1)時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x(m1，)時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(m，m1)上單調(diào)遞減，在(m1，)上單調(diào)遞增。(2)由(1)知f(x)在m，m1上單調(diào)遞減，所以其最小值為f(m1)em1。因?yàn)閙，g(x)在m，m1上的最大值為(m1)2m1，所以下面判斷em1與(m1)2m1的大小，即判斷ex與(1x)x的大小，其中xm1。令m(x)ex(1x)x，m(x)ex2x1，令h(x)m(x)，則h(x)ex2，因?yàn)閤m1，所以h(x)ex2>0，m(x)單調(diào)遞增。又m(1)e3<0，me4>0，故存在x0，使得m(x0)ex02x010。所以m(x)在(1，x0)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以m(x)m(x0)ex0xx02x01xx0xx01，所以當(dāng)x0時(shí)，m(x0)xx01>0，即ex>(1x)x，即f(m1)>(m1)2m1，所以函數(shù)yf(x)的圖象總在函數(shù)g(x)x2x圖象上方?！敬鸢浮?1)在(m，m1)上單調(diào)遞減，在(m1，)單調(diào)遞增(2)是，判斷過程見解析考點(diǎn)三 不等式恒成立問題【典例3】(2015北京高考)已知函數(shù)f(x)ln。(1)求曲線yf(x)在點(diǎn)(0，f(0)處的切線方程；(2)求證：當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)>2；(3)設(shè)實(shí)數(shù)k使得f(x)>k對x(0,1)恒成立，求k的最大值。【解析】(1)f(x)lnln(1x)ln(1x)，x(1，1)，f(x)，f(0)2，f(0)0，所以切線方程為y2x。(2)證明：原命題等價(jià)于任意x(0,1)，f(x)2>0。設(shè)函數(shù)F(x)ln(1x)ln(1x)2，F(xiàn)(x)。當(dāng)x(0,1)時(shí)，F(xiàn)(x)>0，函數(shù)F(x)在x(0,1)上是單調(diào)遞增函數(shù)。F(x)>F(0)0，因此當(dāng)x(0,1)，f(x)>2。(3)ln>k，x(0,1)t(x)lnk>0，x(0,1)。t(x)k(1x2)，x(0,1)。當(dāng)k0,2，t(x)0，函數(shù)t(x)單調(diào)遞增，t(x)>t(0)0顯然成立。當(dāng)k>2時(shí)，令t(x0)0得x(0,1)，t(x)的變化情況列表如下：x(0，x0)x0(x0,1)t(x)0t(x)極小值t(x0)<t(0)0，顯然不成立。當(dāng)k<0時(shí)，顯然k取不到最大值。綜上可知，k的最大值為2?！敬鸢浮?1)y2x(2)見解析(3)2反思?xì)w納利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的恒成立問題的策略1首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍。2也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題?！咀兪接?xùn)練】已知函數(shù)f(x)xlnx。(1)求f(x)的最小值；(2)若對于所有x1都有f(x)ax1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！窘馕觥亢瘮?shù)f(x)xlnx的定義域是(0，)。(1)f(x)1lnx，令f(x)0，解得x。當(dāng)x時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0。故f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。所以當(dāng)x時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值f。(2)依題意，得f(x)ax1在1，)上恒成立，即不等式alnx對于x1，)恒成立，即amin，x1，)。設(shè)g(x)lnx(x1)，則g(x)，令g(x)0，得x1。當(dāng)x1時(shí)，因?yàn)間(x)0，故g(x)在1，)上是增函數(shù)。所以g(x)在1，)上的最小值是g(1)1，故a的取值范圍是(，1。【答案】(1)(2)(，1考點(diǎn)四 不等式能成立問題【典例4】(2016福建六校聯(lián)考)已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)alnxx24x。(1)是否存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)在x1處取得極值？證明你的結(jié)論；(2)設(shè)g(x)(a2)x，若x0，使得f(x0)g(x0)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！窘馕觥?1)函數(shù)f(x)定義域?yàn)?0，)，f(x)2x4。假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在x1處取極值，則f(1)0，a2，此時(shí)，f(x)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)0恒成立，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，x1不是f(x)的極值點(diǎn)，故不存在實(shí)數(shù)a，使得f(x)在x1處取得極值。(2)由f(x0)g(x0)，得(x0lnx0)ax2x0，記F(x)xlnx(x>0)，F(xiàn)(x)(x>0)，當(dāng)0<x<1時(shí)，F(xiàn)(x)<0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)>0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增。F(x)>F(1)1>0，a，記G(x)，x。G(x)。x，22lnx2(1lnx)0，x2lnx2>0，x時(shí)，G(x)<0，G(x)單調(diào)遞減：x(1，e)時(shí)，G(x)>0，G(x)單調(diào)遞增，G(x)minG(1)1，aG(x)min1。故實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，)?！敬鸢浮?1)不存在，理由見解析(2)1，)反思?xì)w納求解含參不等式能成立問題的關(guān)鍵是過好雙關(guān)：第一關(guān)是轉(zhuǎn)化關(guān)，即通過分離參數(shù)法，先將不等式轉(zhuǎn)化為xD使得f(a)g(x)(或f(a)g(x)能成立，再轉(zhuǎn)化為f(a)g(x)min(或f(a)g(x)max)；第二關(guān)是求最值關(guān)，即求函數(shù)g(x)在區(qū)間D上的最小值(或最大值)。【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)xlnx，g(x)x2ax3。(1)求函數(shù)f(x)在t，t2(t>0)上的最小值；(2)若存在x(e是自然對數(shù)的底數(shù)，e2.718 28)使不等式2f(x)g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?！窘馕觥?1)由題意知f(x)lnx1，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x時(shí)，f(x)>0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增。當(dāng)0<t<t2<時(shí)，t無解；當(dāng)0<t<t2，即0<t時(shí)，f(x)minf；當(dāng)<t<t2，即t>時(shí)，f(x)在t，t2上單調(diào)遞增，故f(x)minf(t)tlnt。所以f(x)min(2)由題意知2xlnxx2ax3，即a2lnxx，設(shè)h(x)2lnxx(x>0)，則h(x)1，當(dāng)x時(shí)，h(x)<0，此時(shí)h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，e時(shí)，h(x)>0，此時(shí)h(x)單調(diào)遞增。所以h(x)maxmax，因?yàn)榇嬖趚，使2f(x)g(x)成立，所以ah(x)max，又h23e，h(e)2e，故h>h(e)，所以a3e2?！敬鸢浮?1)f(x)min(2)微考場新提升1若0<x1<x2<1，則()Aex2ex1>lnx2lnx1Bex2ex1<lnx2lnx1Cx2ex1>x1ex2Dx2ex1<x1ex2解析設(shè)f(x)，則f(x)。當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)<0，f(x)在(0,1)上為減函數(shù)，由0<x1<x2<1知，f(x1)>f(x2)，即>，x2ex1>x1ex2。故選C。答案C2(2017郴州模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)f(x)>1，f(0)4，則不等式exf(x)>ex3(其中e為自然數(shù)對數(shù)的底數(shù))的解集為()A(0，)B(，0)(3，)C(，0)(0，)D(3，)解析設(shè)g(x)exf(x)ex(xR)，則g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)1，因?yàn)閒(x)f(x)>1，所以f(x)f(x)1>0，所以g(x)>0，所以g(x)exf(x)ex在定義域上單調(diào)遞增，因?yàn)閑xf(x)>ex3，所以g(x)>3，又因?yàn)間(0)e0f(0)e0413，所以g(x)>g(0)，所以x>0。故選A。答案A3若對于任意實(shí)數(shù)x0，函數(shù)f(x)exax恒大于零，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_。解析當(dāng)x0時(shí)，f(x)exax>0恒成立。若x0，a為任意實(shí)數(shù)，f(x)exax>0恒成立。若x>0，f(x)exax>0恒成立，即當(dāng)x>0時(shí)，a>恒成立。設(shè)Q(x)。Q(x)。當(dāng)x(0,1)時(shí)，Q(x)>0，則Q(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，當(dāng)x(1，)時(shí)，Q(x)<0，則Q(x)在(1，)上單調(diào)遞減。當(dāng)x1時(shí)，Q(x)取得最大值，Q(x)maxQ(1)e，要使x0時(shí)，f(x)>0恒成立，a的取值范圍為(e，)。答案(e，)4設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR。(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a>ln21且x>0時(shí)，ex>x22ax1。解析(1)由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR。令f(x)0，得xln2。于是當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln2)ln2(ln2，)f(x)0f(x)22ln22a故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln2，)，f(x)在xln2處取得極小值，極小值為22ln22a。(2)證明：設(shè)g(x)exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR。由(1)知當(dāng)a>ln21時(shí)，g(x)取最小值為g(ln2)