第二節(jié)參數(shù)方程2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度1.了解參數(shù)方程及其參數(shù)的意義；2.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程。2016，全國卷，23,10分(參數(shù)方程求最值)2016，江蘇卷，21,10分(直線方程的應(yīng)用)2015，全國卷，23,10分(參數(shù)方程化普通方程)1.直線與圓的參數(shù)方程是歷年高考命題的熱點；2.直線與圓的參數(shù)方程與位置關(guān)系是高考的重點；3.應(yīng)用參數(shù)方程求最值也是高考的重點。微知識小題練自|主|排|查1參數(shù)方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)：并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x，y)都在這條曲線上，那么方程組叫做這條曲線的參數(shù)方程，t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。2直線的參數(shù)方程過定點P0(x0，y0)且傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則參數(shù)t的幾何意義是有向線段的數(shù)量。3圓的參數(shù)方程圓心為(a，b)，半徑為r，以圓心為頂點且與x軸同向的射線，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圓上一點所在半徑形成的角為參數(shù)的圓的參數(shù)方程為0,2)。4橢圓的參數(shù)方程以橢圓的離心角為參數(shù)，橢圓1(ab0)的參數(shù)方程為0,2)。微點提醒1將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍。2直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為：|t|是直線上任一點M(x，y)到M0(x0，y0)的距離。小|題|快|練1若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，則直線的傾斜角為_?！窘馕觥坑芍本€的參數(shù)方程知，斜率ktan，為直線的傾斜角，所以該直線的傾斜角為150。【答案】1502曲線(為參數(shù))的左焦點的坐標(biāo)是_?！窘馕觥炕癁槠胀ǚ匠虨?，故左焦點為(4,0)?！敬鸢浮?4,0)3已知直線l1：(t為參數(shù))與直線l2：(s為參數(shù))垂直，則k的值是_?！窘馕觥恐本€l1的方程為yx，斜率為；直線l2的方程為y2x1，斜率為2。l1與l2垂直，(2)1k1?！敬鸢浮?4在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知射線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則線段AB的中點的直角坐標(biāo)為_?！窘馕觥坑汚(x1，y1)，B(x2，y2)，將射線轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為yx(x0)，曲線為y(x2)2，聯(lián)立上述兩個方程得x25x40，所以x1x25，故線段AB的中點坐標(biāo)為?！敬鸢浮?在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(參數(shù)tR)，圓C的參數(shù)方程為(參數(shù)0,2)，則圓心C到直線l的距離是_?！窘馕觥恐本€方程可化為xy10，圓的方程可化為(x1)2y21。由點到直線的距離公式可得，圓心C(1,0)到直線l的距離為。【答案】微考點大課堂考點一 參數(shù)方程與普通方程的互化【典例1】將下列參數(shù)方程化為普通方程。(1)(t為參數(shù))；(2)(為參數(shù))?！窘馕觥?1)221，x2y21。t210，t1或t1。又x，x0。當(dāng)t1時，0x1，當(dāng)t1時，1x0，所求普通方程為x2y21。(2)y1cos2112sin22sin2，sin2x2，y2x4，2xy40。0sin21，0x21。2x3。所求的普通方程為2xy40(2x3)?！敬鸢浮?1)x2y21(2)2xy40(2x3)反思?xì)w納將參數(shù)方程化為普通方程的方法1將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結(jié)構(gòu)特征，選取適當(dāng)?shù)南麉⒎椒?。常見的消參方法有：代入消參法、加減消參法、平方消參法等，對于含三角函數(shù)的參數(shù)方程，常利用同角三角函數(shù)關(guān)系式消參，如sin2cos21等。2將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解?！咀兪接?xùn)練】將下列參數(shù)方程化為普通方程。(1)(2)【解析】(1)兩式相除，得k，將其代入得x，化簡得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)。(2)由(sincos)21sin22(1sin2)得y22x。又x1sin20,2，得所求的普通方程為y22x，x0,2?！敬鸢浮?1)4x2y26y0(y6)(2)y22x，x0,2考點二 直線參數(shù)方程的應(yīng)用【典例2】(2016江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))。設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點，求線段AB的長?！窘馕觥繖E圓C的普通方程為x21。將直線l的參數(shù)方程代入x21，得21，即7t216t0，解得t10，t2。所以|AB|t1t2|?！敬鸢浮糠此?xì)w納經(jīng)過點P(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))。若A，B為直線l上兩點，其對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2。線段AB的中點為M，點M所對應(yīng)的參數(shù)為t0。注意以下幾個常用的結(jié)論：(1)t0；(2)|PM|t0|；(3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|?！咀兪接?xùn)練】在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為2sin 。(1)求圓C的圓心到直線l的距離；(2)設(shè)圓C與直線l交于點A、B。若點P的坐標(biāo)為(3，)，求|PA|PB|?！窘馕觥?1)由2sin ，得x2y22y0，即圓C的直角坐標(biāo)方程為x2(y)25。由可得直線l的普通方程為xy30。所以圓C的圓心(0，)到直線l的距離為。(2)將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得225，即t23t40。由于(3)2442>0，故可設(shè)t1，t2是上述方程的兩個實根，所以又直線l過點P(3，)，故由上式及t的幾何意義得|PA|PB|t1|t2|t1t23?！敬鸢浮?1)(2)3考點三 圓的參數(shù)方程的應(yīng)用【典例3】已知曲線C1：(t為參數(shù))，曲線C2：(為參數(shù))。(1)化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2)若C1上的點P對應(yīng)的參數(shù)為t，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：(t為參數(shù))的距離的最小值?！窘馕觥?1)曲線C1：(x4)2(y3)21，曲線C2：1，曲線C1是以(4,3)為圓心，1為半徑的圓；曲線C2是以坐標(biāo)原點為中心，焦點在x軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓。(2)當(dāng)t時，P(4,4)，Q(8cos，3sin)，故M。曲線C3為直線x2y70，M到C3的距離d|4cos3sin13|，從而當(dāng)cos，sin時，d取最小值?！敬鸢浮?1)見解析(2)反思?xì)w納將參數(shù)方程中的參數(shù)消去便可得到曲線的普通方程，消去參數(shù)時常用的方法是代入法，有時也可根據(jù)參數(shù)的特征，通過對參數(shù)方程的加、減、乘、除、乘方等運算消去參數(shù)，消參時要注意參數(shù)的取值范圍對普通方程中點的坐標(biāo)的影響?！咀兪接?xùn)練】在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓C的極坐標(biāo)方程為2cos，。(1)求C的參數(shù)方程；(2)設(shè)點D在C上，C在D處的切線與直線l：yx2垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定D的坐標(biāo)?！窘馕觥?1)C的普通方程為(x1)2y21(0y1)?？傻肅的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t)。(2)設(shè)D(1cost，sint)。由(1)知C是以C(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓。因為C在點D處的切線與l垂直，所以直線CD與l的斜率相同，tant，t。故點D的直角坐標(biāo)為，即?！敬鸢浮?1)(t為參數(shù)，0t)(2)考點四 橢圓參數(shù)方程的應(yīng)用【典例4】(2016全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))。以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為sin2。(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標(biāo)?！窘馕觥?1)C1的普通方程為y21，C2的直角坐標(biāo)方程為xy40。(2)由題意，可設(shè)點P的直角坐標(biāo)為(cos，sin)。因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值，d()|sin2|。當(dāng)且僅當(dāng)2k(kZ)時，d()取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標(biāo)為?！敬鸢浮?1)C1為y21，C2為xy40(2)最小值為，P反思?xì)w納橢圓的參數(shù)方程實質(zhì)是三角代換，有關(guān)橢圓上的動點距離的最大值、最小值以及取值范圍的問題，通常利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最大值、最小值求解?！咀兪接?xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動圓x2y24xcos4ysin7cos280(R，為參數(shù))的圓心軌跡為曲線C，點P在曲線C上運動。以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，若直線l的極坐標(biāo)方程為2cos3，求點P到直線l的最大距離。【解析】將動圓的方程配方，得(x2cos)2(y2sin)293sin2，設(shè)圓心(x，y)，則(R，為參數(shù))，即曲線C的參數(shù)方程為(R，為參數(shù))，直線l的直角坐標(biāo)方程為xy30，設(shè)點P(x1，y1)，則(R，為參數(shù))，點P到直線l的距離d，其中tan。當(dāng)sin()1時，點P到直線l的距離d取得最大值?！敬鸢浮课⒖紙鲂绿嵘?已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))。(1)求直線l和圓C的普通方程；(2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍。解析(1)直線l的普通方程為2xy2a0，圓C的普通方程為x2y216。(2)因為直線l與圓C有公共點，故圓C的圓心到直線l的距離d4，解得2a2。答案(1)l為2xy2a0，C為x2y216(2)2，22在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為。(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)試判斷曲線C1與C2是否存在兩個交點，若存在，求出兩交點間的距離；若不存在，說明理由。解析(1)對于曲線C1有xy1，對于曲線C2有y21。(2)顯然曲線C1：xy1為直線，則其參數(shù)方程可寫為(為參數(shù))，與曲線C2：y21聯(lián)立，可得521280，可知>0，所以C1與C2存在兩個交點，由12，12，得兩交點間的距離d|21|。答案(1)C1為xy1，C2為y21(2)存在，兩交點間的距離為3(2017赤峰模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為極點，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線l的極坐標(biāo)方程為sin2。(1)寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C上的點到直線l的最大距離。解析(1)由sin2得(sincos)4，所以l：xy40，由得C：x21。(2)在C上任取一點P(cos，sin)，則點P到直線l的距離為d，其中cos，sin，所以當(dāng)cos()1時，dmax2。答案(1)C為x21，l為xy40(2)2我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。