第二節(jié)不等式證明的基本方法2017考綱考題考情考綱要求真題舉例命題角度了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法。2016，全國(guó)卷，24,10分(比較法證明不等式)2015，全國(guó)卷，24,10分(分析法、綜合法證明不等式)2014，全國(guó)卷，24,10分(放縮法、反證法證明不等式)本部分主要考查比較法、綜合法、分析法證明不等式，往往應(yīng)用完全平方式、基本不等式等知識(shí)點(diǎn)，有時(shí)與函數(shù)、數(shù)列相結(jié)合。微知識(shí)小題練自|主|排|查1比較法作差比較法與作商比較法的基本原理：(1)作差法：ab>0a>b。(2)作商法：>1a>b(a>0，b>0)。2綜合法與分析法(1)綜合法：證明不等式時(shí)，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過推理論證而得出命題成立，綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чā?2)分析法：證明命題時(shí)，從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立。這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法。3反證法先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法。4放縮法證明不等式時(shí)，通過把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，以利于化簡(jiǎn)，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱為放縮法。5柯西不等式設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)adbc時(shí)成立。微點(diǎn)提醒1作差比較法的實(shí)質(zhì)是把兩個(gè)數(shù)或式子的大小判斷問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)(或式子)與0的大小關(guān)系。2用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)”“即要證”“就要證”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立。小|題|快|練1設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcac；(2)1?！咀C明】(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca。由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1。所以3(abbcca)1，即abbcca。(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc。所以1。2設(shè)a>0，|x1|<，|y2|<，求證：|2xy4|<a。【證明】因?yàn)閨x1|<，|y2|<，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|<2a。微考點(diǎn)大課堂考點(diǎn)一 比較法證明不等式【典例1】(2016全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)，M為不等式f(x)<2的解集。(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|<|1ab|?！窘馕觥?1)f(x)當(dāng)x時(shí)，由f(x)<2得2x<2，解得x>1；當(dāng)<x<時(shí)，f(x)<2；當(dāng)x時(shí)，由f(x)<2得2x<2，解得x<1。所以f(x)<2的解集Mx|1<x<1。(2)證明：由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1<a<1，1<b<1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)<0。因此|ab|<|1ab|?！敬鸢浮?1)Mx|1<x<1(2)見解析反思?xì)w納作差比較法證明不等式的步驟1作差；2.變形；3.判斷差的符號(hào)；4.下結(jié)論。其中“變形”是關(guān)鍵，通常將差變形成因式連乘積的形式或平方和的形式，再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù)?！咀兪接?xùn)練】設(shè)a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，求證：a3b3(a2b2)。【證明】由a，b是非負(fù)實(shí)數(shù)，作差得a3b3(a2b2)a2()b2()()()5()5。當(dāng)ab時(shí)，從而()5()5，得()()5()50；當(dāng)a<b時(shí)，<，從而()5<()5，得()()5()5>0。所以a3b3(a2b2)?？键c(diǎn)二 綜合法、分析法證明不等式【典例2】(1)已知x，y均為正數(shù)，且x>y，求證：2x2y3。(2)設(shè)a，b，c>0且abbcca1，求證：abc?！咀C明】(1)因?yàn)閤>0，y>0，xy>0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，(當(dāng)且僅當(dāng)xy1時(shí)，等號(hào)成立)所以2x2y3。(2)因?yàn)閍，b，c>0，所以要證abc，只需證(abc)23。即證：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需證明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)。即證：a2b2c2abbcca。而abbccaa2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)成立。所以原不等式成立。反思?xì)w納用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保梅治龇ㄗC明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法。綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡(jiǎn)單、條理清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開闊視野?！咀兪接?xùn)練】(1)已知n2，求證：>。(2)(2016銀川質(zhì)檢)已知a，b，c全為正數(shù)，且abc1，求證：1；a2b2c2?！咀C明】(1)要證>，只需證>。即>，只需證 >，只需證>0，只需證n>1，因?yàn)閚2>1，所以>。(2)a，b，c全為正數(shù)，且abc1，ab2(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)；bc2(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立)；ca2(當(dāng)且僅當(dāng)ca時(shí)等號(hào)成立)，2(abc)222(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)。1(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)。a2b2c2a2b2c2a2b2c2abbcca。2(a2b2c2)2ab2bc2aca2b2c2abbcac，a2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立)?？键c(diǎn)三 柯西不等式的應(yīng)用【典例3】(2015陜西高考)已知關(guān)于x的不等式|xa|<b的解集為x|2<x<4。(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)求的最大值?！窘馕觥?1)由|xa|<b，得ba<x<ba，則解得(2) 24，當(dāng)且僅當(dāng)，即t1時(shí)等號(hào)成立，故()max4?！敬鸢浮?1)a3，b1(2)4反思?xì)w納柯西不等式的常見類型及解題策略1求表達(dá)式的最值。依據(jù)已知條件，利用柯西不等式求最值，注意等號(hào)成立的條件；2求解析式的值。利用柯西不等式的條件，注意等號(hào)成立的條件，進(jìn)而求得各個(gè)量的值，從而求出解析式的值；3證明不等式。注意所證不等式的結(jié)構(gòu)特征，尋找柯西不等式的條件，然后證明?！咀兪接?xùn)練】已知x，y，z均為實(shí)數(shù)。(1)若xyz1，求證：3；(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值?！窘馕觥?1)證明：因?yàn)?)2(121212)(3x13y23z3)27。所以3。當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z0時(shí)取等號(hào)。(2)因?yàn)?x2y3z，所以x2y2z2，當(dāng)且僅當(dāng)x即x，y，z時(shí)，x2y2z2有最小值?！敬鸢浮?1)見解析(2)微考場(chǎng)新提升1已知a，b均為正數(shù)，且ab1，證明：(axby)2ax2by2。證明(axby)2(ax2by2)a(a1)x2b(b1)y22abxy，因?yàn)閍b1，所以，a1b，b1a，故(axby)2(ax2by2)a(a1)x2b(b1)y22abxyab(x2y22xy)ab(xy)20，當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)等號(hào)成立。所以(axby)2ax2by2。2已知x>0，y>0，aR，bR。求證：2。證明因?yàn)閤>0，y>0，所以xy>0。所以要證2，即證(axby)2(xy)(a2xb2y)，即證xy(a22abb2)0，即證(ab)20，而(ab)20顯然成立。故2。3設(shè)a>0，b>0，且ab。證明：(1)ab2；(2)a2a<2與b2b<2不可能同時(shí)成立。證明由ab，a>0，b>0，得ab1。(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)等號(hào)成立。(2)假設(shè)a2a<2與b2b<2同時(shí)成立，則由a2a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，從而ab<1，這與ab1矛盾。故a2a<2與b2b<2不可能同時(shí)成立。我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。